- Câu 1
- Câu 2
- Câu 3
- Câu 4
- Câu 5
Câu 1
Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.
Lời giải chi tiết:
Để \[x\] là căn bậc hai số học của số \[a\] không âm thì \[x 0\] và \[x^2= a.\]
Ví dụ: số 2 là căn bậc hai số học của 4 vì \[2 > 0\] và \[2^2= 4.\]
Câu 2
Chứng minh \[\sqrt {a^2}= |a|\] với mọi số a.
Phương pháp giải:
Nếu \[x 0\] và \[x^2= a\] thì \[x\]là căn bậc hai số học của số \[a\] không âm.
Lời giải chi tiết:
Ta xét hai trường hợp:
+] Nếu \[a > 0 \Rightarrow \left| a \right| = a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = a\]
+] Nếu \[a < 0 \Rightarrow \left| a \right| = - a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = {\left[ { - a} \right]^2} = {a^2}\]
Hay ta luôn có \[{\left[ {\left| a \right|} \right]^2} = {a^2}\left[ 1 \right]\] mà \[\left| a \right| \ge 0\] với mọi \[a\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\left| a \right|\] là căn bậc hai số học của \[{a^2}\] hay \[\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|\]
Câu 3
Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để\[\sqrt A \] xác định?
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\sqrt A \] xác định khi \[A \ge 0\] hay nói cách khác : điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm.
Câu 4
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ.
Phương pháp giải:
Nếu\[x 0\] và \[x^2= a\] thì\[x\]là căn bậc hai số học của số \[a\] không âm.
Lời giải chi tiết:
Định lí: Nếu \[a \ge 0\] và \[b \ge 0\] thì \[\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b \]
Chứng minh: Vì \[a \ge 0,b \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0,\] do đó \[\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt {ab} \] đều xác định
Ta có: \[{\left[ {\sqrt a .\sqrt b } \right]^2} = {\left[ {\sqrt a } \right]^2}.{\left[ {\sqrt b } \right]^2} = a.b\]
Do \[\sqrt a \ge 0,\sqrt b \ge 0 \Rightarrow \sqrt a .\sqrt b \ge 0\]
Vậy \[\sqrt a .\sqrt b \] là căn bậc hai số học của tích \[ab\]
Hay \[\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \]
Ví dụ: \[\sqrt {49.36} = \sqrt {49} .\sqrt {36} \]\[ = 7.6 = 42\]
Câu 5
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.
Phương pháp giải:
Nếu\[x 0\] và \[x^2= a\] thì\[x\]là căn bậc hai số học của số \[a\] không âm.
Lời giải chi tiết:
Định lý: Nếu \[a \ge 0,b > 0\] thì \[\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\]
Chứng minh:
Do \[a \ge 0,b > 0\] nên \[\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\] xác định
Ta có: \[{\left[ {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right]^2} = \dfrac{{{{\left[ {\sqrt a } \right]}^2}}}{{{{\left[ {\sqrt b } \right]}^2}}} = \dfrac{a}{b}\left[ 1 \right]\]
Mặt khác \[\sqrt a \ge 0,\sqrt b > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} \ge 0\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\] là căn bậc hai số học của \[\dfrac{a}{b} \]
Hay \[\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\]
Ví dụ: \[\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} = \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{4}{9}\]; \[\dfrac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{32}}{2}} = \sqrt {16} = 4\]