Các dạng bài tập của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Với Các dạng bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 50 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức

1. Phương pháp giải

Để giải được các bài toán này . cần nắm được các kiên thức sau:

+ Bất đẳng thức tam giác

• |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:

• |z1 - z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto

• |z1 + z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0.

• |z1 - z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0.

+ Bất đẳng thức khác

BĐT Cauchy: A2 + B2 ≥

tìm min

BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max

BĐT Mincopxki:

tìm min. Dấu = xảy ra khi

BĐT vecto

tìm min. Dấu = xảy ra khi

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 1- 5i| = | z− + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

A. z =

+ i    B. z = - i

C. z = - +

i    D. z = - i

Hướng dẫn:

Gọi số phức z = x + yi , (x,y ∈ R) ⇒ z− = x - yi

Ta có:

|z + 1 - 5i| = |z− + 3 - i| ⇔ |x + yi + 1 - 5i| = |x - yi + 3 - i|

⇔ |(x + 1) + (y - 5)i| = |(x + 3) + (-y - 1)i|

⇔

⇔ (x + 1)2 +( y -5)2 = ( x + 3)2 + ( y + 1)2

⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 10y + 25
= x2 + 6x+ 9 + y2 + 2y + 1

⇔ - 4x – 12y + 16 = 0 ⇔ x + 3y – 4 = 0

⇔ x = 4 - 3y

Ta có modun của số phức z là:

|z| =

=

Đẳng thức xảy ra khi y = ⇒ x =

.

Vậy min|z| =

khi z = + i.

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong các số phức z có phần thực , phần ảo không âm và thỏa mãn:

= 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
P = |z2 - z− 2| - (z2 - z− 2).i.[z(1 - i) + z−(1 + i)]

A. z =

+ i    B. z = + i

C. z = + i    D. z = 1 + i

Hướng dẫn:

Điều kiện: z ≠ 1 - 2i .

Gọi số phức cần tìm là z = x + yi,(x, y ∈ R; x,y > 0)

Theo giả thiết ta có:

= 1 ⇔ |z - 3| = |z - 1 + 2i|.

⇔ |x + yi - 3| = |x + yi - 1 + 2i|
⇔ |(x - 3) + yi| = |(x - 1) + (y + 2)i|

⇔

⇔ (x – 3)2 + y2 = (x - 1)2 + ( y + 2)2

⇔ x2 – 6x + 9 + y2
= x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4

⇔ - 4x – 4y + 4 = 0 ⇔ x + y – 1 = 0

Số phức liên hợp với số phức z là:

z− = x - yi ⇒ z2 - z− 2 = 4xy.i
⇒ |z2 - z− 2| = 4xy (vì x, y không âm)

z(1 - i) + z−(1 + i) = 2x + 2y

Do đó,
P = 16x2y2 + 4xy.(2x+ 2y) = 16x2y2 + 8xy.

Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤

= , ta có
P = 16t2 + 8t; t ∈ [0; ] .

+ Xét hàm số f(t) = 16t2 + 8t liên tục trên [0; ] .

f'(t) = 32t + 8t; f'(t) = 0
⇔ t = 0 ∪ t = - (loại)

f(0) = 0; f( ) =

⇒
⇔ t = ; = 0 ⇔ t = 0

Khi t = ⇒ xy =

Lại có; x+ y – 1= 0 nên x = y = .

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng khi
z = + i .

Chọn C.

Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn:
w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?

A. √3    B. 2    C. 2√3    D. 2√2

Hướng dẫn:

Đặt z = x + yi (x, y ), số phức liên hợp với số phức z là z− = x - yi

Ta có: w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i)

⇔ w = ( x + yi + 3 - i) . ( x - yi + 1 + 3i)

⇔ w = [ (x+ 3) + (y – 1).i ].[ (x+ 1)+ ( 3- y).i ]

⇔ w = ( x+ 3).(x+ 1) + ( x + 3). (3- y).i + ( y -1). ( x+ 1)i + ( y – 1). (3- y).i2

⇔ w = x2 +4x + 3 + ( 3x - xy + 9 - 3y).i + (xy + y – x – 1).i - ( - y2 + 4y – 3)

⇔ w = ( x2 + 4x +3 + y2 – 4y + 3) + ( 3x – xy + 9 – 3y + xy + y – x – 1).i

⇔ w = (x2 + y2 + 4x - 4y + 6) + ( 2x – 2y + 8).i

Để w là một số thực khi và chỉ khi
2x - 2y + 8 = 0 hay x - y + 4 = 0

⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x – y + 4 = 0.

M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất

Khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng d.

⇒ OM ⊥ d

* Cách 1: Đường thẳng OM có dạng:
x + y + c = 0 .

Mà điểm O(0;0) thuộc đường thẳng OM nên ta có: 0 + 0 + c = 0 ⇒ c = 0

Do đó phương trình đường thẳng OM:
x + y = 0

Khi đó, tọa độ M là nghiệm hệ phương trình :

⇒ M(-2; 2) suy ra số phức cần tìm là
z = -2 + 2i.

⇒ |z| =

= 2√2

* Cách 2. Khi đó: |z| = d(O; d)
=

= 2√2

Chọn D.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c

Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.

Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:

Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)

Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|

Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8

Cách tìm số phức:

+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:

+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 0.    B. 3.    C. 2.    D. 4.

Hướng dẫn:

Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.

Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i

Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ

Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:

A. √2     B. 2    C. 1    D. 3

Hướng dẫn:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.

A. 2    B. √2    C. 2√2    D. √2

Hướng dẫn:

Ta có:

1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2

Chọn đáp án là D

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Hướng dẫn:

Ta có:

|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|

⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2

⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y

Chọn đáp án A.