Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến có giá trị tuyệt đối

A. 2

B. 0

C. 4

D. 1

Lời giải:

Chọn D

Xét hàm số

f(x) = x5 – 5x2 + 5(m – 1)x – 8

TH1: f(x) = 0 có nghiệm x0 ∊ (-∞;1) thì hàm số y = |f(x)| không thể nghịch biến trên khoảng (-∞;1).

TH2: f(x) = 0 không có nghiệm x0 ∊ (-∞;1)

Ta có: f’(x) = 5x4 – 10x + 5(m – 1)

Khi đó y = |x5 – 5x2 + 5(m – 1)x – 8| = |f(x)| =

Nên

Hàm số nghịch biến trên (-∞;1) khi và chỉ khi y’ ≤ 0 với ∀ x ∊ (-∞;1)

Mà m ∊ ℤ nên m = 3

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |2x3 – mx + 1| đồng biến trên khoảng (1; +∞)?

A. 2

B. 6

C. 3

D. 4

Lời giải:

Chọn C

Xét hàm số

f(x) = 2x3 – mx + 1

TH1: f(x) = 0 có nghiệm x0 ∊ (1;+∞) thì hàm số y = |f(x)| không thể nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

TH2: f(x) = 0 không có nghiệm x0 ∊ (1;+∞)

Ta có: f’(x) = 6x2 – m

Khi đó y = |2x3 – mx + 1| = |f(x)| =

Nên

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞) khi và chỉ khi y’ ≥ 0 với ∀ x ∊ (1;+∞)

⇒ m ∊ {1; 2; 3}

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  nhỏ hơn 10 để hàm số y = |3x4 – 4x3 – 12x2 + m| nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)?

A. 6

B. 4

C. 3

D. 5

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + m ⇒ f’(x) = 12x3 – 12x2 – 24x = 12x (x2 – x – 2)

⇒ f’(x) = 0

BBT:

Nhận thấy: Hàm số y = |f(x)| nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ⇔ m – 5 > 0 ⇔ m ≥ 5.

Lại do  ⇒ m ∊ {5; 6; 7; 8; 9}

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Loại 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số dạng phân thức hữu tỉ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Ví dụ 1. Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [-10; 10] để hàm số  đồng biến trên (1; +∞).

A. S = 55

B. S = 54

C. S = 3

D. S = 5

Lời giải

Chọn B.

Xét hàm số với x ≠ -m – 2, có

Hàm số đồng biến (1; +∞) khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:

TH1:

TH2:

Vậy m ∊ (1; +∞), lại do  suy ra m ∊ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

Vậy S = 54

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên (1;+∞)

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B

Đặt . ĐK: x ≠ -m

Khi đó

Để hàm số đồng biến trên (1;+∞) ⇔

Ta có

Vậy ⅓ < m ≤ 1

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên [3; +∞)?

A. 4

B. 5

C. Vô số

D. 6

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: D = ℝ \{1}

Xét hàm số

Có

Khi đó

Hàm số đồng biến trên [3; +∞) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [3; +∞)

Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-2; -1; 0; 1}

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Loại 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số chứa căn đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Ví dụ 1. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến trên (0;1).

A. 4

B. 2

C. 3

D. 5

Lời giải

Chọn A

Đặt

Ta có

Do hàm số liên tục tại x = 0; x = 1 nên để hàm số nghịch biến trên (0;1) ta xét 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Do m nguyên nên m nhận các giá trị sau -3; -2; -1; 0

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ (-5; 5) để hàm số nghịch biến trên (2; 3)?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 9

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số

Ta có

Cho f’(x) = 0

Ta thấy f’(x) < 0, ∀ x ∊ (2; 3) nên hàm số f(x) nghịch biến trên (2; 3)

Để  nghịch biến trên (2; 3) thì

f(3) ≥ 0

Do m ∊ (-5; 5) nên m = {-2; -3; -4}

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ [0; 10] để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)?

A. 11

B. 10

C. 12

D. 9

Lời giải

Chọn A

Tập xác định D = ℝ

Xét hàm số

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)

TH1:

f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (1;+∞)

Đặt t = x – 1, t > 0

Xét

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta có

TH2:

f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (1;+∞)

Đặt t = x – 1, t > 0

Mà nên với mỗi giá trị của m  luôn có giá trị của t dương đủ nhỏ để VT của (*) lớn hơn 0.

Suy ra không có giá trị nào của m để TH2 thỏa mãn.

Vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn là {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

Loại 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số lượng giác đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = |f(x)| = |x3 – 3x2 +3(m2 + 5) x + (12 – 3m2) cosx| đồng biến trên (0; π)

A. 3

B. 5

C. 4

D. Vô số

Lời giải

Chọn B

Đặt h(x) = x3 – 3x2 + 3(m2 + 5) x + (12 – 3m2) cosx.

Ta có h’(x) = 3x2 – 6x + 3(m2 + 5) – (12 – 3m2) sinx.

⇔ h’(x) = 3(x – 1)2 + 12(1 – sinx) + 3m2(1 + sinx) ≥ 0, ∀ x ∊ (0; π)

Vậy hàm số h(x) luôn đồng biến trên (0; π).

Để y = f(x) đồng biến trên (0; π). Thì h(0) ≥ 0 ⇔ (12 – 3m2) ≥ 0 ⇔ m ∊ [-2; 2]

Kết luận: có 5 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Ví dụ 2. Các giá trị của tham số m để hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến  trên khoảng  là.

A.

B.

C. m > 1

D. m ≥ 1

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số f(x) = sinx – cosx + m =

Khi đó y = |sinx – cosx + m| = |f(x)| = . Nên

Hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊

Với

Nên (1) ⇔ f(x) > 0, ∀ x ∊

Ví dụ 3. Cho hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1|. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên . Tính số phần tử của S .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn A

Trên khoảng , hàm số y = sinx đồng biến

Đặt t = sin x, x ∊ ⇒ t ∊ (0;1)

Khi đó hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1| đồng biến trên khoảng  khi và chỉ khi

y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1)

Xét hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 trên khoảng (0;1) có f’(t) = 3t2 – m.

+) Khi m = 0

f’(t) = 3t2 > 0, ∀ t ⇒ y = f(t) = t3 + 1 đồng biến trên (0;1) và đồng thời y = f(t) = t3 + 1 cắt trục hoành tại điểm duy nhất t = -1

⇒ y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1) ⇒ m = 0 thỏa mãn

+) Khi m > 0

f’(t) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 đồng biến trên các khoảng và

TH1: ⇔ 0 < m < 3

Hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng

⇒ Không có giá trị của m để y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1)

TH2:  ⇔ m ≥ 3

Để y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1) thì t3 – mt + 1 ≤ 0, ∀ x ∊ (0;1)

⇔ mt ≤ t3 + 1, ∀ x ∊ (0;1)

⇒ Không có giá trị của m thỏa mãn

Vậy chỉ có giá trị m = 0 thỏa mãn

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5;5] để hàm số y = |cos3x – 3m2cosx| nghịch biến trên .

A. 1

B. 11

C. 5

D. 6

Lời giải

Chọn B

Đặt t = cos x, vì x ∊ ⇒ t ∊ (0;1)

Vì t =cos x  là hàm số nghịch biến trên  nên yêu cầu bài toán trở thành tìm m nguyên thuộc [-5;5] để hàm số y = |t3 – 3m2t| đồng biến trên (0;1).

Xét f(t) = t3 – 3m2t, t ∊ (0;1) ⇒ f’(t) = 3t2 – 3m2

TH1: Nếu m = 0 ⇒ f’(t) > 0, ∀ t ∊ (0;1) ⇒ f(t) luôn đồng biến trên (0;1)

Mà f (0) = 0 ⇒ y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; +∞)

⇒ y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0;1)

Do đó m = 0 thỏa mãn bài toán (1)

TH2: m ≠ 0 ⇒ f’(t) = 0

*) Với m > 0 , ta có BBT sau:

Từ BBT suy ra hàm số y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; m)

YCBT tương đương (0;1) ⊂ (0; m) ⇔ m ≥ 1 (2)

*) Với m < 0 , ta có BBT sau:

Từ BBT suy ra hàm số y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; -m)

YCBT tương đương (0;1) ⊂ (0; -m) ⇔ m ≤ -1 (3)

Từ (1), (2) và (3) vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Loại 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số mũ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để y = |9x + 3x – m + 1| đồng biến trên đoạn [0;1]

A. 1

B. 4

C. 3

D. 6

Lời giải

Chọn C

Đặt 3x = t ⇒ t ∊ [1;3] vì t ∊ [0;1]

⇒ t = |t2 + t – m + 1| =

Để hàm số đồng biến trên đoạn t ∊ [1;3] thì

Với mọi giá trị của t ∊ [1;3] thì 2t + 1 > 0 nên

Để y’ ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3] thì t2 + t – m + 1 ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3]

⇒ m – 1 ≤ t2 + t = g(t) , ∀ t ∊ [1;3]

Vậy có 3 giá trị nguyên {1; 2; 3} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2020 để  hàm số y = |4x + m.2x+1 + m + 2| đồng biến trên khoảng (0;1)?

A. 2018

B. 2019

C. 2

D. 3

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số f(x) = 4x + m.2x+1 + m + 2 (1) trên khoảng (0;1)

Đặt t = 2x ⇒ t ∊ (1;2)

Hàm số (1) trở thành h(t) = t2 – 2mt + m + 2 trên khoảng (1;2).

Suy ra h’(t) = 2t – 2m

Ta có y = |f(x)| đồng biến trên khoảng (0;1)

Vì hàm số t = 2x đồng biến trên khoảng (0;1)

Do đó,

Vậy có 2018 số nguyên dương nhỏ hơn 2020 thỏa ycbt.

Ví dụ 3. Cho hàm số  (1). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;4)?

A. 234

B. Vô số

C. 40

D. Không tồn tại m

Lời giải

Chọn C

Đặt

Ta có ⇒ t ∊ (e2; e3), đồng thời x và t sẽ ngược chiều biến thiên.

Khi đó hàm số trở thành y = |t2 + 3t – 2m + 5| =  (2)

Ta có:

Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (2;3) ⇔ hàm số (2) đồng biến trên khoảng (e2; e3)

∀ x ∊ (e2; e3)

⇔ t2 + 3t – 2m + 5 > 0 ∀ x ∊ (e2; e3)

∀ x ∊ (e2; e3)

Có ∀ x ∊ (e2; e3)

Với điều kiện m là số nguyên dương ta tìm được 40 giá trị của m.

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m ∊ (-2019; 2020), để hàm số y = |e-x2 + ex2 – m| nghịch biến trên (1;e)?

A. 401

B. 0

C. 2019

D. 2016

Lời giải

Chọn A

Đặt f(x) = e-x2 + ex2 – m ⇒ f’(x) = -2xe-x2 + 2ex2

Ta có y = |f (x)| =

Yêu cầu bài toán ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e) (*)

Vì x ∊ (1;e) nên -2xe-x2 + 2ex2 = , ∀ x ∊ (1;e)

Khi đó, (*) ⇔ f(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e)

⇔ e-x2 + ex2 – m ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e)

⇔ e-x2 + ex2 ≤ m, ∀ x ∊ (1;e)

Ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = e-x2 + ex2 ∀ x ∊ (1;e) là e-x2 + ex2

Nên m ≥ e-x2 + ex2 ≈ 1618,18

Vậy có 401 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.

Loại 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số logarit đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-100; 100) của tham số m để hàm số y = |ln3x – 4x2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]?

A. 101

B. 102

C. 103

D. 100

Lời giải

Chọn B

y = |ln3x – 4x2 + m|. Điều kiện x > 0

Xét hàm số g(x) = ln3x – 4x2 + m trên [1;e2]

⇒ g(x) nghịch biến trên [1;e2]

⇒ Hàm số y = |g(x)| = |ln3x – 4x2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]

⇔ ln3 – 4 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 4 – ln3

Mà m nguyên thuộc khoảng (-100; 100) nên m ∊ {-99; -98;…; -1; 0; 1; 2}

Vậy có 102 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu số nguyên m < 2020 để hàm số y = |ln(mx) – x + 2| nghịch biến trên (1;4)?

A. 2018

B. 2019

C. 1

D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

Xét f(x) = ln(mx) – x + 2.

Dễ thấy ∀ x ∊ (1;4): mx > 0 ⇔ m > 0

Khi đó

Do đó f(x) luôn nghịch biến trên (1;4)

Yêu cầu bài tóan tương đương với f(4) ≥ 0 ⇔ ln(4m) – 2 ≥ 0

Vậy m ∊ [2; 2019] có 2018 số nguyên thỏa mãn.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc (-2020; 2020) để hàm số y = |ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1| luôn đồng biến trên (0;10)?

A. 4038

B. 2020

C. 2017

D. 2018

Lời giải

Chọn C

Ta xét hàm số f(x) = ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1 trên (0;10)

Điều kiện hàm số có nghĩa là x2 + 2x – m > 0, ∀ x ∊ (0;10)

⇔ x2 + 2x > m, ∀ x ∊ (0;10) (1)

Ta lại có x2 + 2x = x.(x + 2) > 0 với ∀ x ∊ (0;10) nên điều kiện (1) cho ta m ≤ 0 (2)

Đạo hàm do m ≤ 0 và x ∊ (0;10) nên

Suy ra f’(x) > 0 hàm số đồng biến trên (0;10).

Từ đó để hàm số y = |ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1| = |f(x)| đồng biến trên (0;10) điều kiện đủ là f(x) ≥ 0 với ∀ x ∊ (0;10) (3)

+) TH1: Xét m = 0

Khi đó f(x) = ln(x2 + 2x) – 1 có không thỏa mãn (3)

+) TH2: Xét m < 0

Do hàm số f(x) đồng biến nên ta chỉ cần f(0) ≥ 0 ⇔ ln(-m) – 1 ≥ 0 ⇔ -m ≥ e ⇔ m ≤ -e

Từ đó ta được:

⇔ m ∊ {-2019; -2018; -2017;…; -3} có 2017 giá trị m thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 4. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m trong đoạn [-3;3] để hàm số y = |ln(x3 + mx + 2)|  đồng biến trên nửa khoảng [1;3)?

A. 7

B. 4

C. 6

D. 5

Lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định: x3 + mx + 2 > 0

Xét hàm số f(x) = ln(x3 + mx + 2)

Ta có:

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng [1;3)

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Từ hai trường hợp trên suy ra m ≥ -2

Mà m ∊ [-3;3] ⇒ m ∊ {-2; -1; 0; 1; 2; 3}

Vậy có 6 số nguyên m thỏa mãn YCBT.