Trong bài này chúng ta cùng tìm hiểu về đạo hàm, công thức và cách tính đạo hàm theo định nghĩa, mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số. Đồng thời vận dụng giải một số dạng bài tập như viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, hay viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k,... để hiểu rõ hơn.
I. Tóm tắt lý thuyết về đạo hàm
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa: Cho hàm sốxác định trên khoảng [a;b] và x0 [a;b], nếu tồn tại giới hạn [hữu hạn]:
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm sốtại điểm x0 và ký hiệu là f'[x0] [hoặc y'[x0]], tức là:
* Chú ý:
Đại lượngΔx = x - x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.
Đại lượngΔy = f[x] - f[x0] = f[x0 +Δx] - f[x0] được gọi là số gia tương ứng của hàm số, khi đó:
Hàm số y = f[x] được gọi là có đạo hàm trên khoảng M nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x0 K.
2. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Hàm số y = f[x] có đạo hàm tại x0 f[x] liên tục tại x0
3. Công thức, cách tính đạo hàm theo định nghĩa
Để tính đạo hàm theo định nghĩa thực hiện như sau:
- Bước 1:Δy= f[x0+Δx] - f[x0] vớiΔx là số gia của đối số tại x0
- Bước 2: lập tỉ số
- Bước 3: Tìm
II. Các dạng bài tập tính đạo hàm theo định nghĩa
° Dạng 1: Tính đạo hàm theo định nghĩa
* Phương pháp:
- Bước 1:Δy= f[x0+Δx] - f[x0] = f[x] - f[x0]
- Bước 2:lập tỉ số
- Bước 3:Tính
- Khi thay x0 bằng x, ta tính được đạo hàm của hàm số f[x] tại điểm x [a;b].
* Ví dụ [Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11]:Tính [bằng định nghĩa] đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:
a] y = x2 + x tại x0 = 1
b]tại x0 = 2
c]tại x0 = 0
° Lời giải ví dụ [Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11]:
a] Ta có:
Δx = x - x0 = x - 1 x =Δx + 1
Δy = f[x0+Δx] - f[x0] = f[1 +Δx] - f[1]
- Mặt khác:
f[1 +Δx] = [1 +Δx]2 + [1 +Δx]
f[1] = [12 + 1] = 2
- NênΔy = [1 +Δx]2+ [1 +Δx] - 2
= 1 + 2Δx + [Δx]2 + 1 +Δx - 2
=Δx[Δx+3]
- Vậy f'[1] = 3.
b] Ta có:
Δx = x - x0= x - 2 x =Δx + 2
Δy =f[x0+Δx] - f[x0] = f[2 +Δx] - f[2]
- Mặt khác:
;
- Nên
- Vậy .
c] Ta có:
Δx = x - 0= x x =Δx
Δy =f[x0+Δx] - f[x0] = f[Δx] - f[0]
- Vậy f'[0] = -2.
° Dạng 2: Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số
* Phương pháp:
1> Hàm số có đạo hàm tại điểm x0 thì liên tục tại điểm đó [điều ngược lại không đúng].
2> Để chứng mình hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 ta thực hiện như sau:
- Chứng minhkhông tồn tại.
- Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại x0.
* Ví dụ 1 [Bài 4 trang 156 SGK Đại số 11]:Chứng minh rằng hàm số:
Không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.
° Lời giải ví dụ 1 [Bài 4 trang 156 SGK Đại số 11]:
Xét tại điểm x = 0:
Hàm số y = f[x] gián đoạn tại x = 0
Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Xét tại điểm x = 2:
Hàm số y = f[x] có đạo hàm tại x = 2 và f'[2] = 2.
* Ví dụ 2: Cho hàm số. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0.
° Lời giải:
Chứng minh hàm số liên tục tại x = 0
nên hàm số liên tục tại x = 0.
Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Nên không tồn tại, vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
* Ví dụ 3: Cho hàm số:. Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.
° Lời giải:
Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì hàm số liên tục tại x = 1.
[*]
-Mặt khác ta có:
[do thay a+b=1 vào]
- Như vậy để hàm f[x] có đạo hàm thì: [**]
- Từ [*] và [**] ta có:
° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm M0[x0;f[x0]] [C].
* Phương pháp:
1] Tính
hoặc
2] Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị [C] tại M0 là k = f'[x0].
3] Phương trình tiếp tuyến với đồ thị [C] tại điểmM0 là:
y=f'[x0][x - x0] + f[x0].
* Ví dụ 1 [Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11]:Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.
a] Tại điểm [-1; -1];
b] Tại điểm có hoành độ bằng 2;
° Lời giải ví dụ 1 [Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11]:
Ta có:
a] Tiếp tuyến của y = x3tại điểm [-1; -1] có dạng:
y = y[-1][x + 1] + y[1]
- Mà y'[1] = 3.[-1]2 = 3; y[1] = -1 nên:
y = 3[x + 1] 1 =3x + 2
b] Tại điểm có hoành độ x0 = 2;
y0= f[x0] =f[2] = 23= 8;
f[x0] = f[2] = 3.22= 12.
- Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
y = 12[x 2] + 8 = 12x 16.
* Ví dụ2 [Bài6 trang 156 SGK Đại số 11]:Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = 1/x.
a] Tại điểm [1/2; 2];
b] Tại điểm có hoành độ bằng -1;
° Lời giải ví dụ 2 [Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11]:
Ta có:
a] Ta có:
- Nên phương trình tiếp tuyến của đường công tại điểm [1/2;2] là:
b]b] Tại điểm có hoành độx0 = -1;
y0= -1 f[x0] = -1.
- Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong y = 1/xtại điểm có hoành độ -1 là:
y = -1[x + 1] 1 = -x 2.
° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyếnvới đồ thị [C] khi biết hệ số góc k
* Phương pháp:
1]Gọi điểm M0[x0; y0] [C] là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị [C]
2] Tính
3] Giải phương trình k = f'[x0] tìm x0 rồi tìm đượcy0 = f[x0].
4] Phương trình tiếp tuyến với đồ thị [C] có hệ số góc k có dạng:
y = k[x - x0] + y0
* Chú ý:
- Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng hệ số góc k.
- Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích của hai hệ số góc k1, k2 bằng -1 [tức là k1.k2 = -1].
* Ví dụ 1 [Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11]:Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.
c] Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
° Lời giải ví dụ 1 [Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11]:
Biết hệ số góc của tiếp tuyếnk = 3.
- Ta có:f[x0] = 3 3x02= 3 x02= 1 x0= ±1.
- Với x0= 1 y0= 13= 1
Phương trình tiếp tuyến: y = 3.[x 1] + 1 = 3x 2.
-Với x0= -1 y0= [-1]3= -1
Phương trình tiếp tuyến: y = 3.[x + 1] 1 = 3x + 2.
- Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3có hệ số góc bằng 3 là:
y = 3x 2 và y = 3x + 2.
* Ví dụ2 [Bài6 trang 156 SGK Đại số 11]:Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = 1/x.
c] Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1/4.
° Lời giải ví dụ 2 [Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11]:
Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k=-1/4.
- Ta có:
- Vớinên phương trình tiếp tuyến là:
- Vớinên phương trình tiếp tuyến là:
- Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol y=1/xcó hệ số gócbằng -1/4 là:
và