Bài tập chứng minh 2 đường thẳng vuông góc trong không gian

– Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta đi tìm mặt  phẳng [β] chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh a $\bot $ [β] dễ thực hiện.

–  Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

Bài tập về chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB

Tứ diện ABCD đều nên ∆ABD và ∆ABC là các tam giác đều suy ra $\left\{ \begin{array}  {} DM\bot AB \\  {} CM\bot AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot [MCD]$

Do đó $AB\bot CD$

Chứng minh tương tự ta cũng có $BC\bot AD,AC\bot BD$

Lời giải chi tiết

a] Đặt AB = 2a $\Rightarrow $ AD = CD = a

Do AB = 2CD $\Rightarrow $ AI = AD = CD = CI = a

Khi đó AICD là hình vuông cạnh a.

Do đó $CI\bot AB$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} AC\bot DI \\  {} DI\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow DI\bot [SAC]\Rightarrow DI\bot SC$

b] Do  $SA\bot [ABCD]\Rightarrow \Delta SAD,\Delta SAB$ vuông tại S.

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} CD\bot AD \\  {} CD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow CD\bot [SAD]\Rightarrow CD\bot SD$

nên ∆SDC vuông tại D.

Xét ∆ACD có trung tuyến $CI=\frac{AB}{2}\Rightarrow \Delta ACD$vuông tại C$\Rightarrow BC\bot AC$

Mặt khác $BC\bot SA\Rightarrow BC\bot [SAC]\Rightarrow BC\bot SC\Rightarrow \Delta SCB$vuông tại C.

Lời giải chi tiết

a] Do ∆ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên $AI\bot BC$

Mặt khác $AI\bot CC'\Rightarrow AI\bot [BCC'B']\Rightarrow AI\bot BC'$

b] Dễ thấy BCC’B’ là hình vuông nên $B'C\bot BC'$

Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác B’BC nên MI//B’C suy ra $MI\bot BC'$

Lại có: $AI\bot BC'\Rightarrow BC'\bot [AIM]\Rightarrow BC'\bot AM$

c] Ta có: $\tan \widehat{KMB'}=\frac{KB'}{MB'}=\frac{1}{2};\tan \widehat{AMB}=\frac{AB}{BM}=2$

Suy ra $\tan \widehat{KMB'}=\cot \widehat{AMB}\Rightarrow \widehat{KMB'}+\widehat{AMB}={{90}^{\circ }}$

Do đó $\widehat{AMK}={{90}^{\circ }}\Rightarrow AM\bot MK$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} AM\bot BC' \\  {} MJ//BC' \\ \end{array} \right.\Rightarrow AM\bot MJ$

Suy ra $AM\bot [MKJ]\Rightarrow AM\bot KJ$

Lời giải chi tiết

Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} IN//AC \\  {} AC\bot BD \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\bot IN$ [1]

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} IM//BE \\  {} BE\bot PO \\ \end{array} \right.\Rightarrow IM\bot PO$ [*]

Mà $PO\bot BD$ [**] [Do ∆BPD là tam giác cân tại P có đường trung tuyến PO].

Từ [*] và [**] ta có: $BD\bot IM$ [2]

Từ [1] và [2] ta có: $BD\bot [IMN]\Rightarrow BD\bot MN$

Cho \[\overrightarrow a  = 3,\,\,\overrightarrow b  = 5\] và góc giữa chúng bằng \[{120^0}\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A:

\[\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b \cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {5^2} + 2.3.5.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 19\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} \end{array}\]

\[\Rightarrow\] Đáp án A đúng.

Xét đáp án B:

\[\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b \cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {5^2} - 2.3.5.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 49\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {7} \end{array}\]

\[\Rightarrow\] Đáp án B đúng.

Xét đáp án C:

\[\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 4{\overrightarrow b ^2} - 4\overrightarrow a \overrightarrow b \cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {5^2} - 4.3.5.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 139\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {139} \end{array}\]

\[\Rightarrow\] Đáp án C đúng.

Xét đáp án D:

\[\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 4{\overrightarrow b ^2} + 4\overrightarrow a \overrightarrow b \cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {5^2} + 4.3.5.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 79\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {79} \end{array}\]

\[\Rightarrow\] Đáp án D sai.

Chọn D.

Page 2

Cập nhật lúc: 16:07 23-07-2015 Mục tin: LỚP 12

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.