- Phương trình đường tròn có tâm I[a; b], bán kính R là:
- Nếu thì phương trình là phương trình của đường tròn tâm I[a ; b], bán kính R =
- Nếu thì chỉ có một điểm I[a ; b] thoả mãn phương trình
- Nếu thì không có điểm M[x ; y] nào thoả mãn phương trình
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Tiếp tuyến tại điểm của đường tròn tâm I[a ; b] có phương trình :
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm vồ bán kính đường tròn
1. Phương pháp
Cách 1: Đưa phương trình về dạng :
[1]
- Xét dấu biểu thức
- Nếu m > 0 thì [1] là phương trình đường tròn tâm I[a ; b], bán kính R = .
Cách 2 : – Đưa phương trình về dạng
[2]
- Nếu m > 0 thì [2] là phương trình đường tròn tâm I[a ; b], bán kính R =
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :
GIÁI
a] [1] có dạng với a = 3,b = -4, c = 100.
Ta có .
Vậy [1] không phải là phương trình của đường tròn.
b] [2] có dạng , với a = – 2, b = 3, c = -12.
Ta có .
Vậy [2] là phương trình của đường tròn tâm là điểm [-2 ; 3], bán kính bằng = 5.
c] Ta có : [3]
⇔ ⇔
⇔
Vậy [3] là phương trình của đường tròn tâm là điểm [1 ; -2], bán kính bằng
Ví dụ 2. Cho phương trình $latex x^2 + y^2 – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0 [1]
a] Với giá trị nào của m thì [1] là phương trình của đường tròn ?
b] Nếu [1] là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m.
GIẢI
a] [1] có dạng với a = m, b = – 2m, c = 6m = 1.
[1] là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi , mà
Vấn đề 2
Lập phương trình của đường tròn
1. Phương pháp
Cách 1 :
- Tìm toạ độ tâm I[a ; b] của đường tròn [℘];
- Tìm bán kính R của[℘];
- Viết phương trình [℘] theo dạng
Chú ý:
- [℘] đi qua A, B ⇔ .
- [℘] đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng Δ tại A ⇔ IA = d[I, Δ].
- [℘] tiếp xúc với hai đường thẳng và ⇔ d [I, ] = d [I, ] = R
- Gọi phương trình của đường tròn [℘] là [2]
- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c.
- Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào [2] ta được phương trình đường tròn[℘].
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình của đường tròn [℘] trong các trường hợp sau :
a] [℘] có tâm I[-1 ; 2] và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0;
b] [℘] có đường kính là AB với A[ 1 ; 1], B[7 ; 5].
GIẢI
Vậy phương trình của [℘] là: = 4/5
b] Tâm I của [℘] là trung điểm của AB
Do đó : IA= .
Vậy phương trình của [℘] là :
Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A[1 ; 2], B[5 ; 2], C[ 1 ; – 3].
GIẢI
Xét đường tròn [℘] có dạng .
[℘] đi qụa A, B, c khi và chỉ khi
Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :
Vấn đề 3
Lập phương trình tiếp tuyến, của đường tròn
1. Phương pháp
Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn [℘].
- Tìm toạ độ tâm I[a ; b] của [℘].
- Phương trình tiếp tuyến với [℘] tại có dạng :
Loại 2. Lập phương trình tiếp tuyến Δ với [℘] khi chưa biết tiếp điểm :
Dùng điều kiện tiếp xúc để xác đinh Δ:
Δ tiếp xúc với đường tròn [℘] tâm I, bán kính R ⇔ d[I, A] = R.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn:
[℘]
tại điểm thuộc đường tròn [℘].
GIẢI
[℘] có tâm là điểm [1; -2]. Vậy phương trình tiếp tuyến với [℘] tại [4 ; 2] có dạng :
⇔ [4 – 1][x – 4] + [2 + 2][y – 2] = 0 ⇔ 3x + 4y – 20 = 0
Ví dụ 2. Lập phương trình tiếp tuyến, với đường tròn
[℘]:
Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A[3 ; – 2].
GIẢI
Phương trình của đường thẳng Δđi qua A[3; – 2] có dạng
y + 2 = k[x – 3] ⇔ kx – y – 2 – 3k = 0 $
Vậy cỏ hai tiếp tuyến vái [&] kẻ từ A là :
: 2x – y – 8 = 0 ;
: X + 2y + 1 = 0.
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến A với đường tròn
[℘]:
biết rằng Δ song song với đường thẳng d :3x – y + 2006 = 0.
GIẢI
[℘]có tâm 1[2 ; – 3] và bán kính R =
Phương trình của đường thẳng Δ song song với d có dạng :
Δ: 3x – y + c = 0.
Δ tiếp xúc với [℘] khi và chỉ khi
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
3.15. Trong mặt phẳng Oxy, hãy lập phương trình của đường tròn [ ℘] có tâm là điểm [2 ; 3] và thoả mãn điều kiện sau :
a] [℘] có bán kính là 5 ;
b] [℘] đi qua gốc toạ độ ;
c] [℘] tiếp xúc với trục Ox ;
d] [℘] tiếp xúc với trục Oy ;
e [℘] tiếp xúc với đường thẳng Δ: 4x + 3y – 12 = 0.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.16. Cho ba điểm A[ 1 ; 4], B[- 7 ; 4], C[2; -5].
a] Lập phương trình đường tròn [℘] ngoại tiếp tam giác ABC ;
b] Tìm tâm và bán kính của [℘].
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.17. Cho đường tròn [℘] đi qua hai điểm A[-1 ; 2], B[-2 ; 3] và có tâm ở trên đường thẳng Δ : 3x – y + 10 = 0.
a] Tìm toạ độ tâm của [℘];
b] Tính bán kính R của [℘];
c] Viết phương trình của [℘].
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.18. Cho ba đường thẳng
: 3x + 4ỵ – 1 = 0 ;
: 4x + 3y – 8 = 0 ;
d : 2x + y – 1 = 0.
a] Lập phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi và .
b] Xác định toạ độ tâm I của đường tròn [℘] biết rằng I nằm trên d và [℘] tiếp xúc với và
c] Viết phương trình của [℘].
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.19. Lập phương trình của đường tròn [℘] đi qua hai điểm A[1 ; 2], B[3 ; 4] và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x + y – 3 = 0.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.20. Lập phương trình của đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau :
a] A có toạ độ [-1; 1], B có toạ độ [5 ; 3];
b] A có toạ độ [-1; – 2], B có toạ độ [2 ; 1].
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.21. Lập phương trình của đường tròn [] tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua điểm M[4 ; 2].
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.22. Cho đường tròn [℘]: và đường thẳng d: 3x + 4y – 3 = 0.
a] Tìm toạ độ giao điểm của [℘] và
b] Lập phương trình tiếp tuyến với [℘] tại các giao điểm đó.
c] Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.23 Cho đường tròn [℘]: và điểm A[ 1 ; 3].
a] Chứng tỏ rằng điểm Anằm ngoài đường tròn [℘].
b] Lập phương trình tiếp tuyến với [℘] xuất phát từ điểm.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.24. Lập phương trình tiếp tuyến A của đường, tròn [℘] : biết rằng Δ vuông góc với đường thẳng d: x – y + 4 = 0.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.25. Cho đường tròn [℘]: và điểm M[2 ; -1].
a] Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến và với [℘]. Hãy viết phương trình của và .
b] Gọi và lần lượt là hai tiếp điểm của và với ], hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua và .
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.26. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [℘] có phương trình biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc toạ độ O.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.27. Cho hai đường tròn []:
và [] :.
a] Tìm tâm và bán kính của và []
b] Lập phương trình tiếp tuyến chung của [ và []
⇒ Xem đáp án tại đây.