Tóm tắt lý thuyết bài hai mặt phẳng song song
Bài tập 1: Trang 71 - SGK hình học 11 Show
Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý. a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’). b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài tập 2: Trang 71 - SGK hình học 11 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’. b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M. c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’). d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
Bài tập 3: Trang 71 - SGK hình học 11 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau. b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ∆A’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
Bài tập 4: Trang 71 - SGK hình học 11 Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của đoạn AA1. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B1, C1, D1 . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2. Chứng minh: a) B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. b) B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D. c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
1. Đinh nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 2. Tính chất: - Nếu mặt phẳng \((P)\) chứa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng \((Q)\) thì \((P) // (Q)\) 9h.2.50) ( Đây là tính chất quan trọng dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song). - Qua một điểm ở ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. - Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((Q)\) thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q)\). - Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. - Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau (h.2.51). - Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. 3. Định lí Ta-lét trong không gian Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Loigiaihay.com
Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. II. Điều kiện để hai mặt phẳng song songĐịnh lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q) III. Tính chấtTính chất 1: Qua một điểm ở ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (P) song song với (Q) Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau Tính chất 2 (Định lí giao tuyến 3) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. IV Định lí Ta-let trong không gianĐịnh lí 2 (Định lí Ta-let)Ba mặt phẳng song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ $$\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{CA}{C’A’}$$ Định lí 3 (Định lí Ta- let đảo)Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt lấy các điểm A,B,C và A’, B’, C’ sao cho $$\frac{AB}{BC} = \frac{A’B’}{B’C’}$$ Khi đó ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng Các dạng toán hai mặt phẳng song songDạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.PHƯƠNG PHÁP. 1) Chứng minh mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q). Chứng minh (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q) 2) Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)(cách 2). Chứng minh a chứa trong một mặt phẳng song song với (P) hoặc dùng định lí Ta-let đảo trong không gian. Dạng 2: Thiết diện song song với một mặt phẳng.PHƯƠNG PHÁP Sử dụng định lí “Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song” để tìm các đoạn giao tuyến. Hoặc là dùng định lí sau: \(\begin{cases}(P)//(Q)\\a\subset(P)\end{cases}\Rightarrow a//(Q)\) Đưa bài toán về bài toán thiết diện song song đường thẳng.
1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệtCho 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\) Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: a. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) không có đường thẳng chung, tức là: \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \emptyset \Leftrightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right).\) b. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chỉ có một đường thẳng chung, tức là: \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a \Leftrightarrow \left( P \right)\) cắt \(\left( Q \right)\,.\) c. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là: \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \left\{ {a,\,\,b} \right\} \Leftrightarrow \left( P \right) \equiv \left( Q \right).\) 1.2. Điều kiện để hai mặt phẳng song songĐịnh lí 1: Nếu mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(a,\,\,b\) cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\) song song \(\left( Q \right).\) Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b \in \left( P \right)\\a \cap b = \left\{ I \right\}\\a\parallel \left( P \right),\,\,b\parallel \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\left( P \right)\parallel \left( Q \right).\) 1.3. Tính chấtTính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Tức là: \(O \notin \left( P \right) \Rightarrow \,\,\exists !\,\,\left( Q \right):\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( Q \right)\\\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\end{array} \right.\,.\) Cách dựng: - Trong \(\left( P \right)\) dựng \(a,\,\,b\) cắt nhau.
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( Q \right).\) Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song thì mặt phẳng \(\left( R \right)\) đã cắt \(\left( P \right)\) thì phải cắt \(\left( Q \right)\) và các giao tuyến của chúng song song. Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\\a = \left( P \right) \cap \left( R \right)\\b = \left( Q \right) \cap \left( R \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel b.\) Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\parallel \left( R \right)\\a \cap \left( P \right) = {A_1};\,\,a \cap \left( Q \right) = {B_1};\,\,a \cap \left( R \right) = {C_1}\\b \cap \left( P \right) = {A_2};\,\,b \cap \left( Q \right) = {B_2};\,\,b \cap \left( P \right) = {C_2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \,\,\frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}{C_1}}} = \frac{{{A_2}{B_2}}}{{{B_2}{C_2}}}\,.\) 1.4. Hình lăng trụ và hình hộpĐịnh nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau. Trong đó:
Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau: a. Các cạnh bên song song và bằng nhau. b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành. c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương. Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 1.5. Hình chóp cụtĐịnh nghĩa: Cho hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}.\) Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh \(S{A_1},\,\,S{A_2},\,\,...,\,\,S{A_n}\) theo thứ tự tại \({A'_1},\,\,{A'_2},\,\,...,\,\,{A'_n}\,.\) Hình tạo bởi thiết diện \({A'_1}{A'_2}...{A'_n}\) và đáy \({A_1}{A_2}...{A_n}\) của hình chóp cùng với các mặt bên \({A_1}{A_2}{A'_2}{A'_1},\,\,{A_2}{A_3}{A'_3}{A'_2},\,\,...,\,\,{A_n}{A_1}{A'_1}A'{ _n}\) gọi là một hình chóp cụt. Trong đó: Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,… Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau: 1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. 2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. 3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm. Bài toán 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONGPhương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \alpha \right)\\a \cap b = I\\a\parallel \left( \beta \right)\\b\parallel \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( \gamma \right)\\\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\). Ví dụ 1:Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SD\). Chứng minh \(\left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\). Hướng dẫn:Ta có \(M,O\) lần lượt là trung điểm của \(SA,AC\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) ứng với cạnh \(SC\)do đó \(OM\parallel SC\). Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\). Tương tự, Ta có \(N,O\) lần lượt là trung điểm của \(SD,BD\) nên \(ON\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\) ứng với cạnh \(SB\)do đó \(OM//SB\). Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\). Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM \cap ON = O\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\). Bài toán 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA \(\left( \alpha \right)\) VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT \(\left( \alpha \right)\) SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG \(\left( \beta \right)\)CHO TRƯỚCPhương pháp:
Sử dụng \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\\\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\\\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = d\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = d'\parallel d,M \in d'\).
Ví dụ 2:Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(MN\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\). Thiết diện là hình gì? Hướng dẫn:Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) = MK\parallel SA,K \in SB\). Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SCD} \right) \cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel \left( {SAD} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {SCD} \right) \cap \left( \alpha \right) = NH\parallel SD,H \in SC\). Dễ thấy \(HK = \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Thiết diện là tứ giác \(MNHK\) Ba mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\left( {SBC} \right)\) và \(\left( \alpha \right)\) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là \(MN,HK,BC\), mà \(MN\parallel BC \Rightarrow MN\parallel HK\). Vậy thiết diện là một hình thang. Bài toán 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALESPhương pháp: Định lí Thales thừng được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định. Ví dụ 3:Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M,N\) là các điểm thay trên các cạnh \(AB,CD\) sao cho \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\). a) Chứng minh \(MN\) luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. b) Cho \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} > 0\) và \(P\) là một điểm trên cạnh \(AC\). Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNP} \right)?\) c) Tính theo \(k\) tỉ số diện tích tam giác \(MNP\) và diện tích thiết diện. Hướng dẫn:a) Do \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\) nên theo định lí Thales thì các đường thẳng \(MN,AC,BD\) cùng song song với một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(AC\) và song song với \(BD\)thì \(\left( \alpha \right)\) cố định và \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\)suy ra \(MN\) luôn song song với \(\left( \alpha \right)\) cố định. b) Xét trường hợp \(\frac{{AP}}{{PC}} = k\), lúc này \(MP\parallel BC\) nên \(BC\parallel \left( {MNP} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\BC\parallel \left( {MNP} \right)\\BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BCD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NQ\parallel BC,Q \in BD\). Thiết diện là tứ giác \(MPNQ.\)c) Xét trường hợp \(\frac{{AP}}{{PC}} \ne k\) Trong \(\left( {ABC} \right)\)gọi \(R = BC \cap MP\) Trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(Q = NR \cap BD\) thì thiết diện là tứ giác \(MPNQ\). Gọi \(K = MN \cap PQ\) Ta có \(\frac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{MPNQ}}}} = \frac{{PK}}{{PQ}}\). Do \(\frac{{AM}}{{NB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\) nên theo định lí Thales đảo thì \(AC,NM,BD\) lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng \(PQ\) cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại \(P,K,Q\) nên áp dụng định lí Thales ta được: \(\frac{{PK}}{{KQ}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} = k\)\( \Rightarrow \frac{{PK}}{{PQ}} = \frac{{PK}}{{PK + KQ}} = \frac{{\frac{{PK}}{{KQ}}}}{{\frac{{PK}}{{KQ}} + 1}} = \frac{k}{{k + 1}}\). 3. Luyện tập Bài 4 chương 2 hình học 11Nội dung bài giảng sẽ giới thiệu đến các em các vị trí tương đối của hai mặt phẳng và những dạng bài tập liên quan đến Hai mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học này. 3.1 Trắc nghiệm về Hai mặt phẳng song songĐể cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 2 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Hai mặt phẳng song songBên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 2 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao. Bài tập 2.31 trang 78 SBT Hình học 11 Bài tập 29 trang 67 SGK Hình học 11 NC Bài tập 30 trang 67 SGK Hình học 11 NC Bài tập 31 trang 68 SGK Hình học 11 NC Bài tập 32 trang 68 SGK Hình học 11 NC Bài tập 33 trang 68 SGK Hình học 11 NC Bài tập 34 trang 68 SGK Hình học 11 NC Bài tập 35 trang 68 SGK Hình học 11 NC Bài tập 36 trang 68 SGK Hình học 11 NC Bài tập 37 trang 68 SGK Hình học 11 NC Bài tập 38 trang 68 SGK Hình học 11 NC Bài tập 39 trang 68 SGK Hình học 11 NC 4. Hỏi đáp về bài 4 chương 2 hình học 11Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em. |