Bài tập ôn tập chương 2 toán hình 9 năm 2024

Download.vn mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 128 để xem gợi ý giải các bài tập của bài Ôn tập Chương II Đường tròn Hình học 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài Ôn tập chương 2 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Giải Toán 9: Ôn tập Chương II: Đường tròn

Giải bài tập toán 9 trang 128 tập 1

Bài 41 [trang 128 SGK Toán 9 Tập 1]

Cho đường tròn [O] có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi [I], [K] theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: [I] và [O], [K] và [O], [I] và [K].

1. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

1. Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC

1. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [I] và [K].

1. Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

1. IO = OB – IB => [I] tiếp xúc trong với [O].

OK = OC – KC => [K] tiếp xúc trong với [O]

IK = OH + KH => [I] tiếp xúc ngoài với [K]

1. Tứ giácAEHF có nên là hình chữ nhật

1. ΔAHB vuông nên AE.AB = AH2

ΔAHC vuông nên AF.AC = AH2

Suy ra AE.AB = AF.AC

1. Gọi G là giao điểm của AH và EF

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF

Ta có GE = GH ⇒ Tam giác GEH cân ⇒

Lại có tam giác IHE cân . Suy ra góc E2 = góc H2

Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn [I]

Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn [K]

1. - Cách 1:

Ta có: EF = AH ≤ OA [OA có độ dài không đổi]

Do đó EF lớn nhất khi AH = OA

H trùng O hay dây AD đi qua O.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

- Cách 2: EF = AH = AD/2.

Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Bài 42 [trang 128 SGK Toán 9 Tập 1]

Cho hai đường tròn [O] và [O'] tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ [O], C ∈ [O']. Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

1. ME.MO = MF.MO'

1. OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

1. BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

1. MA và MB là các tiếp tuyến của [O] [gt].

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

MA = MB

MO là tia phân giác của góc AMB

ΔAMB cân tại M [MA = MB] mà có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

\=> MO ⊥ AB hay ∠MEA = 90o

Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và ∠MFA = 90o

MO, MO' là tia phân giác của hai góc kề bù ∠AMB và ∠AMC nên ∠EMF = 90o

\=> Tứ giác AEMF là hình chữ nhật [vì có ba góc vuông].

1. ME.MO = MA2 [hệ thức lượng trong ΔMAO vuông]

MF.MO' = MA2 [hệ thức lượng trong ΔMAO' vuông]

Suy ra ME.MO = MF.MO'

1. Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO' vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn [M].

1. Gọi I là trung điểm của OO', I là tâm của đường tròn có đường kính OO', IM là bán kính [vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO'. IM là đường trung bình của hình thang OBCO' nên IM // OB // O'C. Do đó IM ⊥ BC.

BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn [I].

Bài 43 [trang 128 SGK Toán 9 Tập 1]

Cho hai đường tròn [O; R] và [O'; r] cắt nhau tại A và B [R > r]. Gọi I là trung điểm của OO'. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn [O; R] và [O'; r] theo thứ tự C và D [khác A].

Toán cấp 2 chia sẻ với các em 154 bài tập hay chọn lọc chương 2 của Toán lớp 9. Các bài tập cơ bản và nâng cao giúp các em rèn luyện giải toán hình học.

Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường trong [M;MH]. Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M [C, D là các tiếp điểm khác H].

1. Chứng minh: C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của [O]
2. Chứng minh: Khi M di chuyển trên AB thì tổng AC + BD không đổi.
3. Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh: OH.OI không đổi.

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao các đường vuông góc kẻ từ A, B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:

1. CE = CF
2. AC là tia phân giác của $ \widehat{{BAE}}$
3. $ C{{H}^{2}}=AE.BF$

Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Từ M là điểm trên nửa đường tròn [O] [M không là điểm chính giữa cung AB] vẽ tiếp tuyến lần lượt cắt Ax, By tại điểm C, D.

1. Chứng tỏ AC + BD = CD
2. Chứng minh tam giác COD vuông
3. Tia BM cắt Ax tại P, tia AM cắt By tại Q. Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy.

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.

1. Chứng minh rằng: MC = MD
2. Chứng minh rằng AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa đường tròn.
3. Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC và AB
4. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn [O] để cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB]. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.

1. Chứng minh đường trong đường kính CD tiếp xúc AB.
2. Gọi E là giao điểm của BC và AD. ME cắt AB tại H
3. Chứng minh: E là trung điểm của đoạn MH
4. Tìm vị trí của M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất
5. Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm

Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB]. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn [AM < BM]. Tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt ở C và D.

1. Tính số đo góc COD
2. Chứng minh rằng đường trong có đường kính CD tiếp xúc với AB

Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính CD = 2R. Từ C và D kẻ tiếp tuyến Cx và Dy về cùng một phía của nửa đường tròn. Từ một điểm E trên nửa đường tròn [E khác C và D] kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Cx và Dy lần lượt tại A và B.

1. Chứng minh: AB = AC + BD
2. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông.
3. Gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: EF.AB = AC.BD

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, E là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn [E $ \ne $ A, B]. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua E kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại M và N.

1. Chứng minh MN = AM + BN và $ \widehat{{MON}}={{90}^{o}}$
2. Chứng minh AM.BN = $ {{R}^{2}}$
3. OM cắt AE tại P, ON cắt BE tại Q. Chứng minh PQ không đổi khi E chuyển động trên nửa đường tròn

Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn $ [M\ne A,B]$. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D.

1. Chứng minh CD = AC + BD
2. Chứng minh tam giác COD là tam giác vuông
3. Chứng minh AC.BD = $ {{R}^{2}}$
4. OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R

Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kì. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.

1. Chứng minh rằng CD = AC + BD
2. Tính số đo $ \widehat{{COD}}$
3. Gọi I là giao điểm của OC và AE, gọi K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao?
4. Cho $ OC=\sqrt{5};OD=\sqrt{7}$. Tính bán kính đường tròn.

Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt Ax và By lần lượt tại C và D.

1. Chứng minh: tam giác COD là tam giác vuông
2. Chứng minh: MC.MD = $ O{{M}^{2}}$
3. Cho biết OC = BA = 2R, tính AC và BD theo R.

Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kì. Tiếp tuyến nửa đường tròn tại A cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.

1. Chứng minh rằng CD = AC + BD
2. Tính số đo góc DOC
3. Gọi I là giao điểm của OC và AE; K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao? Và IK // MN
4. Xác định vị trí của OE để tứ giác EIOK là hình vuông.

Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:

1. CE = CF
2. AC là tia phân giác của $ \widehat{{BAE}}$
3. $ C{{H}^{2}}=AE.BF$

Bài 14: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax, kẻ tiếp tuyến MC tới nửa đường tròn [$ C\in [O]$]. Đường thẳng BC cắt tia Ax tại D.

1. Chứng minh : MA = MD
2. Kẻ $ CH\bot AB$, BM cắt CH tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CH
3. Kẻ tia $ Oy\bot OM$, tia này cắt MC tại N. Chứng minh: NB là tiếp tuyến của nửa [O].

Bài 15: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn [M khác A,B] vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C và D.

1. Chứng minh: Tam giác COD là tam giác vuông
2. Chứng minh: $ MC.MD=O{{M}^{2}}$
3. Cho biết OC = BA = 2R, tính AC và BD theo R

Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn [O]. Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ A và C cắt nhau tại M. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác ABCD là hình bình hành
2. Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy.

Bài 17: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn [O]. Đường cao AH cắt đường tròn ở điểm D.

1. AD có phải là đường kính của đường tròn [O] không ? Tại sao ?
2. Chứng minh: $ B{{C}^{2}}=4AH.DH$
3. Cho $ BC=24cm,AB=20cm$. Tính bán kính của đường tròn [O].

Bài 18: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

1. Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn [gọi tâm của nó là O]
2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn [O]

Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn [O] đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác.

1. Tính số đo góc ABD
2. Tứ giác BHCD là hình gì? Tại sao?
3. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh 2OM = AH

Bài 20: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M. Gọi H là giao điểm của BM và CN.