Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=m3x3−2mx2+3m+5x đồng biến trên ℝ .
Ta có y′=mx2−4mx+3m+5 .
Với a=0⇔m=0 ⇒y′=5>0 . Vậy hàm số đồng biến trên ℝ .
Với a≠0⇔m≠0 . Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi
y′≥0, ∀x∈ℝ⇔a>0Δ≤0 ⇔m>02m2−m3m+5≤0
⇔m>0m2−5m≤0⇔m>00≤m≤5⇔0 f[x₂].
2. Định lí
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K .
a] Nếu f’[x] > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K .
b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K .
c] Nếu f’[x] = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] > 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] < 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Định lí mở rộng
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K.
a] Nếu f’[x] ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
b] Nếu f’[x] ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm f’[x]. Tìm các điểm xᵢ [i = 1, 2, …,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tóm tắt lý thuyết tính đồng biến nghịch biến
1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
a] Hàm số y = f[x] đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] < f[x₂].
b] Hàm số y = f[x] nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] > f[x₂].
2. Định lí
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K .
a] Nếu f’[x] > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K .
b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K .
c] Nếu f’[x] = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] > 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] < 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Định lí mở rộng
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K.
a] Nếu f’[x] ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
b] Nếu f’[x] ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm f’[x]. Tìm các điểm xᵢ [i = 1, 2, …,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số [f[ x ] = [1][3][x^3] - m[x^2] + [ [m + 6] ]x + [2][3] ] đồng biến trên khoảng [[ [0; + vô cùng ] ] ]?
Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \[f\left[ x \right] = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left[ {m + 6} \right]x + \dfrac{2}{3}\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\]?
Phương pháp giải
- Để hàm số \[y = f\left[ x \right]\] đồng biến trên \[\left[ {a;b} \right]\] thì \[f'\left[ x \right] \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\] và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Xét dấu tam thức bậc hai.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số [m ] để hàm số [y = [[2x + 1]][[căn [[x^2] - 6x + m - 2] ]] ] xác định trên [ mathbb[R] ].
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để hàm số \[y = \dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 6x + m - 2} }}\] xác định trên \[\mathbb{R}\].
Phương pháp giải
Hàm số xác định vói mọi \[x \in \mathbb{R}\] nếu \[{x^2} - 6x + m - 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\].
Bài tập Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số cực hay
Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x3-6x2+ mx + 1 đồng biến trên khoảng [0; +∞].
A. m ≤ 0
B. m ≤ 12
C. m ≥ 0
D. m ≥ 12
Đáp án : D
Giải thích :
Ta có y' = 3x2 - 12x + m
Để hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞] thì y' ≥ 0,∀ x ∈ [0; +∞]
⇔ 3x2 - 12x + m ≥ 0,∀ x ∈ [0;+∞] ⇔ m ≥ 12x - 3x2 ,∀ x ∈ [0; +∞]
Lập bảng biến thiên của g[x]= 12x - 3x2 trên [0; +∞].
Có g'[x] = 12 - 6x ; g'[x]= 0 ⇔ x = 2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≥ 12.
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4-2[m - 1] x2+ m - 2 đồng biến trên khoảng [1; 3]
A. m ∈[-5;2] B. m ∈[-∞; 2] C. m ∈[2; +∞] D. m ∈[-∞; -5]
Đáp án : B
Giải thích :
Ta có y' = 4x3 - 4[m-1]x
Để hàm số đồng biến trên khoảng [1; 3] thì y' ≥ 0 ∀ x ∈ [1; 3]
⇔4x3 - 4[m - 1]x ≥ 0,∀ x ∈ [1; 3]⇔ x2 -[m - 1] ≥ 0,∀ x ∈ [1; 3]
⇔ m ≤ x2 + 1,∀ x ∈ [1; 3]
Lập bảng biến thiên của g[x] = x2+ 1 trên [1;3 ].
Có g'[x] = 2x; g'[x]= 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ 2.
Câu 3: Cho hàm số y = x3-3x2 - mx + 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞].
A. m = -3
B. m ≤ -3
C. m > -3
D. m < -3
Đáp án : B
Giải thích :
Ta có y' = 3x2 - 6x - m
Để hàm số đồng biến trên khoảng[0; +∞] thì y' ≥ 0 ∀ x ∈ [0; +∞]
⇔ 3x2 - 6x - m ≥ 0,∀ x ∈ [0; +∞]⇔ m ≤ 3x2 - 6x ,∀ x ∈ [0; +∞]
Lập bảng biến thiên của g[x]= 3x2 - 6x trên [0; +∞]
Có g'[x]= 6x - 6 ; g'[x]= 0 ⇔ x = 1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ -3.
Câu 4: Cho hàm số y = x3 - 3[m2 + 3m + 3] x2 + 3[m2 + 1]2 x + m + 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên [1; +∞]. S là tập hợp con của tập hợp nào dưới đây
A. [-∞;0]
B. [-∞;-2]
C. [-1;+∞]
D. [-3;2]
Đáp án : A
Giải thích :
Ta có y'= 3x2 - 3[m2 + 3m + 3].2x + 3[m2+1]2
Khi đó Δ'= 9[m2+ 3m + 3]2 - 9[m2 + 1]2 = 9[3m + 2][2m2 + 3m + 4]
Nếu Δ' ≤ 0 ⇔ m ≤ -2/3. Khi đó ta có a = 3>0 nên y' ≥ 0 với mọi x ∈ R. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞].
Nếu Δ' >0 ⇔ m > -2/3. Khi đó y' có hai nghiệm phân biệt x1,x2.
Ta có y'> 0 ⇔ x ∈[-∞;x1]∪[x2;+∞] và y'< 0 ⇔ x ∈[x1; x2]. Do đó để hàm số đồng biến trên [1; +∞] thì [1; +∞] ⊂ [x2; +∞]
Ta có:
Xét
[Vô lý vì m > -2/3].
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞] khi m ≤ -2/3.
Câu 5. [THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 2017]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
A. 0
B. 1
C. Vô số
D. 3
Đáp án : D
Giải thích :
Ta có y' = x2 - [2m - 1]x + m2 - m - 2
Khi đó Δ = [2m - 1]2 - 4[m2 - m - 2] = 9 > 0 nên y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
x1 = m + 1; x2 = m - 2. Hiển nhiên x1 > x2
Để hàm số nghịch biến trên khoảng [1; 2] thì 1 ≤ x2 < x1 ≤ 2
Vì m nguyên nên m = {1; 2; 3}.
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2x3 - 3[2m+1] x2 + 6m[m + 1] + 1 đồng biến trên khoảng [2; +∞].
A. m < 1
B. m ≤ 1
C. m < 2
D. m > 1
Đáp án : B
Giải thích :
Tập xác định D = R
Ta có y' = 6x2- 6[2m + 1]x + 6m[m + 1]. Để hàm số luôn đồng biến trên khoảng [2; +∞] thì có hai trường hợp xảy ra:
Nếu hàm số luôn đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0,∀ x ∈R
⇔ Δ≤0 ⇔ [2m + 1]2 - 4m[m + 1] ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 0 [loại]
Nếu phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
x1 2
Đáp án : A
Giải thích :
Tập xác định hàm số D = R\{m/2}. Ta có
Để hàm số nghịch biến trên khoảng [1/2; +∞] khi và chỉ khi
Câu 8 [THPT chuyên Thái Nguyên 2017 lần 2]. Tìm m để hàm số
A. -3 ≤ m ≤-1 C. -3 < m ≤ -1
B.-3 ≤ m ≤3 D. -3 < m < 3
Đáp án : C
Giải thích :
Tập xác định: D = R\{-m}. Ta có
Để hàm số luôn nghịch biến trên [-∞; 1] thì
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
A.1 < m ≤ 3
B. 1 < m < 5
C. 1 ≤ m ≤ 5
D. 1 ≤ m ≤ 3
Đáp án : A
Giải thích :
Tập xác định D = R\{m}. Ta có
Hàm số đồng biến trên [3; +∞]
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số
A.
Đáp án : A
Giải thích :
Đặt tanx = t
Bài toán trở thành tìm m để hàm số
Điều kiện xác định t ≠ m
Khi đó
Câu 11: Giá trị của tham số m để hàm số
A. m ∈[-5; +∞]
B. m ∈[0; 1]
C. m ∈[-5; 1]
D. m ∈[-5; 0]∪[1; +∞]
Đáp án : D
Giải thích :
Đặt sinx = t [-1 ≤ t ≤ 1]
Bài toán trở thành tìm giá trị của tham số m để hàm số
Điều kiện xác định t ≠ m
Khi đó
Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
A. m > -1
B. m < 2
C. m ≤ -1
D. m ≥ 2
Đáp án : C
Giải thích :
Đặt f[x] = x2 + 4mx + 4m2 + 3;
ta có Δ'[f[x]] = 4m2 - 4m2 - 3 = -3 < 0;a = 1 > 0 nên f[x]> 0 ∀ x ∈ R.
Ta có
Hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞;2] khi và chỉ khi y' ≤0 ∀ x < 2
⇔ x + 2m ≤ 0 ⇔ m ≤ -x/2
Xét g[x] = -x/2 ; g'[x]= -1/2 < 0 ∀ x