Cho tam giác đều abc cạnh bằng a và h là trung điểm bc giá trị ah −→ − ca −→ − bằng

Bài 3. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho số k 0 và vectơ a 0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu k a .
+] k 0 thì k a cùng hướng với a
+] k 0 thì k a ngược hướng với a
2. Tính chất:
Cho a , b bất kì và hai số h, k ta có:
k [a + b] = ka + kb

[h + k ]a = ha + k a

h[ka] = [hk ]a



1.a = a, [1]a = a

Nếu I là trung điểm của AB thì với mọi điểm M ta có: MA + MB = 2MI
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MA + MB + MC = 3MG
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
+] a và b 0 cùng phương k : a = kb
+] Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k 0 để AB = k AC
II CÁC DẠNG TOÁN:
3.1 Xác định và tính độ dài tích của một số với một vectơ
Bài 1. Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điểm M biết 2MA 3MB = 0
Lời giải

Ta có: 2MA 3MB = 0 2MA 3[ MA + AB] = 0 MA 3 AB = 0 AM = 3 AB AM , AB cùng
hướng và AM = 3AB .
Bài 2. Cho tam giác ABC .
a] Tìm điểm K sao cho KA + 2KB = CB

b] Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2MC = 0
Lời giải

a] Ta có: KA + 2KB = CB KA + 2KB = KB KC KA + KB + KC = 0 K là trọng tâm của tam
giác ABC .

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


b] Gọi I là trung điểm của AB . Ta có:

MA + MB + 2MC = 0 2MI + 2MC = 0 MI + MC = 0 M là trung điểm của IC .
Bài 3. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính
a] AB + AC + BC

b] AB + AC
Lời giải

a] AB + AC + BC = [ AB + BC ] + AC = AC + AC = 2 AC = 2 AC = 2 AC = 2a .
b] Gọi H là trung điểm của BC . Ta có:
2

a
AB + AC = 2 AH = 2 AH = 2 AH = 2 AB 2 BH 2 = 2 a 2 = a 3
2

Bài 4. Cho ABC vuông ta ̣i B có A = 300 , AB = a . Go ̣i I là trung điể m của AC . Hãy tiń h:
a] BA + BC

b] AB + AC

Lời giải

Ta có: BC = AB tan A = a tan 300 =

AB
a
2a 3
a 3
=
=
, AC =
0
cos A cos 30
3
3

a] BA + BC = 2 BI = 2 BI = 2 BI = 2.

AC
2a 3
= AC =
.
2
3
2

a 3
a 39
b] AB + AC = 2 AM = 2 AM = 2 AM = 2 AB + BM = 2 a +
.

=
3
6
2

2

2

Câu 1. [0H1-1] Khẳng định nào sai ?

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


A. 1.a = a
B. k a và a cùng hướng khi k 0
C. k a và a cùng hướng khi k 0
D. Hai vectơ a và b 0 cùng phương khi có một số k để a = kb
Lời giải
Chọn C. [Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ]
Câu 2. [0H1-1] Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN = 3MP . Điểm P được xác định
đúng trong hình vẽ nào sau đây:

A. Hình 3

B. Hình 4

C. Hình 1

D. Hình 2


Lời giải
Chọn A.

MN = 3MP MN ngược hướng với MP và MN = 3 MP .
Câu 3. [0H1-1] Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Nếu AB = 3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?
A. BC = 4 AC

B. BC = 2 AC

C. BC = 2 AC

D.

BC = 4 AC
Lời giải
Chọn D.

Câu 4. [0H1-1] Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:
A. AB = AC

B. k 0 : AB = k.AC

C. AC AB = BC

D.

MA + MB = 3MC , điểm M

Lời giải

Chọn B.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB = k AC
Câu 5. [0H1-1] Tìm giá trị của m sao cho a = mb , biết rằng a , b ngược hướng và a = 5, b = 15
A. m = 3

B. m =

1
3

C. m =

1
3

D. m = 3

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Lời giải
Chọn B.
Do a , b ngược hướng nên m =

a

=

b


5
1
= .
15
3

Câu 6. [0H1-2] Cho ABC . Đặt a = BC , b = AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương ?
A. 2a + b , a + 2b

C. 5a + b , 10a 2b D. a + b , a b

B. a 2b , 2a b
Lời giải

Chọn C.
Ta có: 10a 2b = 2.[5a + b ] 5a + b và 10a 2b cùng phương.
Câu 7. [0H1-2] Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a . Độ dài của AB + AC bằng:
A. 2a

B. a

C. a 3

D.

a 3
2

Lời giải
Chọn C.


Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó:

a2
AB + AC = 2. AH = 2. AH = 2. AB BH = 2. a
=a 3.
4
2

2

2

Câu 8. [0H1-2] Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 3a 2b và
[ x + 1]a + 4b cùng phương. Khi đó giá trị của x là:

A. 7

B. 7

C. 5

D. 6

Lời giải
Chọn A.
Điều kiện để hai vec tơ 3a 2b và [ x + 1]a + 4b cùng phương là:

x +1 4
=

x = 7
3
2

Câu 9. [0H1-2] Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức

MA + MB + 2MC = 0 .
A. M là trung điểm của BC

B. M là trung điểm của IC

C. M là trung điểm của IA

D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM = 2MC

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Lời giải
Chọn B.

MA + MB + 2MC = 0 2MI + 2MC = 0 MI + MC = 0 M là trung điểm của IC .
Câu 10. [0H1-2] Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4AM = AB + AD + AC . Khi đó
điểm M là:
A. Trung diểm của AC

B. Điểm C

C. Trung điểm của AB


D. Trung điểm của AD
Lời giải

Chọn A.

1
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: 4 AM = AB + AD + AC 4 AM = 2. AC AM = . AC M là
2

trung điểm của AC .
Câu 11. [0H1-3] Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc BAD = 600 . Tính độ dài vectơ
AB + AD .

A. AB + AD = 2a 3

B. AB + AD = a 3

C. AB + AD = 3a

D. AB + AD = 3a 3
Lời giải

Chọn A.

Tam giác ABD cân tại A và có góc BAD = 600 nên ABD đều
AB + AD = AC = 2 AO = 2. AO = 2. AB 2 BO 2 = 2. 4a 2 a 2 = 2a 3

Câu 12. [0H1-3] Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA + OB 2OC = OA OB . Khẳng định
nào sau đây là đúng ?
A. Tam giác ABC đều


B. Tam giác ABC cân tại C

C. Tam giác ABC vuông tại C

D. Tam giác ABC cân tại B

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Lời giải
Chọn C.

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có:

OA + OB 2OC = OA OB OA OC + OB OC = BA CA + CB = AB
2.CI = AB 2CI = AB CI =

1
AB Tam giác ABC vuông tại C .
2

Câu 13. [0H1-3] Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA + MB + MC = 1
A. 0

B. 1

D. vô số

C. 2

Lời giải

Chọn D.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có MA + MB + MC = 3MG = 3MG = 1 MG =

1
3

Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB + MC = 1 là đường tròn tâm G bán kính R =

1
.
3

Câu 14. [0H1-3] Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vectơ

v = MA + MB 2MC . Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho CD = v .
A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD

B. D là điểm thứ tư của hình bình hành

C. D là trọng tâm của tam giác ABC

D. D là trực tâm của tam giác ABC

ACBD
Lời giải
Chọn B.

Ta có: v = MA + MB 2MC = MA MC + MB MC = CA + CB = 2CI [Với I là trung điểm của AB ]
Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M . Khi đó: CD = v = 2CI I là trung điểm của CD

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Vậy D D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD .
Câu 15. [0H1-3] Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM . Đường
thẳng BN cắt AC tại P . Khi đó AC = xCP thì giá trị của x là:
A.

4
3

B.

2
3

C.

3
2

D.

5
3

Lời giải

Chọn C.

Kẻ MK / / BP [ K AC ] . Do M là trung điểm của BC nên suy ra K là trung điểm của CP
Vì MK / / BP MK / / NP mà N là trung điểm của AM nên suy ra P là trung điểm của AK
3
3
Do đó: AP = PK = KC . Vậy AC = CP x = .
2
2

Câu 16. [0H1-4] Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N được xác định bởi các hệ thức BC + MA = 0 ,

AB NA 3AC = 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. MN AC

B. MN / / AC

C. M nằm trên đường thẳng AC

D. Hai đường thẳng MN và AC trùng

nhau
Lời giải
Chọn B.

Ta có: BC + MA = 0 AM = BC M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM nên M AC [1]
Cộng vế theo vế hai đẳng thức BC + MA = 0 , AB NA 3AC = 0 , ta được:

BC + MA + AB NA 3AC = 0
[ MA + AN ] + [ AB + BC ] 3 AC = 0 MN + AC 3 AC MN = 2 AC MN cùng phương với


AC [2]
Từ [1] và [2] suy ra MN / / AC .

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Câu 17. [0H1-4] Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA = OB = a . Độ dài của véc tơ
u=

21
5
OA OB là:
4
2

A.

a 140
4

B.

a 321
4

C.

a 520
4


D.

a 541
4

Lời giải
Chọn D.

Dựng điểm M , N sao cho: OM =

21
5
OA, ON = OB . Khi đó:
4
2
2

2

a 541
21a 5a
u = OM ON = NM = MN = OM 2 + ON 2 =
.
+ =
4
4 2

Câu 18. [0H1-4] Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức


OA + OB + 2OC = 0 . Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v = MA + MB + 2MC có độ dài
nhỏ nhất.
A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d
B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d
C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d
D. Điểm M là giao điểm của AB và d
Lời giải
Chọn A.

Gọi I là trung điểm của AB .
Khi đó: OA + OB + 2OC = 0 2OI + 2OC = 0 OI + OC = 0 O là trung điểm của IC
Ta có: v = MA + MB + 2MC = OA OM + OB OM + 2[OC OM ] = OA + OB + 2OC 4OM = 4OM

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Do đó v = 4OM . Độ dài vectơ v nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuong
góc của O trên d .
Câu 19. [0H1-4] Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC , CD, DE . Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây

đúng ?
A. IJ =

1
AE
2

B. IJ =


1
AE
3

C. IJ =

1
AE
4

D. IJ =

1
AE
5

Lời giải
Chọn C.

Ta có: 2IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN = MQ + PN


1
1
MQ = MA + AE + EQ
2MQ = AE + BD MQ = AE + BD , PN = BD

2
2


MQ = MB + BD + DQ

[

Suy ra: 2 IJ =

[

]

]

1
1
1
1
AE + BD BD = AE IJ = AE .
2
2
2
4

Câu 20. [0H1-4] Cho tam giác ABC . Go ̣i M là trung điể m của AB và N thuô ̣c ca ̣nh AC sao cho

NC = 2NA . Hãy xác định điểm K thỏa mãn: 3AB + 2 AC 12 AK = 0 và điểm D thỏa mãn:
3AB + 4 AC 12KD = 0 .
A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC
B. K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN
C. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB
D. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC

Lời giải
Chọn A.

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất



1
AB = 2 AM
Ta có:
3 AB + 2 AC 12 AK = 0 3.2 AM + 2.3 AN 12 AK = 0 AK = AM + AN
2

AC = 3 AN

[

]

Suy ra K là trung điểm của MN

[

]

Ta có: 3 AB + 4 AC 12 KD = 0 3 AB + 4 AC 12 AD AK = 0 3 AB + 4 AC + 12 AK = 12 AD
12 AD = 3 AB + 4 AC + 3 AB + 2 AC 12 AD = 6 AB + 6 AC AD =

[


1
AB + AC
2

]

Suy ra D là trung điểm của BC .
3.2 Chứng minh đẳng thức vectơ
Bài 1. Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a] Chứng minh rằng: AC + BD = AD + BC = 2EF
b] Gọi G là trung điểm của EF . Chứng minh rằng GA + GB + GC + GD = 0
Lời giải

a]

[

] [

]

[

] [

]

[

] [


]

[

] [

]

AC + BD = AE + EF + FC + BE + EF + FD = 2EF + AE + BE + FC + FD = 2EF + 0 + 0 = 2EF
[1]

AD + BC = AE + EF + FD + BE + EF + FC = 2EF + AE + BE + FD + FC = 2EF + 0 + 0 = 2EF
[2]
TỪ [1] và [2] suy ra: AC + BD = AD + BC = 2EF

[

]

b] GA + GB + GC + GD = 2GE + 2GF = 2 GE + GF = 20 = 0 .
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng: AB + 2 AC + AD = 3AC
Lời giải

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


[

]


VT = AB + 2 AC + AD = AB + AD + 2 AC = AC + 2 AC = 3 AC = VP .
Bài 3. Cho tam giác ABC . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC . Chứng minh
rằng: AM =

1
2
AB + AC .
3
3

Lời giải

1
1
1
2
Ta có: AM = AC + CM = AC BC = AC [ AC AB ] = AB + AC [đpcm]
3
3
3
3

Bài 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh rằng:

AB + CD = 2IJ .
Lời giải

Ta có:



IJ = IA + AB + BJ
2 IJ = [ IA + IC ] + [ AB + CD] + [ BJ + DJ ] 2 IJ = 0 + AB + CD + 0 = AB + CD

IJ
=
IC
+
CD
+
DJ


[đpcm].
Câu 21. [0H1-1] Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Với điểm M bất kỳ, ta luôn có:
A. MA + MB = MI

B. MA + MB = 2MI

C. MA + MB = 3MI

D. MA + MB =

1
MI
2

Lời giải
Chọn B.
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm M bất kỳ, ta luôn có MA + MB = 2MI

Câu 22. [0H1-1] Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có:
A. MA + MB + MC = MG
C. MA + MB + MC = 3MG

B. MA + MB + MC = 2MG
D. MA + MB + MC = 4MG

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Lời giải
Chọn C.
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm M , ta luôn có MA + MB + MC = 3MG .
Câu 23. [0H1-1] Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng ?
A. GA = 2GI

1
B. IG = IA
3

C. GB + GC = 2GI

D. GB + GC = GA

Lời giải

Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB + GC = 2GI .
Câu 24. [0H1-1] Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các
mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?
A. AB = 2 AM


B. AC = 2CN

C. BC = 2 NM

D.

1
CN = AC
2

Lời giải
Chọn D.

Ta thấy AC và CN ngược hướng nên AC = 2CN là sai.
Câu 25. [0H1-1] Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho MA =

1
AB . Trong
5

các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. AM =

1
AB
5

1
B. MA = MB

4

C. MB = 4MA

4
MB = AB
5

Lời giải
Chọn D.

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất

D.


4
Ta thấy MB và AB cùng hướng nên MB = AB là sai.
5

Câu 26. [0H1-2] Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng ?
A. AC + BD = 2BC

B. AC + BC = AB

C. AC BD = 2CD

D. AC AD = CD

Lời giải

Chọn A.

Ta có: AC + BD = AB + BC + BC + CD = 2 BC + [ AB + CD] = 2 BC .
Câu 27. [0H1-2] Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ?
A. AB + AC =

2
AG B. BA + BC = 3BG
3

C. CA + CB = CG

D. AB + AC + BC = 0

Lời giải
Chọn B.

3
Gọi M là trung điểm của AC . Khi đó: BA + BC = 2 BM = 2. BG = 3BG .
2

Câu 28. [0H1-2] Cho hình vuông ABCD có tâm là O . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?
A. AB + AD = 2 AO

1
B. AD + DO = CA
2

1
C. OA + OB = CB

2

D. AC + DB = 4 AB

Lời giải
Chọn D.

AC + DB = AB + BC + DC + CB = AB + DC = 2 AB .

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Câu 29. [0H1-2] Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Nếu AB = 3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?
B. BC = 2 AC

A. BC = 4 AC

C. BC = 2 AC

D.

BC = 4 AC
Lời giải
Chọn D.

Từ đẳng thức: AB = 3AC suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng; AB và AC ngược hướng; AB = 3AC
nên BC = 4 AC .
Câu 30. [0H1-2] Cho G và G ' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A ' B ' C ' . Khi đó tổng

AA ' + BB ' + CC ' bằng:

A. GG '

B. 3GG '

C. 2GG '

D. 4GG '

Lời giải
Chọn B.
AA ' + BB ' + CC ' = [ AG + GG ' + G ' A '] + [ BG + GG ' + G ' B '] + [CG + GG ' + G ' C ']
= 3GG ' + [ AG + BG + CG ] + [G ' A ' + G ' B ' + G ' C '] = 3GG ' + 0 = 0 .

Câu 31. [0H1-3] Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi các điểm D, E , F lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC , CA và AB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. AG =
AG =

1
1
AE + AF
2
2

B. AG =

1
1
AE + AF
3

3

C. AG =

3
3
AE + AF
2
2

2
2
AE + AF
3
3

Lời giải
Chọn D.

Ta có: AG =

[

] [

]

2
2 1
1

2
2
AD = . AB + AC = 2 AF + 2 AE = AE + AF
3
3 2
3
3
3

Câu 32. [0H1-3] Cho a 0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM = 3a và

ON = 4a . Khi đó:
A. MN = 7a

B. MN = 5a

C. MN = 7a

D. MN = 5a

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất

D.


Lời giải
Chọn C.
Ta có: MN = ON OM = 4a 3a = 7a .
Câu 33. [0H1-3] Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho


MB = 3MC . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng ?
1
3
A. AM = AB + AC
2
2

B. AM = 2 AB + AC

C. AM = AB AC

1
D. AM = [ AB + AC ]
2

Lời giải
Chọn A.

Gọi I là trung điểm của BC . Khi đó C là trung điểm của MI . Ta có:
1
1
3
AM + AI = 2 AC AM = AI + 2 AC = [ AB + AC ] + 2 AC = AB + AC .
2
2
2

Câu 34. [0H1-3] Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó

AC + BD bằng:

A. MN

B. 2MN

C. 3MN

D. 2MN

Lời giải
Chọn B.


MN = MA + AC + CN
Ta có: +

MN = MB + BD + DN

2MN = AC + BD .
Câu 35. [0H1-3] Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây
đúng ?
A. MA + MB + MC + MD = MO

B. MA + MB + MC + MD = 2MO

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


D. MA + MB + MC + MD = 4MO

C. MA + MB + MC + MD = 3MO

Lời giải
Chọn D.

Ta có: MA + MB + MC + MD = [ MA + MC ] + [ MB + MD] = 2MO + 2MO = 4MO
Câu 36. [0H1-4] Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam
giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. OH = 4OG

B. OH = 3OG

C. OH = 2OG

D.

3OH = OG
Lời giải
Chọn B.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có: HA + HD = 2 HO [1]
Vì HBDC là hình bình hành nên HD = HB + HC [2]
Từ [1], [2] suy ra: HA + HB + HC = 2 HO [ HO + OA] + [ HO + OB] + [ HO + OC ] = 2 HO
3HO + [OA + OB + OC ] = 2 HO OA + OB + OC = HO 3OG = OH .

Câu 37. [0H1-4] Cho tứ giác ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , I là điểm trên GC sao
cho IC = 3IG . Với mọi điểm M ta luôn có MA + MB + MC + MD bằng:
A. 2MI

C. 4MI

B. 3MI


D. 5MI

Lời giải
Chọn C.

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


Ta có: 3IG = IC .
Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên

IA + IB + ID = 3IG IA + IB + ID = IC IA + IB + IC + ID = 0
Khi đó:
MA + MB + MC + MD = MI + IA + MI + IB + MI + IC + MI + ID = 4MI + [ IA + IB + IC + ID ] = 4MI + 0 = 4MI
.

Câu 38. [0H1-4] Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác

ABC . Hạ ID, IE , IF tương ứng vuông góc với BC , CA, AB . Giả sử ID + IE + IF =

a
a
IO [với
là
b
b

phân số tối giản]. Khi đó a + b bằng:
A. 5


B. 4

C. 6

D. 7

Lời giải
Chọn A.

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC , NR / / CA . Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác
IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác đều. Suy ra D, E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS .

Khi đó:
ID + IE + IF =

1
1
1
1
1
[ IM + IN ] + [ IP + IQ] + [ IR + IS ] = [ IQ + IR] + [ IM + IS ] + [ IN + IP] = [ IA + IB + IC ]
2
2
2
2
2

1
3

= .3IO = IO a = 3, b = 2 . Do đó: a + b = 5 .
2
2

Câu 39. [0H1-4] Cho tam giác ABC biết AB = 8, AC = 9, BC = 11 . Gọi M là trung điểm BC và N
là điểm trên đoạn AC sao cho AN = x [0 x 9] . Hệ thức nào sau đây đúng ?

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất


1
1 x
A. MN = AC + AB
2
2 9

1
x 1
B. MN = CA + BA
2
9 2

1
x 1
C. MN = + AC AB
2
9 2

1
x 1

D. MN = AC AB
2
9 2

Lời giải
Chọn D.

Ta có: MN = AN AM =

x
1
1
x 1
AC [ AB + AC ] = AC AB .
9
2
2
9 2

Câu 40. [0H1-4] Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. AH =

2
1
AC AB
3
3

C. AH =


2
1
AC + AB
3
3

B. AH =

1
1
AC AB
3
3

D. AH =

2
1
AB AC
3
3

Lời giải
Chọn A.

Gọi M , I lần lượt là trung điểm của BC và AC .
Ta thấy AHCG là hình bình hành nên
AH + AG = AC AH +
AH = AC


[

[

]

2
2 1
AM = AC AH + . AB + AC = AC
3
3 2

]

1
2
1
AB + AC AH = AC AB .
3
3
3

//dethithpt.com Website chuyên đề thi tài liệu file word mới nhất