- LG a
- LG b
LG a
Viết phương trình mp[P] chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] có phương trình \[2x + y - \sqrt 5 z = 0\] một góc \[{60^0}.\]
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng [P] chứa Oz nên có dạng Ax+By=0\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = [A;B;0].\]
Ta có \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = [2;1; - \sqrt 5 ].\] Theo giả thiết của bài toán :
\[\eqalign{ & \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]} \right| = {{\left| {2A + B} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {4 + 1 + 5} }} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \cos {60^0} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2\left| {2A + B} \right| = \sqrt {10} .\sqrt {{A^2} + {B^2}} \cr & \Leftrightarrow 6{A^2} + 16AB - 6{B^2} = 0. \cr} \]
Lấy B = 1 ta có
\[6{A^2} + 16A - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{ {A_1} = {1 \over 3} \hfill \cr {A_2} = - 3. \hfill \cr} \right.\]
Vậy có hai mặt phẳng [P] :
\[{1 \over 3}x + y = 0; - 3x + y = 0.\]
LG b
Viết phương trình mp[Q] đi qua A[3;0;0], C[0;0;1] và tạo với mặt phẳng [Oxy] góc \[{60^0}.\]
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng [Q] đi qua A, C và tạo với mp[Oxy] góc 600nên [Q] cắt Oy tại điểm B[0;b;0] khác gốc O\[ \Rightarrow b \ne 0.\]
Khi đó phương trình của mặt phẳng [Q] là :
\[{x \over 3} + {y \over b} + {z \over 1} = 1\] hay \[bx +3y+ 3bz - 3b = 0\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = [b;3;3b].\]
Mặt phẳng [Oxy] có vec tơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k [0;0;1].\] Theo giả thiết, ta có
\[\eqalign{ & \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow k } \right]} \right| = \cos {60^0} \Leftrightarrow {{\left| {3b} \right|} \over {\sqrt {{b^2} + 9 + 9{b^2}} }} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \left| {6b} \right| = \sqrt {10{b^2} + 9} \Leftrightarrow {b^2} = {9 \over {26}} \Leftrightarrow b = \pm {3 \over {\sqrt {26} }}. \cr} \]
Vậy có hai mặt phẳng [Q] :
\[\eqalign{ & x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0. \cr & x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0. \cr} \]