Đề bài
Cho phương trình \[{x^2} - 2[m + 1]x + m - 4 = 0\] [1] với x là ẩn số.
a] Giải phương trình [1] khi m = -5.
b] Chứng minh phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
c] Tìm GTNN của biểu thức \[M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Thay \[m = - 5\] và giải phương trình.
b] Chứng minh \[\Delta ' > 0\,\,\forall m\].
c] \[M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2}} \]\[\,= \sqrt {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 4{x_1}{x_2}} \]. Sử dụng định lí Vi-ét.
Lời giải chi tiết
a] Thay \[m = - 5\] vào phương trình ta có \[{x^2} + 8x - 9 = 0\].
Ta có \[1 + 8 - 9 = 0 \Rightarrow \] Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = - 9\end{array} \right.\].
b] Ta có \[\Delta ' = {\left[ {m + 1} \right]^2} - 1\left[ {m - 4} \right]\]\[\, = {m^2} + 2m + 1 - m + 4\]\[\, = {m^2} + m + 5\]
Ta có \[{m^2} + m + 5 \]\[\,= {m^2} + 2.m.\dfrac{1}{2} + {\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{{19}}{4} \]\[\,= {\left[ {m + \dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{{19}}{4} > 0 \Rightarrow \Delta ' > 0 \Rightarrow \] Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\] với mọi giá trị của m.
c] Ta có \[M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2}} \]\[\, = \sqrt {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 4{x_1}{x_2}} \]
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left[ {m + 1} \right]\\{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow M = \sqrt {4{{\left[ {m + 1} \right]}^2} - 4\left[ {m - 4} \right]} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {4{m^2} + 8m + 4 - 4m + 16} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {4{m^2} + 4m + 20} \\ \Rightarrow M = \sqrt {4{m^2} + 4m + 1 + 19} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{{\left[ {2m + 1} \right]}^2} + 19} \end{array}\]
Ta có \[{\left[ {2m + 1} \right]^2} \ge 0 \] \[\Rightarrow {\left[ {2m + 1} \right]^2} + 19 \ge 19 \Rightarrow M \ge \sqrt {19} \].
Vậy GTNN của M bằng \[\sqrt {19} \].
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\].