Dốc chức năng là một đại lượng vectơ, kết quả của nó được kết hợp với định nghĩa về đạo hàm riêng của hàm số. Hướng của gradient cho biết đường đi của hàm phát triển nhanh nhất từ điểm này đến điểm khác của trường vô hướng.
Hướng dẫn
1. Để giải bài toán về gradient của một hàm, người ta sử dụng các phương pháp tính vi phân, cụ thể là tìm đạo hàm riêng bậc nhất ba biến. Giả thiết rằng bản thân hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó có tính chất liên tục trong miền của hàm.
2. Một gradient là một vectơ có hướng cho biết hướng tăng nhanh nhất trong hàm F. Muốn vậy, hai điểm M0 và M1 được chọn trên đồ thị là hai điểm cuối của vectơ. Giá trị của gradient bằng tốc độ tăng của hàm từ điểm M0 đến điểm M1.
3. Hàm có thể phân biệt được tại tất cả các điểm của vectơ này, do đó, các hình chiếu của vectơ trên các trục tọa độ đều là đạo hàm riêng của nó. Sau đó, công thức gradient có dạng như sau: grad = [? F /? X] i + [? F /? Y] j + [? F /? Z] k, trong đó i, j, k là tọa độ vectơ đơn vị. Nói cách khác, gradient của một hàm là một vectơ có tọa độ là đạo hàm riêng grad F = [? F /? Х,? F /? Y,? F /? Z].
4. Ví dụ 1. Cho hàm số F = sin [x z?] / Y. Nó được yêu cầu để tìm gradient của nó tại điểm [? / 6, 1/4, 1].
5. Lời giải. Xác định đạo hàm riêng theo biến bất kỳ: F'_x \ u003d 1 / y cos [x z?] Z ?; F'_y \ u003d sin [x z?] [-1] 1 / [y?]; F '_z \ u003d 1 / y cos [x z?] 2 x z.
6. Thay vào tọa độ điểm nổi tiếng: F'_x = 4 cos [? / 6] = 2? 3; F'_y = sin [? / 6] [-1] 16 = -8; F'_z \ u003d 4 cos [? / 6] 2? / 6 \ u003d 2? /? 3.
7. Áp dụng công thức gradient hàm: grad F = 2? 3 i - 8 j + 2? /? 3 k.
8. Ví dụ 2. Tìm tọa độ của gradient của hàm F = y arсtg [z / x] tại điểm [1, 2, 1].
9. Lời giải. F'_x \ u003d 0 arctg [z / x] + y [arctg [z / x]] '_x \ u003d y 1 / [1 + [z / x]?] [-Z / x?] \ U003d -y z / [x? [1 + [z / x]?]] = -1; F'_y = 1 arctg [z / x] = arctg 1 =? / 4; F'_z = 0 arctg [z / x ] + y [arctg [z / x]] '_ z = y 1 / [1 + [z / x]?] 1 / x = y / [x [1 + [z / x]?]] = 1.grad = [- 1,? / 4, 1].
Gradient trường vô hướng là một đại lượng vectơ. Như vậy, để tìm được nó, cần phải xác định tất cả các thành phần của vectơ tương ứng, dựa trên kiến thức về phép chia của trường vô hướng.
Hướng dẫn
1. Đọc trong sách giáo khoa về toán cao hơn gradient của trường vô hướng là gì. Như bạn đã biết, đại lượng vectơ này có hướng được đặc trưng bởi tốc độ phân rã cực đại của hàm vô hướng. Ý thức như vậy về một đại lượng vectơ đã cho được chứng minh bằng một biểu thức để xác định các thành phần của nó.
2. Hãy nhớ rằng mọi vectơ đều được xác định bởi các giá trị của các thành phần của nó. Các thành phần vectơ thực chất là các phép chiếu của vectơ này lên một hoặc một trục tọa độ khác. Như vậy, nếu xét không gian ba chiều thì véctơ phải có ba thành phần.
3. Viết ra cách xác định các thành phần của vectơ là gradient của một trường nào đó. Tất cả các tọa độ của một vectơ như vậy đều bằng đạo hàm của thế vô hướng đối với biến có tọa độ đang được tính toán. Nghĩa là, nếu bạn cần tính toán thành phần “x” của vectơ gradient trường, thì bạn cần phân biệt hàm vô hướng với biến “x”. Lưu ý rằng đạo hàm phải là thương. Điều này có nghĩa là khi phân biệt, các biến còn lại không tham gia vào nó phải được coi là hằng số.
4. Viết biểu thức cho trường vô hướng. Như bạn đã biết, thuật ngữ này có nghĩa là mỗi biến chỉ là một hàm vô hướng của một số biến, cũng là các đại lượng vô hướng. Số lượng biến của một hàm vô hướng bị giới hạn bởi số chiều của không gian.
5. Phân biệt riêng hàm vô hướng đối với từng biến. Kết quả là, bạn sẽ có ba chức năng mới. Viết một hàm bất kỳ trong biểu thức cho vectơ gradient của trường vô hướng. Bất kỳ hàm nào thu được thực sự là một chỉ số cho một vectơ đơn vị của một tọa độ nhất định. Do đó, vectơ gradient cuối cùng sẽ giống như một đa thức với số mũ là đạo hàm của một hàm.
Khi xem xét các vấn đề liên quan đến việc biểu diễn một gradient, thông thường chúng ta sẽ coi mỗi vấn đề như một trường vô hướng. Do đó, chúng ta cần giới thiệu ký hiệu thích hợp.
Bạn sẽ cần
- - bùng nổ;
- - cái bút.
Hướng dẫn
1. Cho hàm được cho bởi ba đối số u = f [x, y, z]. Đạo hàm riêng của một hàm, ví dụ đối với x, được định nghĩa là đạo hàm đối với đối số này, thu được bằng cách sửa các đối số còn lại. Các đối số còn lại cũng tương tự. Ký hiệu đạo hàm riêng được viết là: df / dx \ u003d u’x ...
2. Tổng vi phân sẽ bằng du \ u003d [df / dx] dx + [df / dy] dy + [df / dz] dz. Đạo hàm từng phần có thể được hiểu là đạo hàm theo hướng của các trục tọa độ. Do đó, câu hỏi đặt ra về việc tìm đạo hàm đối với hướng của một vectơ s cho trước tại điểm M [x, y, z] [đừng quên rằng hướng s xác định một vectơ đơn vị-ort s ^ o]. Trong trường hợp này, vectơ vi phân của các đối số là [dx, dy, dz] = [dscos [alpha], dscos [beta], dscos [gamma]].
3. Xét dạng vi phân tổng du, có thể kết luận rằng đạo hàm theo phương s tại điểm M là: [du / ds] | M = [[df / dx] | M] cos [alpha] + [[df / dy] | M] cos [beta] + [[df / dz] | M] cos [gamma]. Nếu s = s [sx, sy, sz] thì cosin hướng [cos [alpha], cos [beta], cos [gamma]] được tính toán [xem Hình 1a].
4. Định nghĩa của đạo hàm có hướng, coi điểm M là một biến số, có thể được viết lại dưới dạng tích dấu chấm: [du / ds] = [[df / dx, df / dy, df / dz], [cos [alpha] , cos [beta], cos [gamma]]] = [grad u, s ^ o]. Biểu thức này sẽ là đối tượng cho một trường vô hướng. Nếu chúng ta coi một hàm dễ, thì gradf là một vectơ có tọa độ trùng với các đạo hàm riêng f [x, y, z] .gradf [x, y, z] = [[df / dx, df / dy, df / dz ] =] = [df / dx] i + [df / dy] j + [df / dz] k. Ở đây [i, j, k] là các vectơ đơn vị của các trục tọa độ trong một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật.
5. Nếu chúng ta sử dụng toán tử vectơ vi phân Hamilton Nabla, thì gradf có thể được viết dưới dạng phép nhân vectơ toán tử này với đại lượng f [xem Hình 1b]. Theo quan điểm của mối liên hệ của gradf với đạo hàm có hướng, đẳng thức [gradf, s ^ o] = 0 là chấp nhận được nếu các vectơ này trực giao. Do đó, gradf thường được định nghĩa là hướng của biến thái nhanh nhất của trường vô hướng. Và từ quan điểm của các phép toán vi phân [gradf là một trong số chúng], các thuộc tính của gradf lặp lại chính xác các tính chất của sự khác biệt của các hàm. Đặc biệt, nếu f = uv, thì gradf = [vgradu + ugradv].
Các video liên quan
Dốcđây là một công cụ trong các trình chỉnh sửa đồ họa lấp đầy hình bóng với sự chuyển đổi mượt mà từ màu này sang màu khác. Dốc có thể cung cấp hình bóng là kết quả của khối lượng, mô phỏng ánh sáng, phản xạ ánh sáng trên bề mặt của một vật thể hoặc kết quả của hoàng hôn trên nền của một bức ảnh. Công cụ này được sử dụng rộng rãi, do đó, để xử lý ảnh hoặc tạo hình minh họa, việc học cách sử dụng nó là rất quan trọng.
Bạn sẽ cần
- Máy tính, trình chỉnh sửa đồ họa Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net hoặc khác.
Hướng dẫn
1. Mở hình ảnh trong chương trình hoặc tạo một hình ảnh mới. Tạo hình bóng hoặc chọn vùng mong muốn trên hình ảnh.
2. Bật công cụ Gradient trên thanh công cụ của trình chỉnh sửa đồ họa. Đặt con trỏ chuột vào một điểm bên trong vùng hoặc hình bóng đã chọn, nơi màu đầu tiên của gradient sẽ bắt đầu. Nhấn và giữ nút chuột trái. Di chuyển con trỏ đến điểm mà gradient sẽ chuyển sang màu cuối cùng. Nhả chuột trái. Hình bóng đã chọn sẽ được tô bằng tô màu gradient.
3. Dốc y có thể thiết lập độ trong suốt, màu sắc và tỷ lệ của chúng tại một điểm tô nhất định. Để thực hiện việc này, hãy mở cửa sổ Chỉnh sửa Gradient. Để mở cửa sổ chỉnh sửa trong Photoshop, hãy nhấp vào ví dụ về gradient trong bảng Options.
4. Trong cửa sổ mở ra, các tùy chọn tô màu gradient có sẵn được hiển thị dưới dạng ví dụ. Để chỉnh sửa một trong các tùy chọn, hãy chọn tùy chọn đó bằng một cú nhấp chuột.
5. Ví dụ về gradient được hiển thị ở dưới cùng của cửa sổ dưới dạng một tỷ lệ rộng với các thanh trượt. Các thanh trượt chỉ ra các điểm mà tại đó gradient sẽ có các đối tượng được chỉ định và trong khoảng thời gian giữa các thanh trượt, màu sắc chuyển đổi đều từ điểm được chỉ định tại điểm đầu tiên sang màu của điểm thứ hai.
6. Các thanh trượt nằm ở trên cùng của tỷ lệ thiết lập độ trong suốt của gradient. Để thay đổi độ trong suốt, hãy nhấp vào thanh trượt mong muốn. Một trường sẽ xuất hiện bên dưới tỷ lệ, trong đó nhập mức độ minh bạch cần thiết tính bằng phần trăm.
7. Các thanh trượt ở dưới cùng của tỷ lệ đặt màu sắc của gradient. Bằng cách nhấp vào một trong số chúng, bạn sẽ có thể chọn màu mong muốn.
8. Dốc có thể có nhiều màu chuyển tiếp. Để đặt màu khác, hãy nhấp vào một khoảng trống ở cuối thang đo. Một thanh trượt khác sẽ xuất hiện trên đó. Đặt màu mong muốn cho nó. Thang đo sẽ hiển thị một ví dụ về gradient với một điểm nữa. Bạn có thể di chuyển các thanh trượt bằng cách giữ chúng với sự hỗ trợ của nút chuột trái để đạt được sự kết hợp mong muốn.
9. Dốc Có một số loại có thể tạo hình dạng cho bóng phẳng. Giả sử, để tạo cho một hình tròn có dạng quả bóng, người ta áp dụng một gradient xuyên tâm và để tạo cho hình nón, một gradient hình nón được áp dụng. Một gradient cụ thể có thể được sử dụng để tạo ảo giác bề mặt phồng lên và một gradient kim cương có thể được sử dụng để tạo ra các điểm nổi bật.
Các video liên quan
Các video liên quan
1 0 Gradient được hướng dọc theo pháp tuyến đến bề mặt bằng [hoặc đến đường mức nếu trường bằng phẳng].
2 0 Gradient được định hướng theo hướng chức năng trường tăng dần.
3 0 Môđun gradient bằng với đạo hàm lớn nhất theo hướng tại một điểm đã cho của trường:
Các thuộc tính này cung cấp một đặc tính bất biến của gradient. Họ nói rằng vectơ gradU chỉ ra hướng và độ lớn của sự thay đổi lớn nhất trong trường vô hướng tại một điểm nhất định.
Nhận xét 2.1. Nếu hàm U [x, y] là hàm hai biến thì vectơ
nằm trong mặt phẳng oxy.
Cho các hàm U = U [x, y, z] và V = V [x, y, z] phân biệt tại điểm М 0 [x, y, z]. Khi đó các giá trị bằng nhau sau đây được giữ nguyên:
a] grad [] =; b] grad [UV] = VgradU + UgradV;
c] grad [U V] = gradU gradV; d] d] grad =
e] gradU [= gradU, trong đó, U = U [] có đạo hàm đối với.
Ví dụ 2.1. Hàm số U = x 2 + y 2 + z 2 đã cho. Xác định hoành độ của hàm số tại điểm M [-2; 3; 4].
Quyết định. Theo công thức [2.2], ta có
Các bề mặt mức của trường vô hướng này là họ mặt cầu x 2 + y 2 + z 2, vectơ gradU = [- 4; 6; 8] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ví dụ 2.2. Tìm gradient của trường vô hướng U = x-2y + 3z.
Quyết định. Theo công thức [2.2], ta có
Các bề mặt mức của một trường vô hướng nhất định là các mặt phẳng
x-2y + 3z = C; vectơ gradU = [1; -2; 3] là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng thuộc họ này.
Ví dụ 2.3. Tìm độ dốc lớn nhất của mặt phẳng U = x y tại điểm M [2; 2; 4].
Quyết định. Chúng ta có:
Ví dụ 2.4. Tìm vectơ pháp tuyến đơn vị đối với mặt mức của trường vô hướng U = x 2 + y 2 + z 2.
Quyết định. Các mặt bậc của một Trường cầu vô hướng cho trước x 2 + y 2 + z 2 = C [C> 0].
Gradient được hướng dọc theo pháp tuyến đến bề mặt bằng, do đó
Xác định vectơ pháp tuyến đối với mặt bằng tại điểm M [x, y, z]. Đối với một vectơ pháp tuyến đơn vị, chúng ta thu được biểu thức
Ví dụ 2.5. Tìm gradient trường U =
Quyết định.Để cho được
Sau đó:
Vì thế,
Ví dụ 2.6. Tìm gradient khoảng cách, trong đó P [x, y, z] là điểm của trường đang nghiên cứu, P 0 [x 0, y 0, z 0] là một số điểm cố định.
Quyết định. Ta có - vectơ chỉ phương đơn vị.
Ví dụ 2.7. Tìm góc giữa các tung độ của các hàm tại điểm M 0 [1,1].
Quyết định. Chúng tôi tìm thấy các gradient của các hàm này tại điểm M 0 [1,1], chúng tôi có
Ví dụ 2.8. Tìm đạo hàm đối với phương, vectơ bán kính bằng
Quyết định. Tìm gradient của hàm này:
Thay thế [2.5] thành [2.4], chúng ta thu được
Ví dụ 2.9. Tìm tại điểm M 0 [1; 1; 1] có hướng thay đổi lớn nhất trong trường vô hướng U = xy + yz + xz và hoành độ của biến đổi lớn nhất tại thời điểm này.
Quyết định. Hướng của sự thay đổi lớn nhất trong trường được biểu thị bằng vectơ grad U [M]. Chúng tôi tìm thấy nó:
Và do đó, . Vectơ này xác định hướng tăng lớn nhất của trường này tại điểm M 0 [1; 1; 1]. Giá trị của thay đổi lớn nhất trong trường tại thời điểm này bằng
Ví dụ 3.1. Tìm các đường vectơ của trường vectơ
Quyết định. Chúng tôi có như vậy
Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với x, thứ hai với y, thứ ba với z và cộng nó với số hạng. Sử dụng thuộc tính tỷ lệ, chúng tôi nhận được
Do đó xdx + ydy + zdz = 0, có nghĩa là
x 2 + y 2 + z 2 = A 1, A 1 -const> 0. Bây giờ nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất [3.3] với c 1, thứ hai với c 2, thứ ba với c 3 và cộng nó với số hạng, ta được
Từ đó c 1 dx + c 2 dy + c 3 dz = 0
Và do đó, với 1 x + c 2 y + c 3 z = A 2. Một 2-const.
Phương trình bắt buộc của các đường vectơ
Các phương trình này chứng tỏ rằng các đường vectơ thu được là kết quả của giao điểm của các mặt cầu có tâm chung tại gốc tọa độ với các mặt phẳng vuông góc với vectơ
Ví dụ 3.2. Tìm đường trường vectơ
Quyết định. Phương trình vi phân của các đường vectơ
Một số khái niệm và thuật ngữ được sử dụng nghiêm ngặt trong giới hạn hẹp. Các định nghĩa khác được tìm thấy trong các lĩnh vực bị phản đối gay gắt. Vì vậy, ví dụ, khái niệm "gradient" được sử dụng bởi một nhà vật lý, một nhà toán học và một chuyên gia làm móng tay hoặc "Photoshop". Một khái niệm gradient là gì? Hãy tìm ra nó.
Từ điển nói gì?
Từ điển chuyên đề đặc biệt "gradient" diễn giải liên quan đến các chi tiết cụ thể của chúng là gì. Được dịch từ tiếng Latinh, từ này có nghĩa là - "cái phát triển." Và "Wikipedia" định nghĩa khái niệm này là "một vectơ chỉ hướng của độ lớn tăng dần." Trong các từ điển giải thích, chúng ta thấy nghĩa của từ này là "sự thay đổi bất kỳ giá trị nào theo một giá trị." Khái niệm này có thể mang cả ý nghĩa định lượng và định tính.
Nói tóm lại, nó là một sự chuyển đổi dần dần suôn sẻ của bất kỳ giá trị nào theo một giá trị, một sự thay đổi liên tục và liên tục về lượng hoặc hướng. Các vector được tính toán bởi các nhà toán học, nhà khí tượng học. Khái niệm này được sử dụng trong thiên văn học, y học, nghệ thuật, đồ họa máy tính. Theo thuật ngữ tương tự, các loại hoạt động hoàn toàn khác nhau được định nghĩa.
Các hàm toán học
Gradient của một hàm trong toán học là gì? Điều này cho biết hướng phát triển của một hàm trong trường vô hướng từ giá trị này sang giá trị khác. Độ lớn của gradient được tính bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm riêng. Để biết chiều tăng nhanh nhất của hàm số trên đồ thị, người ta chọn hai điểm. Chúng xác định điểm bắt đầu và điểm kết thúc của vectơ. Tốc độ tăng giá trị từ điểm này sang điểm khác là độ lớn của gradient. Các hàm toán học dựa trên các phép tính của chỉ số này được sử dụng trong đồ họa máy tính vectơ, đối tượng của chúng là hình ảnh đồ họa của các đối tượng toán học.
Gradient trong vật lý là gì?
Khái niệm gradient phổ biến trong nhiều ngành vật lý: gradient của quang học, nhiệt độ, vận tốc, áp suất, vv Trong ngành này, khái niệm này biểu thị sự tăng hoặc giảm một giá trị trên một đơn vị. Nó được tính bằng hiệu số giữa hai chỉ số. Chúng ta hãy xem xét một số đại lượng chi tiết hơn.
Gradient tiềm năng là gì? Khi làm việc với trường tĩnh điện, hai đặc tính được xác định: lực căng [công suất] và thế năng [năng lượng]. Các đại lượng khác nhau này có liên quan đến môi trường. Và mặc dù chúng xác định các đặc điểm khác nhau, chúng vẫn có mối liên hệ với nhau.
Để xác định cường độ của trường lực, gradient thế năng được sử dụng - một giá trị xác định tốc độ thay đổi của điện thế theo hướng của đường trường. Làm thế nào để tính toán? Hiệu điện thế của hai điểm thuộc điện trường được tính từ hiệu điện thế đã biết dùng vectơ cường độ, có độ lớn bằng gradien thế năng.
Thuật ngữ của các nhà khí tượng học và địa lý học
Lần đầu tiên, khái niệm gradient được các nhà khí tượng học sử dụng để xác định sự thay đổi về cường độ và hướng của các chỉ số khí tượng khác nhau: nhiệt độ, áp suất, tốc độ gió và sức mạnh. Nó là một thước đo về sự thay đổi định lượng của các đại lượng khác nhau. Maxwell đã đưa thuật ngữ này vào toán học muộn hơn nhiều. Trong định nghĩa về điều kiện thời tiết, có các khái niệm về độ dốc dọc và ngang. Hãy xem xét chúng chi tiết hơn.
Gradient nhiệt độ thẳng đứng là gì? Đây là giá trị thể hiện sự thay đổi về hiệu suất, được tính ở độ cao 100 m. Giá trị này có thể dương hoặc âm, ngược lại với phương ngang, luôn luôn dương.
Gradient thể hiện độ lớn hoặc góc của độ dốc trên mặt đất. Nó được tính bằng tỷ số giữa chiều cao với chiều dài của hình chiếu đường dẫn trên một mặt cắt nhất định. Được biểu thị dưới dạng phần trăm.
Các chỉ số y tế
Định nghĩa về "gradient nhiệt độ" cũng có thể được tìm thấy trong số các thuật ngữ y tế. Nó cho thấy sự khác biệt về các chỉ số tương ứng của các cơ quan nội tạng và bề mặt của cơ thể. Trong sinh học, gradient sinh lý sửa chữa một sự thay đổi trong sinh lý của bất kỳ cơ quan hoặc sinh vật nào nói chung ở bất kỳ giai đoạn phát triển nào của nó. Trong y học, một chỉ số trao đổi chất là cường độ của quá trình trao đổi chất.
Không chỉ các nhà vật lý, mà các bác sĩ cũng sử dụng thuật ngữ này trong công việc của họ. Gradient áp suất trong tim mạch là gì? Khái niệm này xác định sự khác biệt về huyết áp trong bất kỳ phần nào được kết nối với nhau của hệ thống tim mạch.
Độ tự động giảm dần là một chỉ số cho thấy sự giảm tần suất kích thích của tim theo hướng từ gốc đến đỉnh, xảy ra tự động. Ngoài ra, bác sĩ tim mạch xác định vị trí tổn thương động mạch và mức độ của nó bằng cách kiểm soát sự khác biệt về biên độ của sóng tâm thu. Nói cách khác, sử dụng gradient biên độ của xung.
Một gradient vận tốc là gì?
Khi người ta nói đến tốc độ thay đổi của một đại lượng nào đó, người ta có nghĩa là tốc độ thay đổi theo thời gian và không gian. Nói cách khác, gradient vận tốc xác định sự thay đổi của tọa độ không gian liên quan đến các chỉ số thời gian. Chỉ số này được tính toán bởi các nhà khí tượng học, nhà thiên văn học, nhà hóa học. Gradient tốc độ cắt của các lớp chất lỏng được xác định trong ngành công nghiệp dầu khí để tính tốc độ chất lỏng tăng lên qua đường ống. Một chỉ báo về các chuyển động kiến tạo như vậy là diện tích \ u200b \ u200b được các nhà địa chấn học tính toán.
Chức năng kinh tế
Để chứng minh các kết luận lý thuyết quan trọng, khái niệm gradient được các nhà kinh tế học sử dụng rộng rãi. Khi giải quyết các vấn đề của người tiêu dùng, một hàm tiện ích được sử dụng, giúp thể hiện các sở thích từ một tập hợp các lựa chọn thay thế. "Chức năng ràng buộc ngân sách" là một thuật ngữ được sử dụng để chỉ một tập hợp các gói người tiêu dùng. Các độ dốc trong khu vực này được sử dụng để tính toán mức tiêu thụ tối ưu.
gradient màu
Thuật ngữ "gradient" đã quen thuộc với những người làm trong lĩnh vực sáng tạo. Mặc dù chúng khác xa với các ngành khoa học chính xác. Gradient đối với một nhà thiết kế là gì? Vì trong các ngành khoa học chính xác, nó là sự tăng dần giá trị của một giá trị, vì vậy về màu sắc, chỉ số này biểu thị sự chuyển tiếp mượt mà, kéo dài của các sắc thái cùng màu từ nhạt sang đậm hơn hoặc ngược lại. Các nghệ sĩ gọi quá trình này là “kéo dài”. Cũng có thể chuyển sang các màu đi kèm khác nhau trong cùng một phạm vi.
Sự kéo dài gradient của các sắc thái trong màu sắc của các căn phòng đã chiếm một vị trí vững chắc trong các kỹ thuật thiết kế. Phong cách ombre mới - một dòng chảy mượt mà từ sáng đến tối, từ sáng đến nhạt - biến đổi hiệu quả bất kỳ căn phòng nào trong nhà và văn phòng.
Các bác sĩ nhãn khoa sử dụng thấu kính đặc biệt trong kính râm của họ. Gradient trong kính là gì? Đây là sản xuất thấu kính theo một cách đặc biệt, khi từ trên xuống dưới, màu sắc chuyển từ đậm hơn sang nhạt hơn. Các sản phẩm được làm bằng công nghệ này bảo vệ mắt khỏi bức xạ mặt trời và cho phép bạn xem các vật thể ngay cả trong ánh sáng rất sáng.
Màu sắc trong thiết kế web
Những ai tham gia vào lĩnh vực thiết kế web và đồ họa máy tính đều biết rõ về công cụ phổ quát "gradient", công cụ tạo ra nhiều loại hiệu ứng. Sự chuyển màu được chuyển thành điểm nhấn, nền lạ mắt, không gian ba chiều. Thao tác Hue, tạo ánh sáng và bóng đổ thêm khối lượng cho các đối tượng vector. Với mục đích này, một số loại gradient được sử dụng:
- Tuyến tính.
- Xuyên tâm.
- hình nón.
- Gương.
- Hình thoi.
- độ dốc nhiễu.
vẻ đẹp gradient
Đối với khách đến các thẩm mỹ viện, câu hỏi về gradient là gì sẽ không có gì ngạc nhiên. Đúng, trong trường hợp này, kiến thức về các định luật toán học và nền tảng của vật lý là không cần thiết. Đó là tất cả về chuyển đổi màu sắc. Tóc và móng tay trở thành đối tượng của gradient. Kỹ thuật ombre, có nghĩa là "giai điệu" trong tiếng Pháp, đã trở thành mốt thời trang từ những người yêu thích môn thể thao lướt sóng và các hoạt động bãi biển khác. Tóc cháy và mọc lại tự nhiên đã trở thành một hit. Phụ nữ thời trang bắt đầu đặc biệt nhuộm tóc của họ với sự chuyển đổi sắc thái hầu như không đáng chú ý.
Kỹ thuật ombre đã không vượt qua được các tiệm nail. Gradient trên móng tay tạo ra màu sắc với độ sáng dần của mảng từ gốc đến rìa. Các bậc thầy cung cấp theo chiều ngang, chiều dọc, với một quá trình chuyển đổi và các loại khác.
Gia công kim
Khái niệm "gradient" đã quen thuộc với những phụ nữ kim tiêm từ một phía khác. Một kỹ thuật thuộc loại này được sử dụng trong việc tạo ra các mặt hàng thủ công theo phong cách trang trí. Bằng cách này, đồ cổ mới được tạo ra, hoặc đồ cũ được phục hồi: tủ ngăn kéo, ghế, rương, v.v. Trang trí liên quan đến việc áp dụng một mẫu bằng cách sử dụng bút chì, dựa trên một gradient màu làm nền.
Các nghệ nhân vải đã áp dụng cách nhuộm theo cách này cho các mẫu mới. Những chiếc váy với gam màu chuyển sắc đã chinh phục các sàn diễn thời trang. Thời trang được săn đón bởi những người phụ nữ thêu kim - dệt kim. Quần áo dệt kim có sự chuyển màu trơn tru là một thành công.
Tổng hợp định nghĩa của "gradient", chúng ta có thể nói về một lĩnh vực hoạt động rất rộng lớn của con người, trong đó thuật ngữ này có một vị trí. Việc thay thế bằng từ đồng nghĩa "vectơ" không phải lúc nào cũng thích hợp, vì vectơ xét cho cùng là một khái niệm không gian, hàm. Cái quyết định tính khái quát của khái niệm là sự thay đổi dần dần của một lượng, chất, thông số vật lý trên một đơn vị trong một thời gian nhất định. Về màu sắc, đây là một sự chuyển đổi tông màu mượt mà.
Từ một khóa học toán ở trường, người ta biết rằng vectơ trên mặt phẳng là một đoạn thẳng có hướng. Đầu và cuối của nó có hai tọa độ. Tọa độ vectơ được tính bằng cách trừ tọa độ bắt đầu cho tọa độ kết thúc.
Khái niệm vectơ cũng có thể được mở rộng cho không gian n chiều [thay vì hai tọa độ sẽ có n tọa độ].
Dốc Hàm gradz z = f [x 1, x 2, ... x n] là vectơ đạo hàm riêng của hàm tại một điểm, tức là vectơ có tọa độ.
Có thể chứng minh rằng gradient của một hàm đặc trưng cho hướng phát triển nhanh nhất của cấp của hàm tại một điểm.
Ví dụ, đối với hàm z \ u003d 2x 1 + x 2 [xem Hình 5.8], gradient tại bất kỳ điểm nào sẽ có tọa độ [2; 1]. Nó có thể được xây dựng trên một mặt phẳng theo nhiều cách khác nhau, lấy bất kỳ điểm nào làm điểm đầu của vectơ. Ví dụ: bạn có thể kết nối điểm [0; 0] với điểm [2; 1] hoặc điểm [1; 0] với điểm [3; 1] hoặc điểm [0; 3] với điểm [2; 4], hoặc t .P. [xem hình 5.8]. Tất cả các vectơ được dựng theo cách này sẽ có tọa độ [2 - 0; 1 - 0] = = [3 - 1; 1 - 0] = [2 - 0; 4 - 3] = [2; 1].
Hình 5.8 cho thấy rõ ràng rằng mức của hàm phát triển theo hướng của gradient, vì các đường mức được xây dựng tương ứng với các giá trị mức 4> 3> 2.
Hình 5.8 - Gradient của hàm z \ u003d 2x 1 + x 2
Hãy xem xét một ví dụ khác - hàm z = 1 / [x 1 x 2]. Gradient của hàm này sẽ không còn luôn giống nhau tại các điểm khác nhau, vì tọa độ của nó được xác định bởi các công thức [-1 / [x 1 2 x 2]; -1 / [x 1 x 2 2]].
Hình 5.9 cho thấy các đường mức của hàm z = 1 / [x 1 x 2] cho mức 2 và 10 [dòng 1 / [x 1 x 2] = 2 được biểu thị bằng một đường chấm và dòng 1 / [ x 1 x 2] = 10 là nét liền].
Hình 5.9 - Các điểm của hàm z \ u003d 1 / [x 1 x 2] tại các điểm khác nhau
Lấy ví dụ, điểm [0,5; 1] và tính toán gradient tại điểm này: [-1 / [0,5 2 * 1]; -1 / [0,5 * 1 2]] \ u003d [-4; - 2] . Lưu ý rằng điểm [0,5; 1] nằm trên dòng mức 1 / [x 1 x 2] \ u003d 2, vì z \ u003d f [0,5; 1] \ u003d 1 / [0,5 * 1] \ u003d 2. Tới vẽ vectơ [-4; -2] trong hình 5.9, nối điểm [0,5; 1] với điểm [-3,5; -1], vì [-3,5 - 0,5; -1 - 1] = [-4; -2].
Hãy lấy một điểm khác trên cùng một dòng, ví dụ, điểm [1; 0,5] [z = f [1; 0,5] = 1 / [0,5 * 1] = 2]. Tính gradient tại điểm này [-1 / [1 2 * 0,5]; -1 / [1 * 0,5 2]] = [-2; -4]. Để mô tả nó trong Hình 5.9, chúng ta nối điểm [1; 0,5] với điểm [-1; -3,5], vì [-1 - 1; -3,5 - 0,5] = [-2; - 4].
Hãy lấy một điểm nữa trên cùng một đường mức, nhưng bây giờ chỉ ở một phần tư tọa độ không dương. Ví dụ, điểm [-0,5; -1] [z = f [-0,5; -1] = 1 / [[- 1] * [- 0,5]] = 2]. Gradient tại điểm này sẽ là [-1 / [[- 0,5] 2 * [- 1]]; -1 / [[- 0,5] * [- 1] 2]] = [4; 2]. Hãy mô tả nó trong Hình 5.9 bằng cách nối điểm [-0,5; -1] với điểm [3,5; 1], vì [3,5 - [-0,5]; 1 - [-1]] = [4; 2].
Cần lưu ý rằng trong cả ba trường hợp đã xét, gradient thể hiện hướng tăng trưởng cấp của hàm [về phía đường cấp 1 / [x 1 x 2] = 10> 2].
Có thể chứng minh rằng gradien luôn vuông góc với đường mức [mặt bằng] đi qua điểm đã cho.
Cực trị của một hàm nhiều biến
Hãy xác định khái niệm cực đoan cho một hàm nhiều biến.
Hàm nhiều biến f [X] có tại điểm X [0] tối đa [tối thiểu], nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm này mà đối với tất cả các điểm X từ vùng lân cận này, các bất đẳng thức f [X] f [X [0]] [] giữ nguyên.
Nếu các bất đẳng thức này được thỏa mãn là nghiêm ngặt, thì cực trị được gọi là mạnh, và nếu không, thì Yếu.
Lưu ý rằng điểm cực trị được xác định theo cách này là địa phương vì những bất bình đẳng này chỉ áp dụng cho một số vùng lân cận của điểm cực trị.
Điều kiện cần thiết để đạt cực trị cục bộ của hàm phân biệt z = f [x 1,..., X n] tại một điểm là bằng 0 của tất cả các đạo hàm riêng cấp một tại thời điểm này:
Các điểm mà tại đó các điểm bằng nhau này được gọi là đứng im.
Theo một cách khác, điều kiện cần thiết cho một điểm cực trị có thể được xây dựng như sau: tại điểm cực trị, gradient bằng không. Cũng có thể chứng minh một phát biểu tổng quát hơn - tại điểm cực trị, các đạo hàm của hàm theo mọi hướng sẽ biến mất.
Các điểm cố định cần được nghiên cứu bổ sung - liệu các điều kiện đủ để tồn tại một điểm cực trị cục bộ có được thỏa mãn hay không. Để làm điều này, hãy xác định dấu của vi phân bậc hai. Nếu với bất kỳ nào không đồng thời bằng 0, luôn âm [dương] thì hàm số có cực đại [cực tiểu]. Nếu nó có thể biến mất không chỉ với gia số bằng 0, thì câu hỏi về điểm cực trị vẫn còn bỏ ngỏ. Nếu nó có thể nhận cả giá trị âm và dương thì tại điểm đứng yên không có cực trị.
Trong trường hợp tổng quát, việc xác định dấu của vi phân là một vấn đề
khá phức tạp, mà chúng ta sẽ không xem xét ở đây. Đối với một hàm hai biến, người ta có thể chứng minh rằng nếu tại một điểm đứng yên
ví dụ 1. Tìm cực trị của một hàm
Hãy tìm đạo hàm riêng theo phương pháp logarit phân biệt.
ln z = ln 2 + ln [x + y] + ln [1 + xy] - ln [1 + x 2] - ln [1 + y 2]
Tương tự
Hãy tìm các điểm đứng yên từ hệ phương trình:
Do đó, bốn điểm đứng yên [1; 1], [1; -1], [-1; 1] và [-1; -1] được tìm thấy.
Hãy tìm đạo hàm riêng của bậc hai:
ln [z x `] = ln 2 + ln [1 - x 2] -2ln [1 + x 2]
Tương tự
Như
Đối với điểm [1; 1] chúng ta nhận được 1 * [1 2 - 3] = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных
чисел
Đối với điểm [1; -1] chúng ta nhận được 1 * [1 2 - 3] = -2< 0 и [-1]*[[-1] 2 – 3] = 2 >0. Vì sản phẩm của những con số này
Với điểm [-1; -1] ta được [-1] * [[- 1] 2 - 3] = 2> 0. tích của hai số dương
Để tìm toàn cầu giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất [giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm] hơi phức tạp hơn so với cực trị cục bộ, vì những giá trị này có thể đạt được không chỉ tại các điểm đứng yên mà còn ở ranh giới của miền xác định. Không phải lúc nào cũng dễ dàng nghiên cứu hành vi của một hàm trên ranh giới của vùng này.