Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\], \[D\] là một điểm nằm giữa \[A\] và \[C\]. Chứng minh rằng : \[\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
[h.117]
\[\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\] [h.117], lại có \[\widehat A\] chung nên \[\Delta ABD \backsim \Delta ACB\left[ {g - g} \right],\] suy ra \[\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AC.AD\] [1]
\[A{B^2} = AC.AD \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\] [2], góc \[A\] chung nên \[\Delta ABD \backsim \Delta ACB\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ACB}\] [2]
Từ [1] và [2] ta có: \[\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD\]