Giải bài tập phép tính vi phân hàm 1 biến
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾNTs. Lê Xuân Trường Show
Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 / 55 Các nội dung chính1 Giới hạn hàm số 2 Hàm số liên tục 3 Đạo hàm 4 Vi phân 5 Khai triển Taylor-Maclaurin 6 Qui tắc L’Hospital 7 Bài toán tối ưu và ứng dụng Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 / 55 PHẦN 1GIỚI HẠN HÀM SỐ1. Giới hạn hàm số
lim x →+∞ x α \=+∞, khi α > 0 1 , khi α = 0 0 , khi α < 0 lim x →a C = C (C là hằng số) lim x →0 sin x x \= 1lim x → 0 a x − 1 x \= ln a, lim x →0 ln (x + 1 ) x \= 1lim x →±∞ (1 +1 x )x \= lim x → 0 ( 1 + x ) 1 /x \= e lim x → 0 ( 1 +x ) α − 1 x \= α 1. Giới hạn hàm số
tồn tại lim x →a f (x ) ⇔ lim x →a
x →a − f (x ) hữu hạn lim x →a
− f (x ) Ví dụ: Xét sự tồn tại của giới hạn sau lim x → 1
x − 1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5 / 55 1. Giới hạn hàm số
Nếu f là hàm số sơ cấp, xác định tại a thì lim x →a f (x ) = f (a). Ví dụ: lim x → 2 (x 3 − 2 x 2 + 4)\= 23 − 2. 22 + 4 = 4Tính chất kẹp: {g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) lim x →a g (x ) = lim x →a h (x ) = A ⇒ lim x →a f (x ) = A Ví dụ:Tính giới hạn lim x → 0 x sin 1 x − |x | ≤ x sin 1 x ≤ |x | lim x → 0 (− |x |) = lim x → 0 |x | = 0 ⇒ lim x → 0 x sin 1 x \= 0Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 6 / 55 1. Giới hạn hàm số
Giả sử lim x →a f (x ) và lim x →a g (x ) tồn tại hữu hạn. Khi đó ta có (i ) lim x →a [f (x ) ± g (x )] = lim x →a f (x ) ± lim x →a g (x ) (ii ) lim x →a [f (x ) .g (x )] = lim x →a f (x ). lim x →a g (x ) (iii ) lim x →a f (x ) g (x ) \=lim x →a f (x ) lim x →a g (x ) (nếu lim x →a g (x ) 6 = 0) (iv ) lim x →a [f ( x )] g (x ) \= [lim x →a f ( x )] lim x →a g (x ) (lim x →a f (x ) > 0 ) 1. Giới hạn hàm số
Khi xét giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số ta cũng lưu ý một số điểm như sau ∞ +(một số hữu hạn )\= ∞, ∞ ×(một số dương )\= ∞∞ ×(một số âm )\= −∞,(một số hữu hạn )/∞ = 0∞/(một số hữu hạn )\= ∞Chú thích: Cách viết trên đây là hình thức. Chẳng hạn ∞ +(một số hữu hạn )\= ∞,được hiểu là nếu lim f (x ) = ∞ và lim g (x ) 6 = ∞ thì lim [f (x ) + g (x )] = ∞. 1. Giới hạn hàm số
Khử dạng vô định 0 0 :
1 , β ∼ β 1 thì lim x →a α (x ) β (x ) = lim x →a α 1 (x ) β 1 (x ) .Ví dụ 1: Tính giới hạn lim x → 0 5 √1 + x 3 − 1 ln ( 1 + 2 x 3 ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 13 / 55 1. Giới hạn hàm số
Khử dạng vô định 0 0 :Ví dụ 2: Tính giới hạn lim x → 0 (e 2 x − 1)sin x x 3
α ∼ α ′ và β ∼ β ′ ⇒ α.β ∼ α ′ .β ′ α 1 \= 0 (α 2 ) ⇒ α 1
∼ α 2 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 14 / 55 1. Giới hạn hàm số
A = lim x → 0 (e x − 1 ). sin 2 x x 3 +tan 4 x B = lim x → 0 (cot x − 1 sin x )C = lim x → 1 ln(cos(x − 1 )) 3 √ x 2 − 2 x + 2 − 1 D = lim x → 0 (cos x ) 1 x PHẦN 2HÀM SỐ LIÊN TỤC2. Hàm số liên tục
Hàm số y = f (x ) liên tục tại a nếu f xác định tại a và lim x →a − f (x ) = lim x →a f (x ) = f (a) Liên tục một bên liên tục bên trái: lim x →a − f (x ) = f (a) liên tục bên phải: lim x →a
x ) = f ( a ) Liên tục trên đoạn [a, b]
Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 17 / 55 2. Hàm số liên tục
Tìm m để hàm số y = f (x ) = 3 √ 1 +x −cos x x , x 6 = 0 , m, x = 0. liên tục tại 0. Cho hàm số f (x ) = e x + 1 − 1 x + 1 , x < − 1 , ax + b, − 1 ≤ x < 1 , x 2 − 2 , x ≥ 1. Tìm a, b để hàm số liên tục trên R. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 18 / 55 2. Hàm số liên tục
Mọi hàm số sơ cấp xác định tại a sẽ liên tục tại a. Tổng, hiệu, tích và thương các hàm số liên tục là một hàm liên tục. Hợp hai hàm số liên tục là một hàm số liên tục. Nếu hàm số f liên tục trên [ a, b ] thì ta có (i ) ∃x 1 , x 2 ∈ [a, b] : f (x 1 ) = m = min x ∈[a,b] f (x ) f (x 2 ) = M = max x ∈[a,b] f (x ) (ii ) ∀c ∈ [m, M] , ∃x c ∈ [a, b] : f (x c ) = c (iii ) f (a) f (b) < 0 ⇒ ∃x 0 ∈ (a, b) : f (x 0 ) = 0PHẦN 3ĐẠO HÀM3. Đạo hàm
(hàm mũ và logarit) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 25 / 55 3. Đạo hàm
(hàm lượng giác) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 / 55 3. Đạo hàm
(hàm lượng giác ngược) 3. Đạo hàm
Ý nghĩa hình học f ′ (a) là hệ số góc của tiếp tuyến tại P (a, f (a)) 3. Đạo hàm
Ý nghĩa kinh tế f có đạo hàm tại a (f ′ (a) = lim h→ 0 f ( a+h ) −f ( a ) h )\=⇒ f (a + h) − f (a) = f ′ (a) h + 0 (h)
Mf (x ) = f (x + 1 ) − f (x ) ≃ f ′ (x ) Ví dụ: Giả sử chi phí sản xuất làm một hàm số của sản lượng, Q, C = C (Q)thì chi phí biên xác định bởi MC ( Q)≃ C′ (Q).Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 29 / 55 3. Đạo hàm
Ý nghĩa kinh tế
ε f (x ) = % thay đổi của y % thay đổi của x \=∆y /y ∆x /x Ví dụ: Hàm cầu của một loại hàng hóa được cho bởi Qd \= Qd (P) = 60 − 2 P2 .⋄ Tính hệ số co dãn của lượng cầu tại mức giá P = 4 ⋄ Từ kết quả trên hãy tính phần trăm thay đổi của sản lượng khi giảm giá xuống còn 3, 6. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 / 55 3. Đạo hàm
{f (n) (x ) = d n f dx n (x ) = d dx (f (n− 1 ) (x ) ), n ≥ 1 , f ( 0 ) (x ) = f (x ). Công thức Leibnitz: (u (x ) .v (x )) (n) \=n ∑k= 0 Ck n u (k) (x ) .v (n−k) (x ) Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số f (x ) = 1 ax +b và g (x ) = x 2 e − 3 x .PHẦN 4VI PHÂN5. Khai triển Taylor-Maclaurin
Nếu f (x ) có đạo hàm đến cấp n trên (a − ε, a + ε) thì f ( x ) = f ( a ) + f ′ (a ) ( x − a ) + f ′′ (x 0 ) 2! (x − a ) 2 + · · · +f (n) (a) n! (x − a) n
n )Nhận xét:
f (x ) ≃ n ∑k= 0 f ′(k) (a) k! (x − a) k := Pn (x )
Rn (x ) = f ( x ) − Pn (x ) = 0((x − a ) n )Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 / 55 5. Khai triển Taylor-Maclaurin
Ví dụ: Viết khai triển Taylor đến cấp 3 cho hàm số y = f (x ) = ln ( 2 + x ) trong lân cận điểm a = − 1 Ta có f (x ) = ln ( 2 + x ) ⇒ f (− 1 ) = 0 f ′ (x ) = 1 / (x + 2 ) ⇒ f ′ (− 1 ) = 1f ′′ (x ) = − 1 / (x + 2 ) 2 ⇒ f ′′ (− 1 ) = − 1f ( 3 ) (x ) = 2 / (x + 2 ) 3 ⇒ f ( 3 ) (− 1 ) = 2Suy ra f (x ) = (x + 1 ) − 12(x + 1 ) 2 +13(x + 3 ) 3 + 0((x + 1 ) 3 )Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 38 / 55 5. Khai triển Taylor-Maclaurin
Công thức Maclaurin f (x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′′ ( 0 )2!x 2 + · · · +f (n) ( 0 )n! x n
n )Nhận xét:
hàm số g (x ) = f (x − a) trong lân cận điểm a 5. Khai triển Taylor-Maclaurin
Ví dụ: Viết khai triển Maclaurin của hàm số f (x ) = sin x (đến cấp n) Ta có f (n) (x ) = sin (x + n π 2)⇒ f (n) ( 0 ) =0 , n = 2 k (− 1 )k n = 2 k + 1 Do đó ta suy ra f (x ) = x − x 3 3!+x 5 5!− · · · + (− 1 )k x 2 k+ 1 ( 2 k + 1 )! + 0(x 2 k+ 1 )5. Khai triển Taylor-Maclaurin
Khai triển Maclaurin một số hàm sơ cấp e x \= 1 + x + x 2 2! + · · · +x n n!
n )sin x = x − x 3 3! +x 5 5! − · · · + (− 1 )m− 1 x 2 m− 1 ( 2 m− 1 )! + 0(x 2 m )cos x = 1 − x 2 2! +x 4 4! − · · · + (− 1 )m x 2 m ( 2 m)! + 0(x 2 m+ 1 )ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 +x 3 3 − · · · + (− 1 )n− 1 x n n
n )1 1 −x \= 1 + x + x 2
n
n )Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 41 / 55 5. Khai triển Taylor-MaclaurinLUYỆN TẬPCho hàm số y = f (x ) = cos 2 x Viết khai triển Maclaurin của f đến cấp 4 Sử dụng kết quả trên, tính gần đúng giá trị cos 2 120 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 42 / 55 5. Khai triển Taylor-Maclaurin
Nếu f có đạo hàm đến cấp n + 1 trên (a − ε, a + ε) thì Rn (x ) = f (n+ 1 ) (c) (n + 1 ) !(x − a) n+ 1 ,trong đó c nằm giữa x và a. Ví dụ: Tính gần đúng số e với sai số không quá 10 − 2 PHẦN 6QUY TẮC L’HOSPITAL7. Bài toán tối ưu và ứng dụngCực trị địa phương và cực trị toàn cục Với khái niệm cực tiểu ta có các bất đẳng thức ngược lại. Khi f đạt cực đại hoặc cực tiểu thì ta nói f đạt cực trị. Nếu f đạt cực đại toàn cục tại x 0 thì nó cũng đạt cực đại địa phương tại đó. Trên tập ràng buộc S, hàm số có thể đạt cực trị tại nhiều điểm khác nhau. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 49 / 55 7. Bài toán tối ưu và ứng dụngĐiều kiện cần Theorem f đạt cực trị tại x 0 và f khả vi tại x 0 thì ta có f ′ (x 0 ) = 0Nhận xét: Điểm x 0 thỏa điều kiện f ′ (x 0 ) = 0 được gọi là điểm dừng. f đạt cực trị tại x 0 thì x 0 là điểm dừng f không có đạo hàm tại x 0 .Các điểm thuộc một trong hai loại trên được gọi là điểm tới hạn. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 50 / 55 7. Bài toán tối ưu và ứng dụngĐiều kiện đủ cho cực trị địa phương Theorem (theo đạo hàm cấp một) Giả sử x 0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x ) và f có đạo hàm trong lân cận x 0 . Khi đó f ′ (x ) \> 0 , ∀x ∈ ( x 0 − δ, x 0 )f ′ (x ) < 0 , ∀x ∈ (x 0 , x 0
⇒ f đạt cực đại địa phương tại x 0 .f ′ (x ) < 0 , ∀x ∈ (x 0 − δ, x 0 )f ′ (x ) > 0 , ∀x ∈ (x 0 , x 0
⇒ f đạt cực tiểu địa phương tại x 0 .7. Bài toán tối ưu và ứng dụngĐiều kiện đủ cho cực trị địa phương Theorem (theo đạo hàm cấp cao) Cho x 0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x ). Giả sử tồn tại số tự nhiên n ≥ 2 sao cho f ′ (x 0 ) = f ′′ (x 0 ) = · · · = f (n− 1 ) (x 0 ) = 0 và f (n) (x 0 ) 6 = 0.Nếu n là số chẵn thì x 0 là một điểm cực trị của hàm số x 0 là điểm cực đại nếu f (n) ( x 0 ) < 0 x 0 là điểm cực tiểu nếu f (n) (x 0 ) > 0 Nếu n là số lẻ thì x 0 không là điểm cực trị của hàm số Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của hàm số y = f (x ) = x 4
3 7. Bài toán tối ưu và ứng dụngĐiều kiện đủ cho cực trị toàn cục Cho hàm số y = f (x ) xác định trên khoảng S = (a, b) Theorem Giả sử x 0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x ) Nếu f là hàm lồi trên S (f ′′ (x ) > 0 , ∀x ∈ S ) thì f đạt cực tiểu toàn cục tại x 0 .Nếu f là hàm lõm trên S (f ′′ (x ) < 0 , ∀x ∈ S ) thì f đạt cực tiểu toàn cục tại x 0 .Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 53 / 55 7. Bài toán tối ưu và ứng dụngTìm sản lượng để có lợi nhuận lớn nhất Giả thiết: Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử Hàm cầu của sản phẩm là Q d \= Qd (P), với P là giá bán Chi phí sản xuất: C = C (Q) , trong đó C là chi phí và Q là sản lượng. Sản phẩm làm ra được tiêu thụ hết Yêu cầu:Định mức sản lượng Q để xí nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 54 / 55 7. Bài toán tối ưu và ứng dụngĐánh thuế doanh thu Giả thiết: Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử Hàm cầu của sản phẩm là Q d \= Qd (P), với P là giá bán Chi phí sản xuất: C = C (Q) , trong đó C là chi phí và Q là sản lượng. Sản phẩm làm ra được tiêu thụ hết Yêu cầu:Xác định mức thuế trên 1 đơn vị sản lượng để thu được của xí nghiệp nhiều thuế nhất. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55 / 55 |