Đề bài
Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC.
a] Chứng minh rằng: BC [AOI], [OAI] [ABC].
b] Tính góc giữa AB và mặt phẳng [AOI].
c] Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow OA \bot \left[ {OBC} \right] \Rightarrow OA \bot BC\]
Mà \[\Delta OBC\] vuông cân tại O nên \[OI \bot BC\]
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot OI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {OAI} \right]\].
Mà \[BC \subset \left[ {ABC} \right]\] nên \[\left[ {ABC} \right] \bot \left[ {OAI} \right]\].
b] Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BI \bot OI\\BI \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BI \bot \left[ {OAI} \right]\]
\[ \Rightarrow I\] là hình chiếu của B trên \[\left[ {OAI} \right]\].
Mà \[BA \cap \left[ {OAI} \right] = A\] nên \[AI\] là hình chiếu của \[AB\] trên \[\left[ {OAI} \right]\].
Do đó góc giữa AB và [OAI] bằng góc giữa AB và AI hay là góc \[\widehat {BAI}\].
Tam giác ABC có: \[AB = BC = AC\] do các tam giác vuông cân OAB,OAC,OBC bằng nhau.
Do đó ABC là tam giác đều nên \[\widehat A = {60^0}\]
I là trung điểm BC nên AI là phân giác góc A nên \[\widehat {BAI} = \dfrac{1}{2}\widehat A = {30^0}\].
c] Gọi J là trung điểm OC, khi đó IJ//OB
Do \[OB \bot \left[ {OAC} \right]\] nên \[IJ \bot \left[ {OAC} \right] \Rightarrow IJ \bot AJ\] hay tam giác \[AIJ\] vuông tại J.
Vậy góc giữa AI và OB bằng góc giữa AI và IJ hay góc \[\widehat {AIJ}\].
Có \[IJ = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{a}{2}\].
\[AJ = \sqrt {O{A^2} + O{J^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\].
Tam giác AIJ vuông tại J nên \[\tan \widehat {AIJ} = \dfrac{{AJ}}{{IJ}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}:\dfrac{a}{2} = \sqrt 5 \] \[ \Rightarrow \widehat {AIJ} = {65^0}54'\]