Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[A, AH\] và \[AM\] tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ \[A\] của tam giác đó. Qua điểm \[A\] kẻ đường thẳng \[mn\] vuông góc với \[AM.\] Chứng minh: \[AB\] và \[AC\] tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bởi \[AH\] và hai tia \[Am, An\] của đường thẳng \[mn.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+] Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+] Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
+] Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \[ABC\] vuông tại \[A,\] có \[AM\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[BC\]
\[ \Rightarrow AM = MB = MC = \displaystyle{1 \over 2}BC\] [tính chất tam giác vuông]
Nên đường tròn tâm \[M\] bán kính \[MA\] đi qua \[A,B,C\]
Gọi \[D\] là giao điểm của \[AH\] với đường tròn \[[M,MA].\]
Khi đó: \[BC \bot AD\] tại H nên H là trung điểm của AD [quan hệ giữa đường kính và dây của đường tròn]
\[ \Rightarrow BC\] là trung trực của \[AD\]
\[ \Rightarrow AC=CD\] [tính chất đường trung trực của đoạn thẳng]
\[ \RightarrowACD\] cân tại \[C\]
\[ \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{DAC}\] \[[1]\]
Ta lại có: \[\widehat{ADC}=\widehat{nAC}\] [hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung] \[[2]\]
Từ \[[1],[2]\] suy ra \[\widehat{DAC}=\widehat{nAC}\] hay\[\widehat{HAC}=\widehat{nAC}\]
Vậy \[AC\] là tia phân giác của \[\widehat {HAn}\]
Ta có:\[\widehat{ACB}=\widehat{mAB}\] [hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung] \[[3]\]
\[ \widehat {BAH} + \widehat {ACB} = {90^o}\] [cùng phụ với góc \[\widehat {HAC}\]] \[ [4]\]
Từ \[[3],[4]\] suy ra\[\widehat {mAB} = \widehat {BAH}\].
Vậy \[AB\] là tia phân giác của \[\widehat {mAH}\].