Đề bài
Dựng tam giác\[ABC\], biết\[\widehat{A}={60^o}\]và, tỉ số \[\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{5}\]và đường cao\[AH = 6cm\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lí:Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
- Tính chất hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
1. Phân tích:
Giả sử đã dựng được \[\Delta ABC\] có \[\widehat A = {60^0}\], \[AH = 6cm\] và \[\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{4}{5}\].
Trên tia \[AB\] vẽ điểm \[M\] sao cho \[AM = 4\] đơn vị dài.
Trên tia \[AC\] vẽ điểm \[N\] sao cho \[AN = 5\] đơn vị dài.
Ta có: \[\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{4}{5}.\] Vậy \[\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\] [vì cùng bằng \[\dfrac{4}{5}\]]
Suy ra \[\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}}\].
Theo định lý Ta let đảo, \[MN//BC\]. \[AH \bot BC\] nên \[AH \bot MN\] tại \[K\].
Tam giác \[AMN\] xác định thì tam giác \[ABC\] cũng được xác định. Từ đó suy ra cách dựng như sau:
2. Cách dựng:
- Dựng góc \[\widehat {xAy} = {60^0}\]
- Trên tia \[Ax\] lấy điểm \[M\] sao cho \[AM = 4\] đơn vị dài.
Trên tia \[Ay\] lấy điểm \[N\] sao cho \[AN = 4\] đơn vị dài.
Vẽ đoạn thẳng \[MN\] được tam giác \[AMN\] có \[\widehat A = {60^0}\].
Vẽ đường cao \[AK\] của tam giác \[AMN\].
Trên tia \[AK\] lấy điểm \[H\] sao cho \[AH = 6cm\].
Qua \[H\] dựng đường thẳng vuông góc với \[AH\], đường thẳng này cắt tia \[Ax\] tại \[B\], cắt tia \[Ay\] tại \[C\]. Tam giác \[ABC\] là tam giác phải dựng. [h.31].
3. Chứng minh:
[Ta phải chứng minh \[\Delta ABC\] có đầy đủ các yêu cầu của bài toán].
\[\Delta ABC\] có góc \[\widehat A = {60^0}\] [theo cách dựng] [1]
\[\Delta ABC\] có đường cao \[AH = 6cm\] [theo cách dựng] [2]
Mặt khác, \[MN//BC\] vì \[MN\] và \[BC\] cùng vuông góc với \[AH\]]
Theo định lý Ta let ta có: \[\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}}\] \[ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{4}{5}\,\left[ 3 \right]\]
Tam giác có đầy đủ ba điều kiện [1], [2], [3] theo yêu cầu của bài toán.
Vậy đó là tam giác phải dựng.