Bài tập cực trị hàm nhiều biến có lợi giải năm 2024
0% found this document useful (0 votes) Show
27 views 30 pages Copyright© © All Rights Reserved Share this documentDid you find this document useful?0% found this document useful (0 votes) 27 views30 pages CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN (phần 2)Jump to Page You are on page 1of 30 FỰF ]ZỂ DÀK GDLỀX JLặG PDẩG : FỰF ]ZỂ FÖ ĐLỀX ELỉGTìt : jàl tnãg2Jàl 32 ]ák fỳf trễ :: 3 zxy Fỳf ēảl ēảt tảl (0,0), z ; 3 :: 3 zxy :: 3 z x y Jàl :2 ]ák fỳf trễ :: 3 zxy ]dỎc ēlểu elỏg x + y ‖ 3 ; 0 x + y ‖ 3 ; 0 Reward Your CuriosityEverything you want to read. Anytime. Anywhere. Any device. No Commitment. Cancel anytime. Tài liệu gồm 21 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Văn Đoàn, tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến. Bài 1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG. 1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM). 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki). 3. Bất đẳng thức véctơ. 4. Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp. 5. Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ. Bài 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANTRƯỜNG ẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA TOÁN - TIN HỌC4444443 * * * 4444443BÀI TẬP NHÓMGIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾNỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỰC TRà HÀM NHIỀU BIẾNVÀO CÁC BÀI TOÁN LỢI NHUẬN TỐI ANHÓM THỰC HIỆN: NHÓM 7 (SÁNG THỨ 5)GIẢNG VIÊN: PGS. NGUYỄN THÀNH NHÂNMục lục
1 NỘI DUNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆCHỌ VÀ TÊN NỘI DUNG CÔNG VIỆCTỈ LỆÓNG GÓPMINH NHẬTBiên Soạn Ứng Dụng Cực TrịSoạn Thảo File Trình Chiếu1.MINH PHƯƠNG Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.NHỰT PHÁT Biên Soạn Bài Tập Ứng Dụng 0.ANH THƯBiên Soạn Bài Tập Ứng DụngThuyết Trình Nội Dung1.XUÂN PHÚCBiên Soạn Kiến Thức Cực TrịThuyết Trình Nội Dung1.QUANG MINH Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.MINH TRIẾT Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.KHÔI NGUYÊNBiên Soạn Ứng Dụng Cực TrịSoạn Thảo File Nội Dung1.HỮU KHÁNHQuản Lí Phân Chia Công ViệcBiên Soạn Ứng Dụng Cực TrịSoạn Thảo File Trình ChiếuSoạn Thảo File Nội Dung1.2 PHẦN NỘI DUNG2 ẶT VẤN ỀCực trị hàm nhiều biến là một trong những phần kiến thức trọngtâm và quan trọng trong môn học Giải tích hàm nhiều biến , nhữngứng dụng kiến thức từ cực trị hàm nhiều biến cũng vô cùng ược chútâm, ứng dụng nhiều và phổ biến trên các lĩnh vực khác nhau.
ặt biệt là sinh viên ở các trường kinh tế, một trong những trường angược quan tâm hiện nay.Khi giải quyết những bài toán về kinh tế, người ta thường gặp cácbài toán dạng xác ịnh trị số tối ưu (nhỏ nhất hoặc lớn nhất) của mộtchß tiêu nào ó trong những iều kiện nhất ịnh (chẳng hạn như: năngsuất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí bé nhất ...). Trong toán học,ó cũng chính là dạng bài toán tìm cực trị (cực tiểu / cực ại) của mộthàm f (gọi là hàm mục tiêu) xác ịnh trên một tập hợp nào ó trongkhông gian.⇒Từ ó, nhóm chúng em ã chọn <Ứng dụng của cực trị hàmnhiều biến vào các bài toán kinh tế= làm ề tài nghiên cứu cho buổithuyết trình sắp tới.Các bài toán về cực trị hàm nhiều biến rất a dạng và phong phú,trong phần trình bày này, nhóm muốn giới thiệu ến thầy và các bạnmột số ứng dụng thông dụng nhất của cực trị của hàm hai biến số trongcác bài toán kinh tế, qua ó ể mọi người thấy ược một phần mạchứng dụng của toán học cao cấp vào lĩnh vực kinh tế.2.2 Cực trị ịa phương có iều kiện
Cho U mở trongRn , f : U →R, φ : U →R. ặtV ={ x ∈ U : φ ( x )=0}.• Ta nói f ạt cực ại ịa phương tại x0 ∈ V với ràng buộc φ ( x )= 0nếu tồn tại r > 0 sao chof ( x )f f ( x 0 ),∀ x ∈ B ( x , r )∩ V.• Ta nói f ạt cực tiểu ịa phương tại x 0 ∈ V với ràng buộc φ ( x )= 0nếu tồn tại r > 0 sao chof ( x )g f ( x 0 ),∀ x ∈ B ( x , r )∩ V.
Giả sử các ạo hàm riêng của f tồn tại, f ạt cực trị tại x0 với ràngbuộc φ ( x )= 0 và∇ φ ( x0 )̸= 0R n. Khi ó, tồn tại số thực λ sao cho∇ f ( x 0 )= λ ∇ φ ( x 0 ).
Cho U mở trong Rn , f : U →R, φ : U →R thỏa f , φ ∈ C2 ( U ). Giảsử( x 0 , λ 0 )là iểm dừng của hàm Lagrange L ( x , λ )và∇ φ ( x 0 )̸= 0. Xétdạng toàn phươngA ( u )= n i , j = 1 ∂2 L ( x , λ 0 ) ∂x j ∂x i ( x 0 ) uiuj với u =( u1 , u 2 ,..., u n )∈Rn thỏa iều kiện+∇ φ ( x0 ), u , = 0. Khi ó,• Nếu A ( u )là dạng toàn phương xác ịnh dương thì f ạt cực tiểutại x0 với ràng buộc φ ( x )= 0.• Nếu A ( u )là dạng toàn phương xác ịnh âm thì f ạt cực ại tạix 0 với ràng buộc φ ( x )= 0.• Nếu A ( u )là dạng toàn phương không xác ịnh thì f không ạtcực trị tại x0 với ràng buộc φ ( x )= 0.• Nếu A ( u )là dạng toàn phương nửa xác ịnh dương hoặc nửa xácịnh âm thì chưa có kết luận về cực trị của f tại x0 với ràng buộcφ ( x )= 0.2.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Cho U mở, bị chặn trongRn và f : U →R. Giả sử biên của tập U(ký hiệu là ∂U , ược ịnh nghĩa bởi ∂U = U \ U ) xác ịnh bởi mặt congφ ( x )= 0 , tức là∂U =x ∈R n : φ ( x )= 0 .Ta biết rằng f ạt giá trị lớn nhất trên U. Giả sửf ( x 0 )=max f ( x ), x ∈ U .Khi ó, xảy ra một trong hai trường hợp sau ây:• Nếu x 0 ∈ U thì f ạt cực trị không iều kiện tại x 0.• Nếu x0 ∈ ∂U thì f ạt cực trị ràng buộc φ ( x )= 0 tại x0 .Như vậy hàm f chß có thể ạt giá trị lớn nhất tại các iểm cực trịkhông iều kiện hoặc cực trị với ràng buộc φ ( x )= 0 trên U. Do ó,ể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trên U , ta chß cần sosánh giá trị của hàm f tại các iểm dừng của f và iểm dừng của hàmLagrange L trên U.Vậy công ty cần phải bán ược bao nhiêu áo và quần ể công ty ạtược lợi nhuận cao nhất?Hướng Dẫn GiảiTa có: LN = 150 Q 1 + 180 Q 2 −( Q2 1 + Q2 2 + 4 Q 1 + 2 Q 2 +100)= − Q2 1 −Q2 2 + 146 Q 1 + 178 Q 2 − 100.Suy raLN′ Q 1 \= − 2 Q1 + 146 = 0LN′ Q 2 \= − 2 Q2 + 178 = 0ô Q1 \= 73Q2 \= 89.Ma trận Hess: A =−2 00 − 2.Nhận thấy A 1 = − 2 <0, A 2 = 4 > 0 nên A là dạng toàn phương xácịnh âm. Do ó hàm LN ạt cực ại tại( Q 1, Q 2)=(73,89).Vậy công ty cần bán ược 73 cái áo, 89 cái quần ể ạt lợi nhuậntối a.2.3 Bài toán tối a hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán trên nhiều thị trường Một công ty sản xuất ộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trênn thị trường tách biệt. Giả sử hàm cầu trên n thị trường như sau:QD1 \= D 1 ( P 1 )QD 2 \= D1 ( P2 )...QDn \= Dn ( Pn ) Hàm tổng chi phí C = C ( Q )với Q = Q1 + Q2 +...+ Qn .Trong ó:Q là sản lượng của doanh nghiệp.Qi là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i.Pi là ơn giá trên thị trường thứ i ,( i =1, n ).Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ể doanh nghiệp ạtlợi nhuận cực ại.Phương Pháp GiảiGọi Q1 , Q2 ,..., Qn là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cầntìm.ể doanh nghiệp bán hết hàng thìQ 1 = QD1 Q2 \= QD 2 ...Qn = QD n ⇒Q 1 = D 1 ( P 1 )Q2 \= D2 ( P2 )...Qn = Dn ( Pn ) ⇒P 1 = P 1 ( Q 1 )P2 \= P2 ( Q2 )...Pn = Pn ( Qn ) Doanh thuR = Q 1 P 1 + Q 2 P 2 +...+ QnPn = n i = 1 QiPi = n i = 1 QiPi ( Qi ) Chi phíMa trận Hess: H =− 4 − 2− 2 − 6.Nhận thấy H1 \= − 4 <0, H2 \= 20 > 0 nên H là dạng toàn phương xácịnh âm. Do ó hàm π ạt cực ại tại( Q 1, Q 2)=(40,60).Vậy công ty cung cấp cho:• Thị trường thứ 1 là Q1 \= 40 ơn vị hàng với ơn giá là P1 \=310 − Q1 \= 270.• Thị trường thứ 2 là Q 2 = 60 ơn vị hàng với ơn giá là P 2 =470 − 2 Q 2 = 350.2.3 Bài toán tối a hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong iều kiện ộc quyền Cho một doanh nghiệp ộc quyền sản xuất và kinh doanh n loạihàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên làQD 1 \= D1 ( P1 , P2 ,..., Pn )QD2 \= D 2 ( P 1 , P 2 ,..., Pn ) ...QDn \= Dn ( P 1 , P 2 ,..., Pn ) Trong ó:QDi : Lượng hàng cầu của loại hàng hóa thứ i.P 1 , P 2 ,..., Pn : Giá bán của loại hàng hóa thứ i.Q1 , Q2 ,..., Qn : Sản lượng của loại hàng hóa thứ i.Hàm tổng chi phí C = C ( Q )= C ( Q1 , Q2 ,..., Qn ).Tìm mức sản lượng Q 1 , Q 2 ,... Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất ểlợi nhuận ạt cực ại.Phương Pháp GiảiGọi Q 1 , Q 2 ,..., Qn là các mức sản lượng cần tìm.ể doanh nghiệp bán hết hàng thìQ1 \= QD 1 Q 2 = QD2 ...Qn \= QDn ⇒Q1 \= D1 ( P1 , P2 ,..., Pn )Q 2 = D 2 ( P 1 , P 2 ,..., Pn ) ...Qn \= Dn ( P1 , P2 ,..., Pn )⇒P1 \= P1 ( Q1 , Q2 ,..., Qn )P2 \= P2 ( Q1 , Q2 ,..., Qn )...Pn \= Pn ( Q1 , Q2 ,..., Qn )Ta có:− 4 Q1 − 3 Q2 + 55 = 0− 6 Q 2 − 3 Q 1 + 70 = 0ô( Q 1 , Q2 )=8,233.Ma trận Hess: H =− 4 − 3− 3 − 6.Nhận thấy H1 \= − 4 <0, H2 \= 15 > 0 nên H là dạng toàn phương xácịnh âm. Do ó hàm π ạt cực ại tại( Q 1, Q 2)=8,233.Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ại nếu sản xuất:• 8 ơn vị hàng thứ nhất.•233ơn vị hàng thứ hai.3 KẾT LUẬN CHUNGNhờ có các kiến thức toán học về cực trị hàm nhiều biến số mà tacó thể giải ược một số bài toán liên quan ến việc tìm cực trị, giá trịlớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán kinh tế. Sau ây là một số "bàitập vận dụng" mà ọc giả có thể tự giải.4 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNGBài 1: Xét doanh nghiệp cạnh tranh thuần tuý sản xuất 2 loại sảnphẩm với hàm chi phí kết hợp:C = 3 Q2 1 + 2 Q 1 Q 2 + 2 Q2 2 + 10.Với giá thị trường của sản phẩm 1 là 160 ôla và giá của sản phẩm 2là 120 ôla. Hãy chọn một cơ cấu sản lượng( Q 1, Q 2)ể hàm lợi nhuậnạt giá trị tối a.Bài 2: Cho hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp như sau:π = − X 2 + 80 X − 2 Y 2 + 60 Y − 2 X Y − 10.Hãy xác ịnh sản lượng X và Y ể doanh nghiệp tối a hóa lợinhuận. Tìm lợi nhuận tối a ó?Bài 3: Cho một doanh nghiệp ộc quyền sản xuất và kinh doanhmột loại hàng hóa bán trên 2 thị trường tách biệt với các hàm cầu:QD 1 \= 840 − 2 P1 , QD 2 \= 1230 − 3 P2 .Hàm chi phí C = Q2 + 150 Q + 20 với Q = Q1 + Q2 .Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ể lợi nhuận cựcại.Bài 4: Cho hàm tổng doanh thu và tổng chi phí của một doanhnghiệp như sau:R = − X2 + 26 X + 60 Y , C = − 2 X2 + 20 X − Y 2 + 20 Y + X Y + 5.Hãy xác ịnh sản lượng X và Y ể doanh nghiệp tối a hóa lợinhuận. Tìm lợi nhuận tối a ó?Bài 5: Cho hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau:C = − X2 + 40 X − Y 2 + 45 Y − X Y + 6.Hãy xác ịnh sản lượng X và Y ể doanh nghiệp tối thiểu hóa chiphí. Tìm chi phí tối thiểu ó? |