Cách làm bài toán quỹ tích lớp 9
Quỹ tích là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học THCS cũng như THPT. Vậy quỹ tích là gì? Cách giải bài toán quỹ tích như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu chi tiết về chủ đề quỹ tích là gì nhé!. Show Định nghĩa quỹ tích là gì?Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ có tính chất T khi và chỉ khi hình H chứa các điểm có tính chất T. Các loại quỹ tích cơ bản
Cách chuẩn bị giải bài toán quỹ tíchTìm hiểu kĩ bài toánTrước hết bạn cần tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường sẽ xuất hiện 3 yếu tố sau đây:
Ví dụ về bài toán tìm quỹ tíchĐể hiểu rõ hơn về các yếu tố trên ta xét các ví dụ sau đây: Ví dụ 1: Cho một góc vuông \(\widehat{xOy}\) cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB . Trong bài toán này chúng ta cần xác định 3 yếu tố đã nêu trên:
Ví dụ 2: Cho một đường thẳng (b) và điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng (b) sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.
Tóm lại: Qua 2 ví dụ trên ta cần chú ý:
Cách đoán nhận quỹ tíchThao tác đoán nhận quỹ tích giúp chúng ta có thể hình dung ra được hình dạng của quỹ tích (đoạn thẳng, đường thẳng, hình tròn, ….). Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Để có thể nhận được kết quả tốt và đơn giản nhất ta xét các điểm giới hạn của chúng, với điều kiện là vẽ hình chính xác.
Cách giải bài toán quỹ tíchChứng minh phần thuậnMọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H. Thực chất của phần này là đi tìm hình dạng của quỹ tích (kiểm tra với một vài trường hợp cụ thể, dự đoán và sử dụng lặp luận để chứng minh quỹ tích cần tìm). Chứng minh phần đảoMọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. Mục tiêu của việc chứng minh phần đảo là xác minh lại một lần nữa (trong nhiều trường hợp thì việc xét phần đảo sẽ là cách chứng minh chắc chắn nhất cho lập luận của mình). Tóm lại: Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta kết luận: Quỹ tích của những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H. Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích điểm Để giải được bài toán tìm quỹ tích điểm: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}\)
Dạng 1: Cho ba điểm A, B, C cố định. M di chuyển. Ta chứng minh được \(\overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{AB}\) khi đó điểm M di chuyển trên đường thẳng \(\left (\Delta \right )\) qua điểm C và song song với AB. Dạng 2: Cho hai điểm A, B cố định. Quỹ tích điểm M là điểm di chuyển sao cho \(\left | \overrightarrow{MA} \right |=\left | \overrightarrow{MB} \right |\). Khi đó quỹ tích điểm M thỏa mãn \(\left | \overrightarrow{MA} \right |=\left | \overrightarrow{MB} \right |\) là đường thẳng \(\left (\Delta \right )\) là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Dạng 3: Cho \(I\) là điểm cố định, M là điểm di động. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow{IM}=R>0\) thì quỹ tích điểm M là đường tròn \(\left ( I;R \right )\) Dạng 4: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B cố định và một điểm M di chuyển. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\) là đường tròn (C) có \(\left ( O;\frac{AB}{2} \right )\) Dạng 5: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A,B cố định và một điểm M di chuyển có \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=0\). Khi đó quỹ tích điểm M sẽ là đường thẳng \(\left ( \Delta \right )\) đi qua A và vuông góc với AB. Một số bài tập tìm quỹ tích điểmTừ khái niệm quỹ tích là gì, để nắm rõ hơn kiến thức, chúng ta cùng tìm hiểu về một số bài tập quỹ tích dưới đây nhé. Ví dụ 1: Cho \(\bigtriangleup ABC\). Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{BC}\left ( k\ne0 \right )\) Cách giải: Nhận xét:
Gọi \(I\) là trung điểm của AB. Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{BC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{BC}\) \(\Rightarrow2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{CB}=k\overrightarrow{BC}\) (do \(I\) là trung điểm của AB) \(\Rightarrow2\overrightarrow{MI}=k\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CB}\) \(\Rightarrow2\overrightarrow{MI}=k\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\) \(\Rightarrow2\overrightarrow{MI}=\left (k+1 \right )\overrightarrow{BC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MI}=\left (\frac{k+1}{2} \right )\overrightarrow{BC}\) (tương ứng với dạng toán 1 đã nêu ở trên). Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng \(\left ( \Delta \right )\) đi qua \(I\) và song song với BC Ví dụ 2: Cho A,B cố định. Tập hợp điểm M thỏa mãn \(\left | 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} \right |=5\) Cách giải: Nhận xét:
Giả sử điểm \(I\) nằm giữa đoạn thẳng AB và thỏa mãn \(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\) Khi đó ta có: \(\left |2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} \right |=5\\ \Rightarrow\left | 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IB} \right |=5\\ \Rightarrow\left | 5\overrightarrow{MI}+\left (2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB} \right ) \right |=5\\\Rightarrow5\left | \overrightarrow{MI} \right |=5\\\Rightarrow\left | \overrightarrow{MI} \right |=1\) (giống với dạng 3 đã nêu ở trên) Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm \(I\) và bán kính = 1. Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho \(\left | 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} \right |=\left |\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{MD} \right |\) Cách giải:
Ta có: \(\left | 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} \right |=\left |\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{MD} \right |\\\Rightarrow\left | 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IB} \right |=\left |\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+4\overrightarrow{MJ}+4\overrightarrow{JD} \right |\\\Rightarrow\left | 5\overrightarrow{MI}+\left ( 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB} \right ) \right |=\left | 5\overrightarrow{MJ}+\left ( \overrightarrow{JC}+4\overrightarrow{JD} \right ) \right |\\\Rightarrow\left | 5\overrightarrow{MI} \right |=\left | 5\overrightarrow{MJ} \right |\\\Rightarrow\left | \overrightarrow{MI} \right |=\left | \overrightarrow{MJ} \right|\) (giống với dạng toán 2 đã nêu ở trên). Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng \(\left ( \Delta \right )\) là trung trực của \(IJ\) Ví dụ 4: Cho \(\bigtriangleup ABC\). Tìm tập hợp điểm M sao cho \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=AM^2\) Cách giải: Ta có: \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AM}\\\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AM}=0\\\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\left ( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM} \right )=0\\\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=0\\\Rightarrow-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\\\Rightarrow\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\) (giống dạng toán 4 đã nêu ở trên) Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính là \(\frac{AB}{2}\). Ví dụ 5: Cho \(\bigtriangleup ABC\). Tìm tập hợp điểm M sao cho \(\left |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left |6\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right |\) Cách giải:
Ta có: \(\left |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left |6\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right |\\\Rightarrow\left |\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right |=\left |6\overrightarrow{MA}-3\left ( \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right ) \right |\\\Rightarrow\left |3\overrightarrow{MG}+\left ( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right ) \right |=\left |6\overrightarrow{MA}-3\left ( 2\overrightarrow{MI} \right ) \right |\\\Rightarrow\left |3\overrightarrow{MG} \right |=\left |6\overrightarrow{MA}-6\overrightarrow{MI} \right |\\\Rightarrow3\left |\overrightarrow{MG} \right |=6\left |\overrightarrow{IA} \right |\\\Rightarrow MG=2IA\)
Từ (1) và (2) suy ra quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm G, bán kính là \(2IA\) Ví dụ 6: Trên mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. Tìm tập hợp điểm M sao cho \(AM^2+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=0\) Cách giải: Ta có: \(AM^2+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=0\\ \Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=0\\ \Rightarrow\overrightarrow{AM}.\left (\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} \right )=0\\ \Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=0\) Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã cùng bạn tổng hợp và tìm hiểu về chủ đề quỹ tích là gì cùng một số kiến thức liên quan. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những nội dung hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề quỹ tích là gì. Chúc bạn luôn học tập tốt!. Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây: (Nguồn: www.youtube.com) Xem thêm: Please follow and like us:
|