Đề bài
Tính sin, cos, tang của các góc \[A \] và \[B\] của tam giác \[ABC\] vuông ở \[C\] biết:
a] \[BC= 8, AB = 17;\]
b] \[BC=21,AC=20;\]
c] \[BC=1,AC=2;\]
d] \[AC=24,AB=25.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
-Định lí Pytago:Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Trong tam giác vuông các tỉ số lượng giác của góc nhọn \[[\alpha]\] được định nghĩa như sau:
\[\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{BC}};\]\[\tan \alpha = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\]
Lời giải chi tiết
a] Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\], ta có:
\[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\]
\[\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{17}^2} - {8^2}} \]\[\,= 15\]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] nên\[\widehat A\] và \[\widehat B\] là hai góc phụ nhau, ta có:
\[\begin{array}{l}
\sin A = \cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{8}{{17}}\\
\cos A = \sin B = \dfrac{{CA}}{{AB}} = \dfrac{{15}}{{17}}\\
\tan A = \cot B = \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{8}{{15}}\\
\cot A = \tan B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{15}}{8}
\end{array}\]
b] Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\], ta có:
\[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} = {21^2} + {20^2}\]\[\, = 841\]
\[\Rightarrow AB = \sqrt {841} = 29\].
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] nên\[\widehat A\] và \[\widehat B\] là hai góc phụ nhau, ta có:
\[\begin{array}{l}
\sin A = \cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{{21}}{{29}}\\
\cos A = \sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{20}}{{29}}\\
\tan A = \cot B = \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{21}}{{20}}\\
\cot A = \tan B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{20}}{{21}}
\end{array}\]
c]Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\], ta có:
\[\begin{array}{l}
A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} = {1^2} + {2^2} = 5\\
\Rightarrow AB = \sqrt 5
\end{array}\]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] nên\[\widehat A\] và \[\widehat B\] là hai góc phụ nhau, ta có:
\[\begin{array}{l}
\sin A = \cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\
\cos A = \sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\\
\tan A = \cot B = \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\\
\cot A = \tan B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{2}{1} = 2
\end{array}\]
d]Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\], ta có:
\[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\]
\[ \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} \]\[\,= \sqrt {{{25}^2} - {{24}^2}} \]\[\, = \sqrt {49} = 7\]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] nên\[\widehat A\] và \[\widehat B\] là hai góc phụ nhau, ta có:
\[\begin{array}{l}
\sin A = \cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{7}{{25}}\\
\cos A = \sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{24}}{{25}}\\
\tan A = \cot B = \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{7}{{24}}\\
\cot A = \tan B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{24}}{7}
\end{array}\]