- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số
\[y = {{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[f\left[ x \right] = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\]
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} y = - \infty \] nên TCĐ: \[x = - 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\] nên TCX: \[y = x\].
\[\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
BBT:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 2} \right]\] và \[\left[ {0; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - 2; - 1} \right]\] và \[\left[ { - 1;0} \right]\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = - 2\], \[{y_{CD}} = - 3\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 0,{y_{CT}} = 1\].
+] Đồ thị:
LG b
Từ đồ thị [C] suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
\[y = {{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}} = \left| {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right| = \left| {f\left[ x \right]} \right|\]
Do đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\] từ [C] như sau:
+] Giữ nguyên phần của đồ thị [C] nằm phía trên trục hoành.
+] Lấy đối xứng phần dưới của đồ thị của hàm số [C]qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.
LG c
Với các giá trị nào của m, phương trình
\[{{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}} = m\]
Có bốn nghiệm phân biệt ?
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y=m và đồ thị hàm số \[y = \left| {f\left[ x \right]} \right|\].
Do đó để phương trình\[{{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}} = m\] có 4 nghiệm phân biệt thì \[m>3\].