Dem từ 1 đến n có bao nhiêu số dương năm 2024
Ada, Assembly, Awk, C, C++, C11, CLANG, CLANGX, Classical, COBOL, Coffee, CSC, D lang, DART, F95, FORTH, Fortrn, Show GAS32 , GO, Haskell, Itercal, Java, kotlin, LEAN , LISP, LUA, MONOVB, Nasm , OCAML , Pascal, Perl, php, PIKE, prolog , Pypy, Python, Ruby 2 , RUST, Scala, SCM, SED, SWIFT , TCL, TUR , V8JS , VB , ZIG Toto học về hệ đếm cơ số 2 và rất thích thú với các phép toán trên nó. Tichpx thấy vậy đặt ra bài toán, cho số nguyên dương n nếu viết tất cả các số từ 1 đến n sang hệ nhị phận thì cần bao nhiêu bit số 1. Toto rất hào hứng với bài toán nhưng vẫn chưa có lời giải. Bạn hãy lập trình giải bài toán giúp Toto nhé I. Đặt vấn đềChắc hẳn, ai trong chúng ta cũng đã quá quen thuộc với bài toán đếm số ước nguyên dương của nn. Giải thuật thông thường nhất mà mọi người thường sử dụng là giải thuật O(n),O(\sqrt{n}), dựa trên một nhận định rằng nếu như số nn có một ước là i (1≤i≤n)i \ (1 \le i \le \sqrt{n}) thì nó cũng sẽ có một ước nữa là ni (n≤ni≤n)\frac{n}{i} \ \left(\sqrt{n} \le \frac{n}{i} \le n \right). Bằng phương pháp này, chúng ta có thể giải quyết mọi bài toán với giới hạn nn khoảng 101510^{15} trở xuống (Các bạn xem lại trong chuyên đề Tìm các ước của một số nguyên). Một phương pháp hay khác mà chúng ta cũng sử dụng là phân tích thừa số nguyên tố và đếm ước của nn dựa trên phân tích nguyên tố của nó. Cách làm này có thể khiến thao tác đếm ước của số nn giảm xuống độ phức tạp O(log(n))O(\log(n)) khi kết hợp với sàng lọc số nguyên tố, và thường được áp dụng trong các bài toán multi-testcase (các bạn xem lại trong chuyên đề Số nguyên tố). Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp này là bạn buộc phải tạo ra được một mảng có độ dài nn để đánh dấu các số nguyên tố, đồng nghĩa với việc nếu n≤109,n \le 10^9, các bạn không thể sử dụng được nó. Điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta cần đếm ước của một số nguyên dương n≤1018?n \le 10^{18}? Phân tích thừa số nguyên tố? Không thể, vì ta không thể sàng lọc được số nguyên tố ở giới hạn này. Vậy phân tích theo phương pháp O(n)O(\sqrt{n}) truyền thống thì sao? Cũng không thể, vì O(n)≈O(109),O(\sqrt{n}) \approx O(10^9), độ phức tạp này không đủ tốt. Khi đó, người ta sử dụng phương pháp đếm ước trong O(n13),O(n^{\frac{1}{3}}), một phương pháp rất hiệu quả nhưng lại được ít người biết đến, có lẽ vì chúng ta không thường xuyên gặp phải những bài toán như vậy. Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng nghiên cứu ý tưởng và cách cài đặt của phương pháp này bằng C++. Trước khi đọc bài viết, các bạn cần có kiến thức đầy đủ về sàng lọc số nguyên tố, đếm ước theo phương pháp thông thường cũng như kĩ năng code ở mức khá. Nếu chưa nắm được những kiến thức này, các bạn hãy quay lại nghiên cứu những chuyên đề cũ mà mình đã để link ở trên nhé! II. Phương pháp đếm số ước của một số trong O(n13)O(n^{\frac{1}{3}})1. Phương pháp kiểm tra nguyên tố FermatĐể sử dụng được giải thuật đếm ước trong O(n13),O(n^{\frac{1}{3}}), trước tiên ta cần tìm hiểu về phương pháp của Fermat dùng để kiểm tra tính nguyên tố của một số. Đây là một phương pháp kiểm tra nguyên tố có tính xác suất, nghĩa là nó có thể xảy ra trường hợp sai, tuy nhiên, trong giải thuật này sự sai khác đó có thể chấp nhận được. Ý tưởng: Phương pháp kiểm tra tính nguyên tố của Fermat được xây dựng dựa trên định lý Fermat nhỏ: Nếu nn là một số nguyên tố, thì với mọi giá trị aa sao cho 1≤a Dựa vào định lý trên, ta triển khai giải thuật như sau: Giải thuật kiểm tra tính nguyên tố của Fermat sẽ luôn luôn đúng nếu như nn đã là một số nguyên tố, ngược lại nó sẽ có thể sai. Tuy nhiên, như đã nói xác suất xảy ra sai khi nn là hợp số khá nhỏ, nên chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng giải thuật Fermat trong một số trường hợp cụ thể. Bên cạnh đó, các bạn có thể tìm hiểu về một số giải thuật kiểm tra nguyên tố xác suất khác như Miller - Rabin hay Solovay - Strassen. Cài đặt:
Giải thuật có độ phức tạp O(k×log(n))O(k \times \log(n)). 2. Phương pháp kiểm tra nguyên tố Miller - RabinPhương pháp nói trên của Fermat có ưu thế là cài đặt đơn giản, ngắn gọn, tuy nhiên xác suất sai sẽ dễ xảy ra trong trường hợp số nn đưa vào là một số giả nguyên tố (tức là hợp số nhưng vẫn thỏa mãn an≡1 (mod n)a^n \equiv 1 \ (\text{mod }n) với aa nào đó). Chính vì thế, khi cần tới độ chính xác cao, người ta thường sử dụng phương pháp kiểm tra tính nguyên tố Miller - Rabin, một phương pháp rất mạnh trong các phương pháp kiểm tra nguyên tố có tính xác suất. Ý tưởng: Giải thuật Miller - Rabin được xây dựng dựa trên một số nhận định sau:
{xk=(xk−1)2;∀k:1≤k≤r.xr=an−1. (4)\begin{cases}x_k = (x_{k - 1})2;&& \forall k: 1 \le k \le r.\\ x_r = a{n - 1}. \end{cases} \ (4)
Dựa vào tất cả các nhận xét trên, ta có mệnh đề kiểm tra nguyên tố Miller - Rabin như sau: Nếu nn là một số nguyên tố lẻ và n−1=2r×d (r>0,d mod 2≠0)n - 1 = 2^r \times d \ (r > 0, d \text{ mod }2 \ne 0) thì ∀a:1≤a Như vậy giải thuật có thể triển khai thành các bước sau: Thực hiện giải thuật trên kk lần, với kk càng lớn ta sẽ có độ chính xác càng cao. Đối với giải thuật Miller - Rabin thì chỉ cần sử dụng k=10k = 10 là đã đủ an toàn. Cài đặt:
Giải thuật có độ phức tạp O(k×log(n))O(k \times \log(n)). 3. Đếm số ước của một số trong O(n13)O(n^{\frac{1}{3}})Ý tưởng: Nói dài dòng như vậy, nhưng bây giờ chúng ta mới đi vào ý chính của bài viết. Trước tiên, ta sẽ viết nn dưới dạng tích của hai số x,yx, y sao cho:
Dễ dàng nhận thấy, xx và yy là hai số nguyên tố cùng nhau, do chúng không có chung bất kỳ thừa số nguyên tố nào cả. Việc tìm ra xx có thể thực hiện rất dễ, bằng cách duyệt qua tất cả các số nguyên dương trong đoạn [2,n13][2, n^{\frac{1}{3}}] và thử chia nn cho những số đó tới khi không thể chia hết được nữa (giống với cách phân tích thừa số nguyên tố trong O(n)O(\sqrt{n})). Ở bước này ta sẽ áp dụng thêm sàng lọc số nguyên tố để tìm nhanh ra các số nguyên tố không vượt quá n13n^{\frac{1}{3}}. Đến đây, bạn đọc có thể thắc mắc rằng, tại sao lại cần viết nn ở dạng x×y?x \times y? Cần biết rằng, hàm F(n)F(n) đếm số lượng ước nguyên dương của nn là một Hàm nhân tính, tức là F(n)=F(x)×F(y)F(n) = F(x) \times F(y) nếu như xx và yy là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó, việc tính F(n)F(n) sẽ được đưa về việc tính F(x)F(x) và F(y)F(y). Cụ thể ta tính F(x)F(x) và F(y)F(y) như sau:
Việc kiểm tra yy thuộc vào trường hợp nào có thể được thực hiện bằng cách sử dụng giải thuật kiểm tra tính nguyên tố của Fermat hoặc Miller - Rabin như mình đã đề cập ở trên! Như vậy, chúng ta đã có thể cài đặt giải thuật đếm số ước của nn trong O(n13)O(n^{\frac{1}{3}})! Cài đặt: Dưới đây là cài đặt C++ của giải thuật, đã được sử dụng để nộp thành công bài tập https://codeforces.com/gym/100753/attachments trên codeforces. Mình sẽ thực hiện bằng cả hai phương pháp kiểm tra số nguyên tố của Fermat và Miller - Rabin. |