Đề bài
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH, HC HB = AB.\] Chứng minh rằng \[BC = 2AB.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Lấy điểm \[D\] trên tia \[HC\] sao cho \[HB = HD\]
Sử dụng:
+] Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đọan thẳng đó
+] Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau
+] Hai góc phụ nhau có tổng bằng \[90^\circ \]
Lời giải chi tiết
Lấy điểm \[D\] trên tia \[HC\] sao cho \[HB = HD\]
Suy ra \[AH\] là đường trung trực của \[\widehat {BAD}\] [vì \[AH \bot BD;HB = HD\]] nên \[AB = AD\] [tính chất đường trung trực]
Theo giả thiết ta có: \[HC - HB = AB \]\[\Leftrightarrow HC - HD = AB\] [vì \[HB = HD\]]
Hay \[CD = AB = AD\] [1]
Ta lại có: \[\Delta DAC\] cân tại \[D\] [do \[DA = DC\]] nên \[\widehat {DCA}\]\[ = \widehat {DAC}\]
Mà \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \] và \[\widehat {BAD} + \widehat {DAC} = 90^\circ \]
Suy ra \[\widehat {ABC} = \widehat {BAD}\] [cùng phụ với hai góc bằng nhau]
Hay tam giác \[ABD\] cân tại \[D\], suy ra \[DB = DA\] [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra \[AB = BD = DC \]\[= \dfrac{{BC}}{2}\] hay \[BC = 2AB.\]