Đạo hàm và ứng dụng toán cao cấp

Đề cương khóa học

Chương 1: Dãy số

Chương 2: Hàm số

Chương 3: Giới hạn và sự liên tục của hàm số

Chương 4: Đạo hàm và vi phân

Chương 5: Các định lý về hàm khả vi và áp dụng

Đề ôn tập giữa kỳ

Chương 6: Nguyên hàm và Tích phân bất định

Chương 7: Tích phân xác định

Chương 8: Tích phân suy rộng

Chương 9: Hàm nhiều biến số

Chương 10: Phương trình vi phân

Đề ôn tập cuối kỳ

Nội dung Text: Toán cao cấp A1: Bài 3. Ứng dụng của đạo hàm

1. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 3 Ứng dụng của ðạo hàm VII .ỨNG DỤNG:TÍNH XẤP XỈ VÀ TÍNH GIỚI HẠN 1.Tính gần ðúng (hay tính xấp xỉ ) và tính giới hạn Ta thýờng dùng khai triển Taylor và khai triển Maclaurin ðể tính xấp xỉ giá trị của hàm f(x) sau khi chọn n ðủ lớn ðể phần dý Rn(x) có giá trị tuyệt ðối không výợt quá sai số cho phép. Ví dụ: Tính số e chính xác ðến 0,00001. Trong công thức khai triển Maclaurin của hàm số ex : ta lấy x=1 và n=8 thì phần dý R8 thỏa: Với 0 <  < 1 .v n 4 h c2 Vậy ta có thể tính e chính xác ðến 0,00001 bằng công thức xấp xỉ sau o uih V Ta còn có thể dùng khai triển Maclaurin ðể tính giới hạn có dạng vô ðịnh nhý trong ví dụ sau ðây : Ví dụ: 1) Tìm Ta có: Sử dụng khai triển Maclaurin của sinx ðến cấp 4, ta có thể viết sinx dýới dạng: Với Sýu tầm by hoangly85
2. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Suy ra Khi x  0 Vậy: 2) Tìm n Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm sinx và cosx ta có : h .v c24 trong ðó ih o  V u Khi x  0 Vậy 2. Quy tắc L’ Hospitale Sýu tầm by hoangly85
3. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nhờ ðịnh lý Cauchy, ngýời ta ðã chứng minh ðýợc các ðịnh lý dýới ðây mà ta gọi là quy tắc L’ Hospitale. Quy tắc này rất thuận lợi ðể tìm giới hạn của các dạng vô ðịnh và . Ðịnh lý: (Quy tắc L’ Hospitale 1) Giả sử f(x) và g(x) có ðạo hàm trong khoảng (a,b) và g’ 0 trong khoảng ðó. Khi ấy, nếu: thì .v n Ðịnh lý vẫn ðúng khi thay cho quá trình x  a+, ta xét quá trình x b- hoặc x  c với c (a,b). Trýờng hợp a= - , b= +  ðịnh lý vẫn ðúng. 4 h c2 Ðịnh lý: (Quy tắc L’ Hospitale 2) Giả sử f(x) và g(x) có ðạo hàm trong (a,b) và g’  0 trong khoảng ðó. Khi ấy nếu : o (x) (i) f(x) và g (x) là các VLC khi x -> a+ ,và uih (hữu hạn hoặc vô tận) thì V Ðịnh lý cũng ðúng cho các quá trình x  b-, x  c  (a,b) và cho các trýờng hợp a = -  và b = +  Chú ý: 1) Khi xét trong quy tắc l’ Hospitale, nếu thấy vẫn có dạng vô ðịnh hoặc thì ta lại có thể áp dụng tiếp quy tắc l’ Hospitale Sýu tầm by hoangly85
4. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2) Quy rắc l’ Hospitale chỉ là ðiều kiện ðủ ðể có giới hạn của không phải là ðiều kiện cần. Do ðó, nếu không tồn tại giới hạn của thì ta chýa có kết luận gì về giới hạn của Ví dụ: 1) Tìm Ðặt và g(x) = x - sin x Xét qúa trình x  0 ta có: có dạng vô ðịnh .v n 4 h c2 cũng có dạng vô ðịnh ih cũng có dạng vô ðịnh o V u Vậy sau 3 lần áp dụng quy tắc l’ Hospitale ta suy ra: 2) Sýu tầm by hoangly85
5. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3) Tìm Giới hạn này có dạng vô ðịnh  -  . Ta có thể biến ðổi giới hạn về dạng vô ðịnh ðể áp dụng quy tắc l’ Hospitale nhý sau: .v n 4 h 4) Tìm o c2 uih Giới hạn này có dạng vô ðịnh . Ta biến ðổi nhý sau: Ta có: V Suy ra VIII. ỨNG DỤNG :KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Chiều biến thiên và cực trị ðịa phýõng Ðịnh lý: Sýu tầm by hoangly85
6. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ðiều kiện cần và ðủ ðể f(x) hằng trên khoảng (a,b) là f’ = 0 với mọi x  (a,b) (x) Ðịnh lý: Giả sử f có ðạo hàm trên khoảng (a,b) . Khi ðó ðiều kiện cần và ðủ ðể hàm số tãng trên (a,b) là f(x)  0 với mọi x (a,b). Týõng tự , ðiều kiện cần và ðủ ðể hàm số f(x) giảm trên (a,b) là f'(x)  0. Từ ðịnh lý này, ðể xét sự biến thiên của hàm số f(x) ta tính ðạo hàm f'(x)và xét dấu ðạo hàm. Việc xét dấu ðạo hàm cũng cho ta biết cực trị ðịa phýõng của hàm số theo ðịnh lý sau ðây: Ðịnh lý: ( ðiều kiện ðủ ðể có cực trị ðịa phýõng) Giả sử f(x) liên tục tại xo và có ðạo hàm trong một khoảng quanh xo (có thể trừ ðiểm xo). Khi ðó ta có: (i) Nếu khi x výợt qua xo mà f’ ðổi dấu từ –sang + thì f(x) ðạt cực tiểu ðịa phýõng n (x) tại xo .v (ii) Nếu khi x výợt qua xo mà f'(x) ðổi dấu từ + sang –thì f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo 4 h (iii) Nếu khi x výợt qua xo mà f'(x) không ðổi dấu thì không có cực trị ðịa phýõng tại c2 xo o Ngoài cách khảo sát cực trị ðiạ phýõng bằng việc xét dấu ðạo hàm cấp 1 f'(x), ta còn có thể xét dấu của ðạo hàm cấp 2 f''(x) tại ðiểm xo, nhờ vào ðịnh lý sau : Khi ðó: uih Ðịnh lý : Giả sử f(x) có ðạo hàm cấp 2 liên tục f''(xo) và f'(xo)=0. V (i) Nếu f''(xo) > 0 thì f(x) ðạt cực tiểu ðịa phýõng tại xo (ii) Nếu f''(xo) < 0 thì f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo Chú ý: Ðịnh lý trên có thể ðýợc mở rộng và ðýợc phát biểu nhý sau: Giả sử f(x) có ðạo hàm cấp n liên tục trên một khoảng chứa xo và giả sử : Khi ðó : (i) Nếu n chẵn thì f(x) ðạt cực trị (ðiạ phýõng) tại xo Hõn nữa nếu f(n)(xo) >0 thì f(x) ðạt cực tiểu tại xo nếu f(n)(xo) < 0 thì f(x) ðạt cực ðại tại xo (ii) Nếu n lẻ thì f(x) không ðạt cực trị tại xo Sýu tầm by hoangly85
7. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Một vấn ðề có liên quan ðến cực trị là tìm gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất của một hàm số f(x) liên tục trên ðoạn [a,b]. Ðể tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của f(x) trên ðoạn [a,b] ta chỉ cần so sánh các gía trị của f tại 3 loại ðiểm : (1) Các ðiểm dừng ( tức là f' tại ðó bằng 0) (2) Các ðiểm kỳ dị ( tức là f' không tồn tại ở ðó) (3) Hai ðầu nút a và b. Ví dụ: 1) Tìm các khoảng tãng giảm của hàm số và tìm cực trị ðịa phýõng: Ta có: .v n 4 h o c2 y’= 0 tại tại x = 1 và y’không xác ðịnh tại x = 0 ih  Bảng xét dấu của ý nhý sau: u V Vậy hàm số giảm trong khoảng(- ,1) và tãng trong (1,+ ). Hàm số y ðạt cực tiểu tại x=1. Với y(1) = -3. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất cuả hàm số. với Ta có: Sýu tầm by hoangly85
8. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nhận xét rằng trên khoảng thì và tãng nghiêm ngặt từ – lên 1 trong 2 . Do tính liên tục của nên có duy nhất sao cho: Khi ðó ta có bảng xét dấu của L’ )nhý sau: ( .v n 4 h o c2 ih Suy ra gía trị nhỏ nhất của L( ) trên khoảng là: V u 2.Tính lồi, lõm và ðiểm uốn Ðịnh nghĩa: Hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a,b) ðýợc gọi là lồi trên (a,b) nếu với mọi x1 , x2  (a,b) và mọi x1 ,x2  (a,b) và mọi   [0,1] ta có: Hàm số f(x) ðýợc gọi là lõm trên (a,b) nếu – (x) là lồi trên (a,b). f Sýu tầm by hoangly85
9. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Hàm số f(x) là lồi Hàm số f(x) là lõm Về mặt hình học, hàm số f(x) là lồi trên 1 khoảng nghĩa là mọi cung AB của ðồ thị hàm số ðều nằm dýới dây cung AB. Lýu ý: Trong một số giáo trình khác, ngýời ta có thể dùng thuật ngữ lồi và lõm theo nghĩa ngýợc với ở ðây. n Ðịnh nghĩa ðiểm uốn: .v Ðiểm phân cách giữa khoảng lồi và khoảng lõm của hàm số y=f(x) ðýợc gọi là ðiểm uốn. 4 h Ðịnh lý dýới ðây cho ta cách dùng ðạo hàm ðể khảo sát tính lồi, lõm và tìm ðiểm uốn. Ðịnh lý: o c2 ih (i) Giả sử f(x) có ðạo hàm cấp 2 f’(x) trong khoảng (a,b). Khi ðó hàm số f là lồi ’ (týõng ứng lõm) trên khoảng (a,b) nếu và chỉ nếu f’(x)  0 (týõng ứng, f’(x) 0) trên u ’ ’ (a,b). V (ii) Nếu f’(x) ðổi dấu khi x výợt qua xo thì ðiểm (xo,f(xo)) trên ðồ thị của hàm số ’ f(x) là một ðiểm uốn. Ví dụ: Xét tính lồi, lõm và tìm ðiểm uốn cho hàm số : Miền xác ðịnh của hàm số là D = R \ {-1, +1}. Tính ðạo hàm : Sýu tầm by hoangly85
10. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bảng xét dấu của y’ : ’ Vậy hàm số y lõm trên các khoảng (- , -1) và (-1,0); lồi trên các khoảng (0,1) và (1,+ ). Từ ðó, ðồ thị hàm số có 1 ðiểm uốn là M(0,0). 3. Sõ ðồ khảo sát hàm số 1) Tìm miền xác ðịnh của hàm số y =f(x) ðồng thời nhận xét về tính chẳn lẻ, tính tuần hoàn cuả hàm số ðể rút gọn miền khảo sát. 2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số và tìm các cực trị ðịa phýõng. Tính một số giới hạn quan trọng và lập bảng biến thiên của hàm số. 3) Khảo sát tính lồi lõm và ðiểm uốn. .v n 4) Tìm các ðýờng tiệm cận. 4 h c2 5) Vẽ ðồ thị. Ðể vẽ ðýợc ðồ thị chính xác ta cần xác ðịnh các ðiểm cực trị , ðiểm uốn, giao ðiểm với các trục toạ ðộ và có thể xác ðịnh cả tiếp tuyến tại các ðiểm ðó. ih o Chú ý: Cần lýu ý các trýờng hợp sau ðây khi tìm tiện cận . V u Thì ðýờng thẳng x = a là tiệm cận ðứng Thì ðýờng thẳng y = b là một tiệm cận ngang Nếu y = f(x) có dạng f(x) = ax + b +  x Với Thì ðýờng thẳng y = ax + b là một tiện cận Trong trýờng hợp a  0, ta nói tiệm cận này là tiệm cận xiên . Lýu ý rằng các hệ số a,b cuả tiệm cận y = ax + b khi xét x   (+ hay -  ) có thể ðýợc tính bởi: Sýu tầm by hoangly85
11. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ví dụ : Khảo sát và vẽ ðồ thị hàm số Miền xác ðịnh : D = R \ {-1,+1}. Hàm số y là hàm số lẻ. Các ðạo hàm: Ta có y’cùng dấu với 1-x2 và: .v n ’ ’ 4 h y’ cùng dấu với 2x và y’ triệt tiêu tại x = 0 c2  Bảng biến thiên: ih o V u Tiện cận ngang : y = 0 Tiện cận ðứng : x = 1 ; x = -1  Ðồ thị của hàm số nhý sau : Sýu tầm by hoangly85
12. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 IX. ÐÝỜNG CONG THEO THAM SỐ VÀ ÐÝỜNG CONG TRONG TOẠ ÐỘ CỰC 1 .Ðýờng cong theo tham số Phýõng trình tham số của ðýờng cong trong mặt phẳng Oxy cho bởi hệ 2 hàm: Trong ðó t là tham số chạy trên một tập D R. .v n h Khi t thay ðổi ðiểm M( x(t),y(t) ) vạch nên một ðýờng cong trong mặt phẳng Oxy. 4 Ví dụ: ellipse c2 có phýõng trình tham số là: o 9; uih hàm số y = f(x). V Ðể khảo sát ðýờng cong theo tham số ta cũng tiến hành tiến các býớc nhý ðối với Tìm miền xác ðịnh , xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn nếu có. Khảo sát sự biến thiên của x và y bằng cách xét dấu các ðạo hàm x’(t) và y’ theo (t) t. Tìm các tiệm cận Vẽ ðồ thị 2. Ðýờng cong trong tọa ðộ cực Tọa ðộ cực: Ðể xác ðịnh vị trí của các ðiểm trong mặt phẳng, ngoài cách dùng tọa ðộ Descartes(x,y) ta còn có thể dùng tọa ðộ cực nhý sau : Sýu tầm by hoangly85
13. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 r =  OM  0 Ta có sự liên hệ giữa (x,y) và (r, ) 9; Và 9; .v n h Phýõng trình của ðýờng cong trong tọa ðộ cực có thể ðýợc cho bởi hệ thức 4 c2 F(r,  ) = 0 o Hay r = f( ) ih Ví dụ: V u Phýõng trình r = a là phýõng trình ðýờng tròn tâm 0, và bán kính a. Phýõng trình phýõng trình của nửa ðýờng thẳng (hay tia) lập với Ox một góc là Ðể khảo sát ðýờng cong trong tọa ðộ cực ta cũng có thể thực hiện các býớc nhý thông thýờng. Sýu tầm by hoangly85