Giải bài toán bằng cách lập phương trình là tài liệu vô cùng hữu ích cung cấp cho học sinh lớp 8, lớp 9 tư liệu học tập, bồi dưỡng và nâng cao kiến thức môn toán theo chương trình hiện hành.
Giải toán bằng cách lập phương trình tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương pháp giải, ví dụ minh họa kèm theo các bài tập có đáp án giải chi tiết và bài tập tự luyện. Hi vọng qua tài liệu này các em sẽ vận dụng kiến thức của mình để làm bài tập, rèn luyện linh hoạt cách giải các dạng đề để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: bài tập về hằng đẳng thức, Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.
I. Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
+ Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
+ Bước 2: Giải phương trình
+ Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
2. Một số lưu ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn:
+ Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó
+ Nếu x biểu thị là một chữ số thì
+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x mang giá trị nguyên dương
+ Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thi x > 0
II. Ví dụ giải bài toán bằng cách lập phương trình
Ví dụ 1:
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng . Tìm phân số ban đầu.
Gợi ý đáp án
Gọi x là tử số của phân số [ ]
Vì mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là \[3\] đơn vị nên mẫu số của phân số là x + 3.
Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì ta được phân số lúc sau là ]
Vì phân số mới bằng nên ta có phương trình :
![\eqalign{ & {{x + 2} \over {x + 5}} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow {{2\left[ {x + 2} \right]} \over {2\left[ {x + 5} \right]}} = {{x + 5} \over {2\left[ {x + 5} \right]}} \cr & \Rightarrow 2\left[ {x + 2} \right] = x + 5 \cr & \Leftrightarrow 2x + 4 = x + 5 \cr & \Leftrightarrow 2x - x = 5 - 4 \cr & \Leftrightarrow x = 1\text{ [thỏa mãn]} \cr}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Ceqalign%7B%0A%26%20%7B%7Bx%20%2B%202%7D%20%5Cover%20%7Bx%20%2B%205%7D%7D%20%3D%20%7B1%20%5Cover%202%7D%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B%7B2%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%202%7D%20%5Cright]%7D%20%5Cover%20%7B2%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%205%7D%20%5Cright]%7D%7D%20%3D%20%7B%7Bx%20%2B%205%7D%20%5Cover%20%7B2%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%205%7D%20%5Cright]%7D%7D%20%5Ccr%0A%26%20%5CRightarrow%202%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%202%7D%20%5Cright]%20%3D%20x%20%2B%205%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%202x%20%2B%204%20%3D%20x%20%2B%205%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%202x%20-%20x%20%3D%205%20-%204%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20x%20%3D%201%5Ctext%7B%20[th%E1%BB%8Fa%20m%C3%A3n]%7D%20%5Ccr%7D]
Mẫu số của phân số cần tìm là: x+3=1+3=4
Vậy phân số lúc đầu là:
Ví dụ 2
Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?
Gợi ý đáp án
Gọi x là số học sinh cả lớp 8A [điều kiện x nguyên dương]
Số học sinh giỏi trong học kì I là: [học sinh]
Số học sinh giỏi trong học kì II là: [học sinh]
Vì số học sinh giỏi trong học kì II bằng số học sinh cả lớp nên ta có phương trình:
![\eqalign{ & {1 \over 8}x + 3 = {{20} \over {100}}x \cr & \Leftrightarrow {1 \over 8}x + 3 = {1 \over 5}x \cr & \Leftrightarrow {{5x} \over {40}} + {{3.40} \over {40}} = {{8x} \over {40}} \cr & \Leftrightarrow 5x + 120 = 8x \cr & \Leftrightarrow 5x - 8x = - 120 \cr & \Leftrightarrow - 3x = - 120 \cr & \Leftrightarrow x = \left[ { - 120} \right]:\left[ { - 3} \right] \cr & \Leftrightarrow x = 40 \text{ [thỏa mãn]}\cr}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Ceqalign%7B%0A%26%20%7B1%20%5Cover%208%7Dx%20%2B%203%20%3D%20%7B%7B20%7D%20%5Cover%20%7B100%7D%7Dx%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B1%20%5Cover%208%7Dx%20%2B%203%20%3D%20%7B1%20%5Cover%205%7Dx%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B%7B5x%7D%20%5Cover%20%7B40%7D%7D%20%2B%20%7B%7B3.40%7D%20%5Cover%20%7B40%7D%7D%20%3D%20%7B%7B8x%7D%20%5Cover%20%7B40%7D%7D%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%205x%20%2B%20120%20%3D%208x%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%205x%20-%208x%20%3D%20-%20120%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20-%203x%20%3D%20-%20120%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20x%20%3D%20%5Cleft[%20%7B%20-%20120%7D%20%5Cright]%3A%5Cleft[%20%7B%20-%203%7D%20%5Cright]%20%5Ccr%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20x%20%3D%2040%20%5Ctext%7B%20[th%E1%BB%8Fa%20m%C3%A3n]%7D%5Ccr%7D]
Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh.
Ví dụ 3:
Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.
Gợi ý đáp án
Gọi x [km] là quãng đường AB [x > 0].
Thời gian chuyển động từ A đến B của xe máy:
9 giờ 30 phút - 6 giờ = 3 giờ 30 phút [giờ]
Vận tốc của xe máy là: [km/h]
Ô tô xuất phát sau xe máy 1 giờ và đến B cùng lúc với xe máy 9 giờ 30 phút nên thời gian chuyển động từ A đến B của ô tô là: [giờ]
Vận tốc của ô tô là: [km/h]
Vì vận tốc của ô tô hơn xe máy 20km/h nên ta có phương trình:
⇔ 14x - 10x = 700
⇔ 4x = 700
⇔ x = 175 [thỏa mãn]
Vậy quãng đường AB dài 175 km.
Vận tốc trung bình của xe máy: [km/h].
Ví dụ 4
Chị Linh làm việc trong một ngân hàng và được thưởng Tết bằng 2,5 tháng lương. Tổng thu nhập một năm của chị Linh bao gồm lương 12 tháng và thưởng Tết là 290 triệu đồng. Hỏi lương hằng tháng của chị Linh là bao nhiêu
Lời giải:
Gọi x [triệu đồng] là lương hằng tháng của chị Linh []
Khi đó, thưởng tết của chị Linh là:
Lương 12 tháng của chị Linh là:
Theo đề bài, ta có phương trình:
[thỏa mãn điều kiện]
Vậy lương hàng tháng của chị Linh là 20 triệu đồng.
Ví dụ 5
Bác Hưng đầu tư 300 triệu đồng vào hai khoản: mua trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất 8% một năm và gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6% một năm. Cuối năm bác Hưng nhận được 22 triệu đồng tiền lãi. Hỏi bác Hưng đã đầu tư vào mỗi khoản bao nhiêu tiền?
Lời giải:
Gọi số tiền bác Hưng dùng để mua trái phiếu doanh nghiệp là [triệu đồng]
Điều kiện:
Khi đó số tiên bác Hưng dùng để mua trái phiếu doanh nghiệp là: [triệu đồng]
Số tiền lãi bác Hưng thu được từ trái phiếu doanh nghiệp là [triệu đồng] và số tiền lãi thu được từ gửi tiết kiệm ngân hàng là ] [triệu đồng]
Theo đề bài, ta có pt: %3D22]
[thỏa mãn điều kiện]
Vậy bác Hưng dùng 200 triệu để mua trái phiếu và dùng 100 triệu để gửi tiết kiệm ngân hàng.
Ví dụ 6
Nhân dịp khai trương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để thu hút khách hàng. Tổng giá niêm yết của một chiếc ti vi loại A và một chiếc tủ lạnh loại B là 36.8 triệu đồng. Trong dịp này tivi loại A được giảm 30% và tủ lạnh loại B được giảm 25% nên bác Cường đã mua một chiếc tivi và một chiếc tủ lạnh nói trên với tổng số tiền là 26,805 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của một chiếc tivi loại A và mỗi chiếc tủ lạnh loại B là bao nhiêu
Lời giải:
Gọi giá của chiếc ti vi loại A là x [ 0