Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD\]. Các điểm \[M, N , P\] và \[Q\] lần lượt là trung điểm của \[AB, BC, CD\] và \[DA\]. Chứng minh rằng hai tam giác \[ANP\] và \[CMQ\] có cùng trọng tâm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ANP\].
- Chứng minh \[\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0 \] và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \[G \] là trọng tâm của tam giác \[ANP\].
Khi đó \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \]
Ta có: \[\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} \]\[ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} \] \[ + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \] \[ = [\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} ] + \overrightarrow {AC} + [\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} ]\]
\[ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \]
[Vì \[\overrightarrow {NM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} \] nên \[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {CA} \]].
Vậy \[\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0 \]
Suy ra \[G\] là trọng tâm của tam giác \[CMQ\].