Hướng dẫn giải bài tập về ánh xạ

• 1. toàn thư mở Wikipedia Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số. Hàm số lại xuất phát từ khái niệm tương quan giữa các đại lượng vật lý. Chẳng hạn trong một chuyển động đều, độ dài quãng đường đi được bằng tích của tốc độ với thời gian. Nếu tốc độ là 5m/s thì quãng đường đi được trong t giây là s = 5t. Về ý nghĩa, ánh xạ biểu diễn một tương quan [quan hệ] giữa các phần tử của hai tập hợp X và Y thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử x của tập X đều có một và chỉ một phần tử tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau. Khái niệm hàm nói trên là khái niệm hàm đơn trị, nó cho phép với mỗi x chỉ có một y duy nhất tương ứng với x. Tuy nhiên trong lý thuyết hàm, đặc biệt là lý thuyết xác suất, hàm còn có thể bao hàm các hàm đa trị, trong đó một giá trị x có thể tương ứng với một số giá trị của y. Bài này chỉ viết về các ánh xạ [hàm] đơn trị. Mục lục [ẩn] • 1 Các thuật ngữ • 2 Vài tính chất cơ bản • 3 Toàn ánh, đơn ánh và song ánh • 4 Một số ánh xạ đặc biệt • 5 Ánh xạ tích và ánh xạ ngược • 6 Các khái niệm ánh xạ khác [dịch từ tiếng anh] • 7 Xem thêm • 8 Liên kết [sửa] Các thuật ngữ Trong các sách giáo khoa toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông thường định nghĩa: Ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y [ký hiệu ] là một quy tắc cho mỗi phần tử x X tương ứng với một phần tử xác định y Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y = f[x]. Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích. Với mỗi , tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, kí hiệu là f − 1[y] Với mỗi tập con , tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A kí hiệu là f[A]
• 2. con , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh được gọi là tạo ảnh của tập B kí hiệu là f − 1[B] Một định nghĩa khác, dùng trong lý thuyết tập hợp, sau khi định nghĩa khái niệm quan hệ, người ta định nghĩa: Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quan hệ từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử đều có quan hệ với một và chỉ một phần tử . Viết dưới dạng mệnh đề, ánh xạ , kí hiêu , là một quan hệ thoả mãn: 1. ; 2. Nếu X và Y là các tập hợp số thì ánh xạ được gọi là hàm số. Khi đó X cũng được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f[x],tập các ảnh f[X] được gọi là miền giá trị của hàm f[x]. [sửa] Vài tính chất cơ bản • Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng A= • Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh • Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh f[A B] f[A] f[B] • Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh f[A B] = f[A] f[B] [sửa] Toàn ánh, đơn ánh và song ánh
• 3. Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y f[X] = Y hay • Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y .Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này. hay • Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" [từ X lên Y] . [sửa] Một số ánh xạ đặc biệt • Ánh xạ không đổi [ánh xạ hằng]: là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất y0 Y. • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f[x]=x. • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con vào Y cho f[x]= x với mọi . Khi đó ta ký hiệu f : X Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con , f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f[X] nên có thể thay thế các phần tử của tập con bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.123 [sửa] Ánh xạ tích và ánh xạ ngược • Ánh xạ tích Cho hai ánh xạ và . Tích của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức: • Một số tính chất của ánh xạ tích Nếu là đơn ánh thì f là đơn ánh. Nếu là toàn ánh thì g là toàn ánh. Nếu là song ánh thì f và g đều là song ánh. • Ánh xạ ngược [Inverse map] Cho ánh xạ , nếu có ánh xạ sao cho
• 4. gọi là ánh xạ ngược, hay nghịch đảo của f, kí hiệu là f − 1. Ánh xạ f có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.

4.731 lượt xem 358 download

Nội dung Text: Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính

1. Đ I S CƠ B N [ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C] Bài 17. Gi i bài t p v ánh x tuy n tính PGS TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. a. Cho ánh x f : Rn → R, ch ng minh r ng f là ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i các s a1 , a2 , . . . , an ∈ R đ f [x1 , x2 , . . . , xn ] = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn b. Cho ánh x f : Rn → Rm . Ch ng minh r ng f là ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i các s aij ∈ R đ f [x1 , x2 , . . . , xn ] = [a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ] [∗] Gi i. Ta ch gi i câu b., câu a. là trư ng h p đ c bi t c a câu b. khi m = 1. Ki m tra tr c ti p, ta th y ngay r ng n u f có d ng như [∗] thì f là ánh x tuy n tính. Ngư c l i, n u f là ánh x tuy n tính, ta đ t: f [ei ] = [a1i , a2i , . . . , ami ] v i i = 1, 2, . . . , n, trong đó ei = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]. Khi đó ta có f [x1 , x2 , . . . , xn ] = f [x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en ] = x1 f [e1 ] + x2 f [e2 ] + . . . + xn f [en ] = f [a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ] 2. Tìm công th c c a ánh x tuy n tính f : R3 → R3 bi t a. f [1, 1, 2] = [1, 0, 0], f [2, 1, 1] = [0, 1, 1], f [2, 2, 3] = [0, −1, 0]. b. f [1, 2, 3] = [−1, 0, 1], f [−1, 1, 1] = [0, 1, 0], f [1, 3, 4] = [1, 0, 2]. Gi i. a. Gi s [x1 , x2 , x3 ] = a1 [1, 1, 2] + a2 [2, 1, 1] + a3 [2, 2, 3] [1] Khi đó f [x1 , x2 , x3 ] = a1 [1, 0, 0] + a2 [0, 1, 1] + a3 [0, −1, 0] = [a1 , a2 − a3 , a2 ] [2] Do đó, đ tính f [x1 , x2 , x3 ], ta c n tính a1 , a2 , a3 qua x1 , x2 , x3 . Do công th c [1], a1 , a2 , a3 là nghi m c a h :     1 2 2 x1 1 2 2 x1  1 1 2 x2  −→  0 −1 0 −x1 + x2  2 1 3 x3  0 −3 −1 −2x1 + x3  1 2 2 x1 −→  0 −1 0 −x1 + x2  0 0 −1 x1 − 3x2 + x3 1
2. V y: a3 = −x1 + 3x2 − x3 a2 = x 1 − x 2 a1 = x1 − 2a2 − 2a3 = x1 − 2[x1 − x2 ] − 2[−x1 + 3x2 − x3 ] = x1 − 4x2 + 2x3 Thay vào [2], công th c c a ánh x f là: f [x1 , x2 , x3 ] = [x1 − 4x2 + 2x3 , 2x1 − 4x2 + x3 , x1 − x2 ] b. Gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 3. Trong R3 cho 2 cơ s : u1 = [1, 0, 0], u2 = [0, 1, 1], u3 = [1, 0, 1] [u] v1 = [1, −1, 0], v2 = [0, 1, −1], v3 = [1, 0, 1] [v] và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 , f [ui ] = vi . a. Tìm công th c c a f . b. Tìm các ma tr n Af /[u] , Af /[u],[v] , Af /[v] , Af /[v],[u] , Af /[ε3 ] Gi i. a. Gi s [x1 , x2 , x3 ] = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 [1] Khi đó f [x1 , x2 , x3 ] = f [a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 ] = a1 f [u1 ] + a2 f [u2 ] + a3 f [u3 ] = a1 [1, −1, 0] + a2 [0, 1, −1] + a3 [1, 0, 1] = [a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ] V y f [x1 , x2 , x3 ] = [a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ] [2] Ta c n tính a1 , a2 , a3 theo x1 , x2 , x3 , do [1], a1 , a2 , a3 là nghi m c a h     1 0 1 x1 1 0 1 x1  0 1 0 x2  −→  0 1 0 x2  0 1 1 x3 0 0 1 −x2 + x3 do đó: a3 = −x2 + x3 , a2 = x2 , a1 = x1 − a3 = x1 + x2 − x3 . Thay vào [2] công th c c a f là: f [x1 , x2 , x3 ] = [x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ] b. • Ma tr n Af /[u] Ta có: f [u1 ] = v1 = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 [1] f [u2 ] = v2 = b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 [2] f [u3 ] = v3 = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 [3] Khi đó   a1 b 1 c 1 Af /[u] =  a2 b 2 c 2  a3 b 3 c 3 2
3. các ai , bi , ci l n lư t là nghi m c a các phương trình véctơ [1], [2], [3]. M i phương trình [1], [2], [3] tương đương v i m t h phương trình tuy n tính có cùng ma tr n các h s [ch khác nhau c t t do], do đó, ta có th gi i cùng lúc 3 h đó như sau:     1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1  0 1 0 −1 1 0  −→  0 1 0 −1 1 0  0 1 1 0 −1 1 0 0 1 1 −2 1 – H 1: a3 = 1, a2 = −1, a1 = 1 − a3 = 0 – H 2: b3 = −2, b2 = 1, b1 = −b3 = 2 – H 3: c3 = 1, c2 = 0, c1 = 1 − c3 = 0 V y ma tr n   0 2 0 Af /[u] =  −1 1 0  1 −2 1 • Ma tr n Af /[u],[v] Ta có f [u1 ] = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 f [u2 ] = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3 f [u3 ] = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 V y ma tr n   1 0 0 Af /[u],[v] = 0 1 0  0 0 1 • Ma tr n Af /[v] Áp d ng câu a., ta s tính đư c f [v1 ], f [v2 ], f [v3 ], sau đó làm như các ph n trư c. C th : f [v1 ] = [1, −1, 2] = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 f [v2 ] = [0, −1, −3] = b1 v1 + b2 v2 + b3 v3 f [v3 ] = [1, 0, 1] = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ai , bi , ci là nghi m c a 3 h sau:     1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1  −1 1 0 −1 −1 0  −→  0 1 1 0 −1 1  0 −1 1 2 −3 1  0 −1 1 2 −3 1 1 0 1 1 0 1 −→  0 1 1 0 −1 1  0 0 2 2 −4 2 – H 1: a3 = 1, a2 = −a3 = −1, a1 = 1 − a3 = 0 – H 2: b3 = −2, b2 = −1 − b3 = 1, b1 = −b3 = 2 – H 3: c3 = 1, c2 = 1 − c3 = 0, c1 = 1 − c3 = 0 Vy   0 2 0 Af /[v] =  −1 1 0  1 −2 1 3
4. • Ma tr n Af /[v],[u] làm tương t . • Ma tr n Af /[ε3 ] theo câu a., công th c c a f là f [x1 , x2 , x3 ] = [x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ] do đó ta có ngay:   1 0 0 Af /[ε3 ] =  −1 0 1  0 −2 1 4. Cho ánh x tuy n tính θ : Rn [x] −→ Rn [x] p[x] −→ p [x] Tìm ma tr n c a θ trong cơ s : a. uo = 1, u1 = x, u2 = x2 , . . . , un = xn [x−a]2 [x−a]n b. vo = 1, v1 = x − a, v2 = 2! ,..., vn = n! Gi i. a. Ta có θ[uo ] = 0 = 0uo + 0u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un θ[u1 ] = 1 = 1uo + 0u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un θ[u2 ] = 2x = 0uo + 2u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un ................................................ θ[uk ] = kxk−1 = 0uo + 0u1 + . . . + kuk−1 + . . . + 0un ................................................ θ[un ] = nxn−1 = 0uo + 0u1 + . . . . . . . . . + nun−1 + 0un Vy   0 1 0 ... 0 ... 0   0 0 2 ... 0 ... 0    0 0 0 ... 0 ... 0  . . . . .      . . . . . . . . .  . Af /[u] = . . . . . . .  .    . . . k .   . . . . . . . . .  .    . . . . .   0 0 0 ... 0 ... n  0 0 0 ... 0 ... 0 b. L i gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 5. Cho ánh x tuy n tính f : R4 → R3 f [x1 , x2 , x3 , x4 ] = [x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 − x3 + x4 ] Tìm cơ s , s chi u c a Ker f, Im f 4
5. Gi i. • [x1 , x2 , x3 , x4 ] ∈ Ker f ⇔ f [x1 , x2 , x3 , x4 ] = 0, ⇔ [x1 , x2 , x3 , x4 ] là nghi m c a h   x1 − x2 + x3 = 0 2x1 + x4 = 0 [1] 2x2 + x3 + x4 = 0  Do đó, Ker f chính là không gian con các nghi m c a h [1] và h nghi m cơ b n c a h [1] chính là m t cơ s c a Ker f . Đ gi i h [1], ta bi n đ i ma tr n h s m r ng:     1 −1 1 0 0 1 −1 1 0 0  2 0 0 1 0  −→  0 2 −2 1 0  0 2 1 1 0  0 2 1 1 0  1 −1 1 0 0 −→  0 2 −2 1 0  0 0 3 0 0 H có vô s nghi m ph thu c 1 tham s là x4 . Ta có x3 = 0 x2 = 1 [2x3 − x4 ] = − 1 x4 2 2 x1 = x2 − x3 = x2 = − 1 x4 2 V y nghi m t ng quát c a h là:   x1  = −a x2 = −a   x3  =0 x4 = 2a  h nghi m cơ b n α1 = [−1, −1, 0, 2], do đó, dim Ker f = 1, cơ s c a Ker f là α1 = [−1, −1, 0, 2]. • Đ tìm cơ s c a Im f , ta tìm nh c a cơ s chính t c c a R4 . Ta có: f [e1 ] = [1, 2, 0], f [e2 ] = [−1, 0, 2], f [e3 ] = [1, 0, −1], f [e4 ] = [0, 1, 1] Im f = f [e1 ], f [e2 ], f [e3 ], f [e4 ] H con ĐLTT t i đ i c a f [e1 ], f [e2 ], f [e3 ], f [e4 ] là m t cơ s c a Im f . Ta có     1 2 0 1 1 2 0 1  −1 0 2  2  0 2 2  2   −→    1 0 −1  3  0 −2 −1  3 0 1 1 4  0 1 1  4 1 2 0 1  0 1 1  2 −→   0 −2 −1   3  0 2 2 4 1 2 0 1  0 1 1  2 −→   0 0 1  3  0 0 0 4 V y cơ s c a Im f là f [e1 ], f [e4 ], f [e3 ] và dim f = 3. 5
6. 6. Tìm vectơ riêng, giá tr riêng, chéo hóa các ma tr n sau:   1 0 1 [a]  0 0 0  1 0 1   5 −1 1 [b]  −1 2 −2  1 −2 2   1 2 1 [c]  2 4 2  1 2 1   1 0 0 0  0 0 0 0  [d]   0 0 0 0   1 0 0 1   1 3 1 2  0 −1 1 3  [e]   0  0 2 5  0 0 0 −2 Gi i. b] Tìm đa th c đ c trưng: 5 − λ −1 1 PA [λ] = −1 2 − λ −2 1 −2 2 − λ = [5 − λ][2 − λ]2 + 2 + 2 − [2 − λ] − 4[5 − λ] − [2 − λ] = −λ3 + 9λ2 − 18λ PA [λ] = 0 ⇔ λ = 0, λ = 3, λ = 6. V y A có 3 giá tr riêng là λ = 0, λ = 3, λ = 6. •  Vectơ riêng ng v i  tr riêng λ = 0 là giá các vectơ nghi m khác không  a h :   c 5 −1 1 0 −1 2 −2 0 −1 2 −2 0  −1 2 −2 0  −→  5 −1 1 0  −→  0 −11 11 0  1 −2 2 0 1 −2 2 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có: x3 = a, x2 = a, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng [0, a, a], a ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 0 là các vectơ có d ng [0, a, a], a = 0, dim V0 = 1. Cơ s c a V0 là α1 = [0, 1, 1]. •  Vectơ riêng ng v i  tr riêng giá λ = 3 là các vectơ nghi m khác không c a h :    2 −1 01 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0  −1 −1 −2 0  −→  −1 −1 −2 0  −→  0 −3 −3 0  1 −2 −1 0 2 −1 1 0 0 3 3 0   1 −2 −1 0 −→  0 −3 −3 0  0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . 6
7. Ta có: x3 = b, x2 = −b, x1 = 2x2 + x3 = −b. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng [−b, −b, b], b ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 3 là các vectơ có d ng [−b, −b, b], b = 0, dim V3 = 1. Cơ s c a V3 là α2 = [−1, −1, 1]. •  Vectơ riêng ng v i  tr riêng giá λ = 6 là các vectơ nghi m khác không c a h :    −1 −1 1 0 −1 −1 1 0 −1 −1 1 0  −1 −4 −2 0  −→  0 −3 −3 0  −→  0 −3 −3 0  1 −2 −4 0 0 −3 −3 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có: x3 = c, x2 = −c, x1 = −x2 + x3 = 2c. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng [2c, −c, c], c ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 6 là các vectơ có d ng [2c, −c, c], c = 0, dim V6 = 1. Cơ s c a V0 là α3 = [2, −1, 1]. Chéo hóa. T ng h p 3 trư ng h p trên ta th y ma tr n A có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính. Do đó A chéo hóa đư c. Ma tr n T c n tìm là:   0 −1 2 T =  1 −1 −1  1 1 1 và   0 0 0 T −1 AT =  0 3 0  0 0 6 là ma tr n chéo. d] Tìm đa th c đ c trưng 1−λ 0 0 0 0 −λ 0 0 PA [λ] = = λ2 [1 − λ]2 0 0 −λ 0 1 0 0 1−λ PA [λ] = 0 ⇔ λ = 0, λ = 1. V y ma tr n A có 2 giá tr riêng là λ = 0, λ = 1. •  Vectơ riêng ng vi giá  riêng λ tr = 0 là  vectơ nghi m khác không c a h : các 1 0 0 0 0 1∗ 0 0 0 0  0 0 0 0 0    −→  0 0 0  1∗ 0    0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c hai tham s là x2 , x3 . Ta có: x2 = a, x3 = b, x4 = 0, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng [0, a, b, 0], a, b ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 0 là các vectơ có d ng [0, a, b, 0], a2 + b2 = 0, dim V0 = 2. Cơ s c a V0 là α1 = [0, 1, 0, 0], α2 = [0, 0, 1, 0]. 7
8. •  Vectơ riêng ng v i giá tr   riêng λ = 1 là các vectơ nghi m khác không c a h :  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0  0 −1 0 0 0   −→  0 −1 0 0 0      0 0 −1 0 0   0 0 −1 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c tham s là x4 . Ta có: x4 = c, x3 = 0, x2 = 0, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng [0, 0, 0, c], c ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 1 là các vectơ có d ng [0, 0, 0, c], c = 0, dim V1 = 1. Cơ s c a V1 là α3 = [0, 0, 0, 1]. Chéo hóa. T ng h p 3 trư ng h p trên ta th y ma tr n A ch có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính trong khi A là ma tr n c p 4 nên A không chéo hóa đư c. 7. Trong R3 cho cơ s : u1 = [1, 1, 1], u2 = [−1, 2, 1], u3 = [1, 3, 2] và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i: f [u1 ] = [0, 5, 3] f [u2 ] = [2, 4, 3] f [u3 ] = [0, 3, 2] Tìm m t cơ s đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n chéo. Gi i. Đ u tiên ta tìm ma tr n c a f trong cơ s nào đó c a R3 . Vì è đã cho f [u1 ], f [u2 ], f [u3 ] nên d nh t là tìm ma tr n c a f trong cơ s [u]. B n đ c có th d dàng tìm đư c:   0 1 1 Af /[u] =  1 0 1  1 1 0 Bư c ti p theo, ta tìm giá tr riêng và vectơ riêng c a ma tr n A = Af /[u] . T đó s tìm đư c giá tr riêng và vectơ riêng c a f .   0 1 1 Các giá tr riêng, vectơ riêng c a ma tr n A =  1 0 1 , ta đã tìm trong ph n lý thuy t. 1 1 0 K t qu tóm t t như sau: • A có hai giá tr riêng là λ = −1 và λ = 2. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1 là các vectơ [−a − b, a, b], a2 + b2 = 0. Trư ng h p này A có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = [−1, 1, 0], α2 = [−1, 0, 1]. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2 là các vectơ [c, c, 0], c = 0. Trư ng h p này A có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α3 = [1, 1, 1]. T đó suy ra: • f có hai giá tr riêng là λ = −1 và λ = 2. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1 là các vectơ d ng [−a − b]u1 + au2 + bu3 = [−2a, a + 2b, b], a2 + b2 = 0. Trư ng h p này f có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β1 = −1.u1 + 1.u2 + 0.u3 = [−2, 1, 0] β2 = −1.u1 + 0.u2 + 1.u3 = [0, 2, 1] 8
9. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2 là các vectơ d ng c.u1 + c.u2 + c.u3 = [c, 6c, 4c], c = 0. Trư ng h p này f có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β3 = 1.u1 + 1.1.u2 + 1.u3 = [1, 6, 4] K t lu n. Vì f là phép bi n đ i tuy n tính c a R3 [dim R3 = 3] và f có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính là β1 , β2 , β3 nên β1 , β2 , β3 [β] chính là cơ s c a R3 c n tìm và ta có:   −1 0 0 Af /[β] =  0 −1 0  0 0 2 8. Cho phép bi n đ i tuy n tính ϕ : V → V th a mãn ϕ2 = ϕ. Ch ng minh: [a] Im ϕ + Ker ϕ = V [b] Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} Gi i. a] T t nhiên Im ϕ + Ker ϕ ⊂ V , ta c n ch ng minh: V ⊂ Im ϕ + Ker ϕ. V i m i α ∈ V , ta có: α = ϕ[α] + [α − ϕ[α]] T t nhiên ϕ[α] ∈ Im ϕ, và ϕ[α − ϕ[α]] = ϕ[α] − ϕ2 [α] = ϕ[α] − ϕ[α] = 0. Do đó, α − ϕ[α] ∈ Ker ϕ ⇒ α ∈ Im ϕ + Ker ϕ, và Im ϕ + Ker ϕ = V . b] Gi s β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ. Khi đó t n t i α ∈ V đ ϕ[α] = β. Theo gi thi t ϕ2 = ϕ nên ta có: β = ϕ[α] = ϕ2 [α] = ϕ[ϕ[α]] = ϕ[β] = 0 [vì β ∈ Ker ϕ]. V y β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ thì β = 0. Do đó, Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0}. 9. Cho f : V → V là ánh x tuy n tính, L là không gian vectơ con c a V . Ch ng minh: [a] dim L − dim Ker f ≤ dim f [L] ≤ dim L. [b] dim L ≤ dim f −1 [L] ≤ dim L + dim Ker f . Gi i. Đ gi i bài t p 9 và bài t p 10, ta c n nh k t qu sau [đã ch ng minh trong ph n lý thuy t]: N u ϕ : V → U là ánh x tuy n tính thì ta có: dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V ¯ ¯ ¯ a] Xét ánh x f : L → V , f = f |L , t c là f [α] = f [α] v i m i α ∈ L. ¯ = f [L] = f [L], Ker f = L ∩ Ker f . Ta có Im f ¯ ¯ ¯ Áp d ng k t qu trên v i ϕ = f , ta có: ¯ ¯ dim Im f + dim Ker f = dim L ¯ Do đó, dim f [L] = dim Im f ≤ dim L ¯ và dim f [L] = dim L − dim Ker f ≥ dim L − dim Ker f b] Đ t L = f −1 [L]. Khi đó f [L ] = L. Áp d ng a] v i không gian vectơ con L , ta có: dim L − dim Ker f ≤ dim f [L ] ≤ dim L t c là dim f −1 [L] − dim Ker f ≤ dim L ≤ dim f −1 [L] 9
10. Do đó: dim L ≤ dim f −1 [L] ≤ dim L + dim Ker f 10. Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh x tuy n tính. Ch ng minh: [a] rank[ψϕ] ≤ min{rank ψ, rank ϕ} [b] rank[ψϕ] = rank ϕ − dim[Ker ψ ∩ Im ϕ] [c] rank[ψϕ] ≥ rank kϕ + rank − dim W Gi i. a] Áp d ng câu a] bài 9 cho ánh x tuy n tính ψ : W → U v i L = Im ϕ = ϕ[V ] ⊂ W , ta có: dim ϕ[V ] ≥ dim ψ[ϕ[V ]] = dim[ψϕ][V ] = dim Im[ψϕ] V y ta có: rank[ψϕ] ≤ rank ϕ [1] M t khác, ta có: ϕ[V ] ⊂ W nên ψ[ϕ[V ]] ⊂ ψ[W ], do đó dim ψϕ[V ] ≤ dim ψ[W ], t c là: rank ψϕ ≤ rank ψ [2]. T [1] và [2] ta có đi u c n ch ng minh. ¯ ¯ ¯ b] Xét ánh x ψ : Im ϕ → U , ψ = ψ|Im ϕ , t c là ψ[α] = ψ[α] v i m i α ∈ Im ϕ. ¯ ¯ ¯ Khi đó, Ker ψ = Ker ψ ∩ Im ϕ và Im ψ = ψ[Im ϕ] = ψ[Im ϕ] = [ψϕ][V ] = Im ψϕ, t c là: dim Im[ψϕ] + dim[Ker ψ ∩ Im ϕ] = dim Im ϕ. Do v y, rank[ψϕ] = rank ϕ − dim[Ker ψ ∩ Im ϕ]. c] Ta có: dim Ker ψ + dim Im ψ = dim W nên dim Ker ψ = dim W − rank ψ. B i v y, theo câu b] rank[ψϕ] = rank ϕ − dim[Ker ψ ∩ Im ϕ] ≥ rank ϕ − dim Ker ψ = rank ϕ − [dim W − rank ψ] = rank ϕ + rank ψ − dim W. 1 1 Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, TR N Đ C THU N Ngày: 09/03/2006 10