Tìm các giá trị của a và B để (P) và (d cùng đi qua điểm A(2 1))

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SÔ VÀ ĐỒ THỊ HS1y = − x22 và y = x − 4 có đồ thị lần lượt là [ P ] và [ d ]Câu 1: Cho hai hàm số1] Vẽ hai đồ thị [ P ] và [ d ] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.2 ] Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị [ P ] và [ d ].HD1y = − x22 và y = x − 4 có đồ thị lầnCho hai hàm sốlượt là [ P ] và [ d ]1] Vẽ hai đồ thị [ P ] và [ d ] trên cùng một mặtphẳng tọa độ.2 ] Tọa độ giao điểm của hai đồ thị [ P ] và [ d ] là:M[ 2; –2 ] và N[–4 ; –8 ]Câu 2: Trong mp[Oxy]1 2xa] Vẽ đồ thị [P] của hàm số y = 43x+mb] Cho đường thẳng [D]: y = 2đi qua điểm C[6; 7]. Tìm tọa độ giao điểm của[D] và [P].Lập bảng giá trị:xy=1 2x4–4–202441014[P] là parabol đi qua các điểm: [–4;4], [–2;1], [0; 0], [2; 1], [4; 4].a]b]Vì [D] đi qua điểm C[6; 7] nên ta có:3×6 + m = 7 ⇔ m = −223⇒ [D] : y = x − 22Xét phương trình hoành độ giao điểm của [P] và [D]:1 2 3x = x − 2 ⇔ x 2 − 6x + 8 = 042Giải được x1 = 4; x2 = 2Với x1 = 4 thì y1 = 4Với x2 = 2 thì y2 = 1Vậy tọa độ giao điểm của [D] và [P] là [4; 4] và [2; 1].Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol [P] có phương trìnhA, B thuộc [P] có hoành độ lần lượt là x A = −1; xB = 2 .y=1 2x2 và hai điểma] Tìm tọa độ của hai điểm A, B.b] Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua hai điểm A, B.c] Tính khoảng cách từ O [gốc tọa độ] đến đường thẳng [d].Vì A, B thuộc [P] nên:11x A = −1 ⇒ y A = ×[−1] 2 =22a]11A  −1; ÷ , B[2; 2]x B = 2 ⇒ y B = ×2 2 = 222Vậy .Gọi phương trình đường thẳng [d] là y = ax + b.Ta có hệ phương trình:131b] −a + b =3a =a =⇔2⇔221y = x +12a+b=22a+b=2b=12Vậy [d]:.[d] cắt trục Oy tại điểm C[0; 1] và cắt trục Ox tại điểm D[– 2; 0]⇒ OC = 1 và OD = 2Gọi h là khoảng cách từ O tới [d].Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆ vuông OCD, ta có:c]1111 1 52 5=+= 2 + 2 = ⇒h=222hOC OD 1 2452 5Vậy khoảng cách từ gốc O tới [d] là 5 .Câu 4Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng [d]: y = 2 x − n + 3 và parabol2[P]: y = x .1. Tìm n để đường thẳng [d] đi qua điểm A[2;0].2. Tìm n để đường thẳng [d] cắt Parabol [P] tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần2lượt là x1 , x2 thỏa mãn: x1 − 2 x2 + x1 x2 = 16 .HD: 1. Đường thẳng [d] đi qua A [ 2;0 ] ⇔ 2.2 − n + 3 = 0 ⇔ n = 7 .2. Hoành độ giao điểm của [d] và [P] là nghiệm của phương trình:x2 = 2x − n + 3 ⇔ x2 − 2x + n − 3 = 0'∆Ta có = 1 − [ n − 3] = 4 − n .'Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 4 − n > 0 ⇔ n < 4 [*]Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:[1] x1 + x2 = 2[2] x1.x2 = n − 3x12 − 2 x2 + x1 x2 = 16[3]Cách 1: Thay x2 = 2 − x1 ở [1] vào [3] ta có:x12 − 2 [ 2 − x1 ] + x1 [ 2 − x1 ] = 16 ⇔ x12 − 4 + 2 x1 + 2 x1 − x12 = 16⇔ 4 x1 = 20 ⇔ x1 = 5. ⇒ x2 = 2 − 5 = −3Thay x1 = 5; x2 = −3 vào [2] ta có: 5.[−3] = n − 3 ⇔ n = −12x1 + x2Cách 2: Thay 2 ở [3] bằngTa có:x12 − [ x1 + x2 ] x2 + x1 x2 = 16 ⇔ x12 − x1 x2 − x2 2 + x1x2 = 16⇔ x12 − x2 2 = 16 ⇔ [ x1 − x2 ] [ x1 + x2 ] = 16 x1 − x2 = 8 x1 = 5⇔ [ x1 − x2 ].2 = 16 ⇔ x1 − x2 = 8 ⇒ ⇔ x1 + x2 = 2  x2 = −3Thay x1 = 5; x2 = −3 vào [2] ta có: 5.[−3] = n − 3 ⇔ n = −12 [thỏa mãn điều kiện [*]Vậy n = −12 .Câu 5: Cho hai hàm số y = x2 và y = mx + 4 ,với m là tham sốa] Khi m = 3 ,tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số trên.b] Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhautại hai điểm phân biệt A1[x1 ;y1] và A2[x2 ;y2]Tìm tất cả các giá trị của m sao cho [y1]2+ [y2]2 = 722Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol [P]: y = x và đường thẳng [d]:y = 2x + 2m + 8 [với m là tham số].a] Khi m = – 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng [d] và Parabol [P] .b] Chứng minh rằng đường thẳng [d] và Parabol [P] luôn cắt nhau tại hai điểmphân biệt có hoành độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2.Xét phương trình hoành độ giao điểm của [P] và [d]:x 2 = 2mx + 2m + 8 ⇔ x 2 − 2mx − 2m − 8 = 0 [*]Khi m = – 4, phương trình [*] trở thành:x = 0x 2 + 8x = 0 ⇔  x = −8a]Với x = 0 thì y = 0; với x = – 8 thì y = 64Vậy khi m = – 4 thì tọa độ giao điểm của [P] và [d] là [0; 0] và [– 8; 64].[P] cắt [d] tại hai điểm phân biệt có các hoành độ dương⇔ Phương trình [*] có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2∆ ' = m 2 + 2m + 8 = [m + 1] 2 + 7 > 0 ∀m⇒ Phương trình [*] luôn có 2 nghiệm phân biệt⇒ [d] luôn cắt [P] tại hai điểm phân biệt. x1 + x 2 = 2mx x = −2m − 8Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  1 2Theo đề bài: x1 + 2x 2 = 2[1][2][3]Từ [1] và [3], ta có hệ:b] x1 + x 2 = 2m x1 = 2 − 2m⇔ x1 + 2x 2 = 2 x 2 = 4m − 2Thay vào [2] được:[2 − 2m][4m − 2] = −2m − 8 ⇔ −4m 2 + 7m + 2 = 0Giải phương trình đượcm = 2;m = −141m ∈ 2; − 4  là các giá trị cần tìm.VậyCâu 7:a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng [d1]:y = [ m2 − 1] x + 2m[m là tham số] và[d2]: y = 3x + 4 . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng [d1] và [d2] song song vớinhaub/ Cho phương trình:x 2 − 2 [ m − 1] x + 2m − 5 = 0phương trình đó có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn[với m là tham số]. Tìm các giá trị của m để[x21− 2mx1 + 2m − 1] [ x2 − 2 ] ≤ 0a/ Để đường thẳng [d1] và [d2] song song với nhau thìm = 2m2 − 1 = 3 m2 = 4a = a '=> => =>   m = −2 => m = −2b ≠ b ' 2m ≠ 4m ≠ 2m ≠ 2Vậy với m = - 2 thì đường thẳng [d1] song song vi đường thẳng [d2]x 2 − 2 [ m − 1] x + 2m − 5 = 0b/∆ ' = [ m − 1] − 2m + 5 = m 2 − 4m + 6 = [ m − 2 ] + 2 > 02Ta có:2với mọi m, nên phương trình luôncó 2 nghiệm phân biệt với mọi mTheo vi ét ta có x1 + x2 = 2m − 2 x1 x2 = 2m − 5Để[x12− 2mx1 + 2m − 1] [ x2 − 2 ] ≤ 0 x 2 − 2 [ m − 1] x1 + 2m − 5 − 2 x1 + 4  [ x2 − 2 ] ≤ 0=>  1=>[ 4 − 2 x1 ] [ x2 − 2 ] ≤ 0 => [ 2 − x1 ] [ x2 − 2 ] ≤ 0 =>=>2 [ x2 + x1 ] − x1 x2 − 4 ≤ 0Thay vào ta có :Vậym≤2 [ 2m − 2 ] − [ 2 m − 5 ] − 4 ≤ 02 x2 − 4 − x1 x2 + 2 x1 ≤ 0=> 4m − 4 − 2m + 5 − 4 ≤ 0 =>2m − 3 ≤ 0 => m ≤3232Câu 8: Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là [P] và y = x + 2 có đồ thị là [d].a] Vẽ [P] và [d] trên cùng một hệ trục tọa độ vuông [đơn vị trên các trục bằngnhau].b] Xác định tọa độ các giao điểm của [P] và [d] bằng phép tính.33+ 1 ; 0][0;+ 1]2c] Tìm các điểm thuộc [P] cách đều hai điểm A 2và B.[HD: a]Bảng một số giá trị tương ứng của [P]:x-2-1012y42024Vẽ [d]: y = x + 2: Cho x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ [0; 2]∈ [d]Cho x = 1 ⇒ y = 3 ⇒ [1; 3]∈ [d]Đồ thị:b] Phương trình hoành độ giao điểm của [P] và [d]:x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0x = 2⇔ x = −1 ⇒ y = 4 ⇒ [2; 4] y = 1 ⇒ [ −1;1]Vậy:[d] cắt [P] tại hai điểm [2; 4] và [-1; 1].c] Gọi M[xM; yM] ∈ [P] và cách đều hai điểm A, B2M3+12và MA = MB. Đặt xM = x, a =Ta có: yM = xMA2 = [xA – xM ]2 + [yA – yM ]2= [a – x]2 + [0 – x2]2 = a2 – 2ax + x2 + x4.MB2 = [xB – xM ]2 + [yB – yM ]2 = [0 – x]2 + [a – x2]2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.MA = MB ⇔ MA2 = MB2⇔ a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.x = 0 y = 0 ⇒ [0;0]⇔ x = 1 ⇒  y = 1 ⇒ [1; 1]⇔ 2ax2 – 2ax = 0 ⇔ x2 – x = 0Vậy có hai điểm thỏa đề bài: O[0; 0] và M[1; 1]Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng [d]: y = [ k − 1] x + 4 [k là thamsố] và parabol [P]: y = x .1. Khi k = −2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng [d] và parabol [P];2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng [d] luôn cắt parabol[P] tại hai điểm phân biệt;3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng [d] và parabol [P]. Tìm2k sao cho: y1 + y 2 = y1 y 2 .HD:Với k = −2 ta có đường thẳng [d]: y = −3x + 4Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng [d] và parabol [P] là:x2 = −3x + 4⇔x2 + 3x − 4 = 0Do a + b + c = 1 + 3 − 4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = − 4Với x = 1 có y = 1 Với x = −4 có y = 16Vậy khi k=−2 : [d] cắt [P] tại 2 điểm có toạ độ là [1; 1]; [−4; 16]Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng [d] và parabol [P] là:x2 = [k − 1]x + 4 ⇔x2 − [k − 1]x − 4 = 0Ta có ac = −4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.Vậy đường thẳng [d] và parabol [P] luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.Với mọi giá trị của k; đường thẳng [d] và parabol [P] cắt nhau tại 2 điểm phân x1 + x 2 = k − 12biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn:  x1x 2 = −4Khi đó: y1 = x1;y 2 = x 22222 2Vậy y1 + y2 = y1 y 2 ⇔ x1 + x 2 = x1 x 2 ⇔ [x1 + x2]2 − 2x1x2 = [x1 x2]2⇔ [k − 1]2 + 8 = 16 ⇔ [k − 1]2 = 8 ⇔ k = 1 + 2 2 hoặc k = 1 − 2 2Vậy k = 1 + 2 2 hoặc k = 1 − 2 2 thoả mãn đầu bài.Câu 10: Cho hàm số y = ax2a] Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M [ -2 ; 8]b] Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị [ P] của hàm số đã cho với giá trị avừa tìm được và đường thẳng [d] đi qua M [-2;8] có hệ số góc bằng - 2 .Tìmtọa độ giao điểm khác M của [P] và [ d].HD:2M -2;8]+ Đồ thị [P] của hàm số y =ax đi qua điểm [, nên: 8 = a x [-2]2 suy ra a =22Vậy: a=2 và hàm số đã cho là: y =2x+ Đường thẳng [d] có hệ số góc bằng -2, nên có phương trình dạng: y =-2x+b] , nên 8 = 2 x[-2] + b suy ra b = 4 và [d] : y = -2x + 4+ [d] đi qua điểm [+ Vẽ [P]; Vẽ [d]+ Hoành độ giao điểm của [P] và [d] là nghiệm của phương trình:M -2;82x2 =-2x+4 ⇔ x2 +x- 2=0+ Phương trình có hai nghiệm: x1 =1;x2 =-2Do đó hoành độ giao điểm thứ hai của [P] và [d] là x =1⇒ y =2×1 =2Vậy giao điểm khác M của [P] và [d] có tọa độ: N[1;2]Câu 11: Cho hàm số y = mx – m + 2 có đồ thị là đường thẳng [dm].1.Khi m = 1 , hay x vẽ [d1].22.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng [dm] luôn đi qua với mọi giá trị của m.Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M[6 ; 1] đến đường thẳng [dm] khi m thay đổi.HD: Cho hàm số y = mx – m + 2 [dm]1.Khi m = 1 thì [d1] : y = x + 1.Bảng giá trị :x-10y=x+101Vẽ : Đồ thị hàm số y = x + 1 là 1 đường thẳng đi qua hai điểm [-1 ; 0] và [0 ; 1].2. Gọi A[xA ; yA] là điểm cố định mà [dm] luôn đi qua khi m thay đổi.Ta có : yA = mxA – m + 2.⇔ yA – 2 = m[xA – 1] [*]Xét phương trình [*] ẩn m , tham số xA , yA : xA − 1 = 0x = 1⇔ A y A − 2 = 0  yA = 2Pt[*] vô số nghiệm m khiVậy [dm] luôn đi qua 1 điểm A[1 ; 2] cố định khi m thay đổi.Ta có : AM = [6 − 1] + [1 − 2]Từ M kẻ MH ⊥ [dm] tại H.22= 26+Nếu H ≡ A thì MH = 26 .[1]+Nếu H không trùng A thì ta có tam giác AMH vuông tại H=> HM < AM =Từ [1][2] suy ra MH ≤26 . Vậy,26[2]khoảng cách lớn nhất từ M đến [dm] khi m thay đổilà 26 [đvđd].Câu 12: Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song1song với đường thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol [P]: y = 2 x2 cóhoành độ bằng -2.HD: + Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = −3x + 5 ,nên a = −3 và b ≠ 5.+Điểm A thuộc[P]có hoành độ x = −2 nên có tung độy=12[ −2 ] = 2A −2; 2 ]2.Suy ra: [+ Đồ thị hàm số y = −3 x + b đi qua điểm A [ −2; 2 ] nên: 2 = 6 + b ⇔ b = −4Vậy: a = −3 và b = −4Câu 13: Cho Parabol [P] : y = x2 và đường thẳng [d]: y =mx - 2 [m là tham số, m ≠ 0]a. Vẽ đồ thị [P] trên mặt phẳng Oxy.b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của [p] và [d].c. Gọi A[xA; yA], B[xB; yB] là hai giao điểm phân biệt của [P] và [d]. tìm các giátrị của m sao cho yA + yB = 2[xA + xB] – 1HD: Cho Parabol [P] : y = x2 và đường thẳng [d]: y = mx – 2 [m là tham số, m ≠ 0 ]a. Vẽ đồ thị [P] trên mặt phẳng Oxy.TXĐ: RBGT:x-2 -1 0 1 22y=x 410 1 4Điểm đặc biệt:Vì : a = 1 > 0 nên đồ thị có bề lõm quay lên trên.Nhận trục Oy làm trục đối xứng. Điểm thấp nhất O[0;0]ĐỒ THỊ:yb. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của [p] và [d].Khi m = 3 thì [d] : y = 3x – 2y=x2Phương trình tìm hoành độ giao điểm:x2 = 3x – 2x2 - 3x + 2 = 04[a+b+c=0]=>x1 = 1 ; y1 = 1 và x2 = 2; y2 = 4Vậy khi m = 3 thì d cắt P tại hai điểm[1; 1] và [2; 4].c.Gọi A[xA; yA], B[xB; yB] là hai giao điểm phân 1biệt của [P] và [d]. tìm cácgiá trị của m sao choyA + yB = 2[xA + xB] – 1[*]-2-101yA =mxA − 22xyB =mxB − 2Vì A[xA; yA], B[xB; yB] là giao điểm của [d] và [P] nên: yA + yB =m[ xA + xB ] − 4Thay vaøo [*] ta coù:m[ xA + xB ] − 4 = 2[ xA + xB ] − 1 ⇔ m[ xA + xB ] = 2[ xA + xB ] + 3⇔ m=2[ xA + xB ][xA+ xB ]+33⇔ m = 2+[ xA + xB ][ xA + xB ]Câu 14: a] Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểmA[-2; 5] và B[1; -4].b]Cho hàm số y = [2m – 1]x + m + 2- tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.-Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằngHD: 1.Ta có a, b là nghiệm của hệ phương trình5 = -2a + b-4 = a + b-3a = 9⇔ -4 = a + b−23a = - 3⇔ b = - 1Vậy a = - 3 vào ta có b = - 12. Cho hàm số y = [2m – 1]x + m + 2- Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0 ⇔ m < .-Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng−23 . Hay đồ thị hàm số2đi qua điểm có toạ độ [ 3 ;0]. Ta phải có pt 0 = [2m– 1].[- ] +m +2 ⇔ m = 8−Câu 15: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2a] Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxyb] Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tínhc] Tính diện tích tam giác OABHD: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2a] Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ OxyLập bảng :x0-2x-2-10122y=x+220y=x41014yBACKOxHb]Tìm toạ độ giao điểm A,B :Gọi tọa độ các giao điểm A[ x1 ; y1 ] , B[ x2 ; y2 ] của hàm số y = x2 có đồ thị[P] và y = x + 2 có đồ thị [d]Viết phương trình hoành độ điểm chung của [P] và [d]x2 = x + 2  x2 – x – 2 = 0[ a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ] có a – b + c = 1 – [ – 1 ] – 2 = 0⇒ x1 = −1x2 = −c−2=−=2a1;thay x1 = -1 ⇒ y1 = x2 = [-1]2 = 1 ;x2 = 2 ⇒ y2 = 4Vậy tọa độ giao điểm là A[ - 1 ; 1 ] , B[ 2 ; 4 ]c]Tính diện tích tam giác OAB :OC =|xC | =| -2|= 2 ; BH = |yB | = |4| = 4 ; AK = | yA | = |1| = 1- SOAB = SCOH11- SOAC = 2 [OC.BH - OC.AK]= ... = 2 [8 - 2]= 3đvdt1Câu 16: Cho hàm số : y = [2m – 1]x + m + 1 với m là tham số và m ≠ 2 . Hãy xácđịnh m trong mỗi trường hơp sau :a] Đồ thị hàm số đi qua điểm M [ -1;1 ]b] Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác OABcân.HD: a] Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M[-1;1] => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàmsố :y = [2m – 1]x + m + 1 [1]Thay x = -1 ; y = 1 vào [1] ta có: 1 = -[2m -1 ] + m + 1

1 = 1 – 2m + m + 1
1 = 2 – m
m = 1Vậy với m = 1 Thì ĐT HS : y = [2m – 1]x + m + 1 đi qua điểm M [ -1; 1]c] ĐTHS cắt trục tung tại A => x = 0 ; y = m+1 => A [ 0 ; m+1] OA = m + 1−m − 1−m − 1Đt h/s cắt truc hoành tại B => y = 0 ; x = 2m − 1 => B [ 2m − 1 ; 0 ]−m − 1=> OB = 2m − 1 Tam giác OAB cân => OA = OB

m +1−m − 1= 2m − 1 Giải PT ta có : m = 0 ; m = -1Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng [d]: y = [ k − 1] x + 4 [k là thamsố] và parabol [P]: y = x .1. Khi k = −2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng [d] và parabol [P];2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng [d] luôn cắt parabol[P] tại hai điểm phân biệt;3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng [d] và parabol [P]. Tìm2k sao cho: y1 + y 2 = y1 y 2 .HD:Với k = −2 ta có đường thẳng [d]: y = −3x + 4Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng [d] và parabol [P] là:x2 = −3x + 4⇔x2 + 3x − 4 = 0Do a + b + c = 1 + 3 − 4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = − 4Với x = 1 có y = 1Với x = −4 có y = 16Vậy khi k =−2 đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại 2điểm có toạ độ là [1; 1]; [−4; 16]Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng [d] và parabol [P] là:x2 = [k − 1]x + 4⇔x2 − [k − 1]x − 4 = 0Ta có ac = −4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.Vậy đường thẳng [d] và parabol [P] luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.Với mọi giá trị của k; đường thẳng [d] và parabol [P] cắt nhau tại 2 điểm phân biệt cóhoành độ x1, x2 thoả mãn: x1 + x 2 = k − 12 x1 x 2 = − 4Khi đó: y1 = x1;y 2 = x 22222 2Vậy y1 + y2 = y1 y 2 ⇔ x1 + x 2 = x1 x 2⇔ [x1 + x2]2 − 2x1x2 = [x1 x2]2⇔ [k − 1]2 + 8 = 16⇔ [k − 1]2 = 8⇔ k = 1 + 2 2 hoặc k = 1 − 2 2Vậy k = 1 + 2 2 hoặc k = 1 − 2 2 thoả mãn đầu bài.Câu 18: Cho 3 đường thẳng có phương trình:[d1]: y = 3x + 12[d2]: y = 2 x − 1 [d3]: y = [3 − m] x + m − 5 với m ≠ 3a] Tìm toạ độ giao điểm A của [d1] và [d2].b] Tìm giá trị m để [d1], [d2], [d3] đồng quy.c] Gọi C là giao điểm [d1] với trục hoành, B là giao điểm của [d2] với trục hoành.Tính đoạn BC.HD: a] Toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ y = 3x + 1  x = −2⇔ y = 2 x − 1  y = −5Vậy A[-2;-5]b] Để [d1], [d2], [d3] đồng quy thì [d3] đi qua AKhi đó có: −2[3 − m] + m − 5 = −5 ⇔2Kết luận: m = 2 hoặcm=m1 =92 ; m2 = 2 [t/m]9211C [ − ;0]B[ ;0]3c] Toạ độToạ độ 2 ;BC = xB − xC =1 1 5+ =2 3 6Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol [P] : y = x 2 và đường thẳng [d] : y= 2x + 31. Chứng minh rằng [d] và [P] có hai điểm chung phân biệt2. Gọi A và B là các điểm chung của [d] và [P] . Tính diện tích tam giác OAB [O là gốc toạ độ]Giải1. Chứng minh rằng [d] và [P] có hai điểm chung phân biệtHoành độ giao điểm đường thẳng [d] và Parabol [P] là nghiệm của phương trìnhx2 = 2x + 3 => x2 – 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt−c 3= =3x1 = -1 và x2 = a 1Với x1 = -1 => y1 = [-1]2 = 1 => A [-1; 1]Với x2 = 3 => y2 = 32 = 9 => B [3; 9]Vậy [d] và [P] có hai điểm chung phân biệt A và B2. Gọi A và B là các điểm chung của [d] và [P] . Tính diện tích tam giác OAB [ O làgốc toạ độ]Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽS BOCS AODAD-1Theo công thức cộng diện tích ta có:S[ABC] = S[ABCD] - S[BCO] - S[ADO]= 20 – 13,5 – 0,5 = 6 [đvdt]10AD + BC1+ 9.DC =.4 = 2022BC .CO 9.3=== 13, 522AD.DO 1.1=== 0, 522S ABCD =B9C3Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng [d]: 2x – y – a2 = 0 vàParabol [P]:y = ax2 [a là tham số dương]a] Tìm giá trị a để [d] cắt [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đó A vàB nằm bên phải trục tung.b] Gọi x1 ; x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất củaM=41+x1 + x 2 x1x 2HD : a] Phương trình hoành độ giao điểm của [d] và [P] là :

ax2 = 2x – a2 ax2 - 2x + a2 = 0∆ / = 1 – a3Để [d] và [P] cắt nhau tại hai điểm phân biệt điều kiện cần và đủ là :

∆/ = 1 – a3 > 0 a < 1Vậy với a > 0 và a < 1 thì [d] cắt [P] tại hai điểm phân biệt.- Với điều kiện a > 0 và a < 1 theo hệ thức Vi-ét ta có : x1 + x2 = 2 > 0 và x1x2=a>0=> x1 > 0 và x2 > 0 => hai điểm A và B đều có hoành độ dương nên chúng nằm bênphải trục tung.b] Gọi x1 ; x2 lần lượt là hoành độ của A và B.M=411+x 1 + x 2 x 1x 2 = 2 + aĐể có x1 ; x2 thì a ≤ 1 ;minM = 3 khi và chỉ khi a lớn nhất khi đó a = 1 và khi đó A và B trùng nhau

Vậy minM = 3 a = 1.y=1 2x2vàCâu 21 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol [P] là đồ thị của hàm sốđường thẳng [d] có hệ số góc m và đi qua điểm I [ 0 ; 2 ].a] Viết phương trình đường thẳng [d].b] Chứng minh rằng [d] luôn cắt [P] tại hai điểm phân biệt với mọi m.c]Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của [d] và [P]. Tìm giá trị của mđể x1 + x 2 = 32HD: a] Phương trình đường thẳng [d] có dạng : y = ax + bVì đường thẳng [d] có hệ số góc m nên ta có: y = mx + b.Vì: [d]: y = mx + b qua điểm I[0; 2]: Nên: 2 = m.0 + b => b = 2.Vậy phương trình đường thẳng [d]là : y = mx +2.33y=1 2x2b]Ta có: [P]:[d]: y = mx +2.1 2x = mx + 2 ⇔ x 2 − 2mx − 4 = 0 [ 1]2PT hoành độ giao điểm của [P] và [d]:Vì: a = 1 > 0 và c = - 4 < 0 ⇔ a; c trái dấu ⇔ PT [1] có hai nghiệm phân biệt ⇔[P] cắt [d] tại hai điểm phân biệt.c] PT [1] luôn có hai nghiệm phân biết x1; x2 phân biệt:Theo Viet ta có: x1 + x 2 = 2 m x1x 2 = -4Ta có:2x13 + x 32 = [ x1 + x 2 ] [ x12 − x1x 2 + x 2 2 ] = [ x1 + x 2 ] [ x1 + x 2 ] − 3x1x 2  = 32⇔ 2m [ [2m]2 – 3[-4]] = 32 ⇔ 8m3 + 24m – 32 = 0⇔ m3 + 3m – 4 = 0⇔ m3 - m + 4m - 4 = 0⇔ m [ m2 – 1] + 4[ m – 1] = 0 ⇔ m [ m – 1][ m + 1] + 4[ m – 1] = 0⇔ [ m – 1] [ m[ m + 1] + 4] = 0⇔ [ m – 1][ m2 + m + 4] = 011 11152Ta thấy : m + m + 4 = m + 2. 2 m + 4 - 4 + 4 = [m + 2 ] + 4 > 0 với mọi mNên : m – 1 = 0 ⇒ m = 12233x+x12 = 32Vây: m = 1 thìCâu 22: Cho parabol y = x2 [P] và đường thẳng y = mx [d], với m là tham số.1/ Tìm các giá trị của m để [P] và [d] cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.2/ Tìm các giá trị của m để [P] và [d] cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa haiđiểm này bằng 6HD : 1/ P.trình hoành độ giao điểm [P] và [d] :x =0x 2 − mx = 0 ⇔ x[ x − m] = 0 ⇔  1 x2 = mVì giao điểm ∈ [ P] : y = x ⇒ y = m . Với y = 9 => m2 = 9  [m = 3 v m = -3]Vậy với m = ±3 thì [P] và [d] cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.222/ Từ câu 1 => [P] và [d] luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi m ≠ 0 . Khi đógiao điểm thứ nhất là gốc toạ độ O [ x = 0; y = 0], giao điểm thứ 2 là điểm A có [ x =m; y = m2].2442Khoảng cách giữa hai giao điểm : AO = m + m = 6 ⇔ m + m − 6 = 0[1]Đặt t = m ;[t ≥ 0] khi đó [1] ⇔ t + t − 6 = 0 => [t1 = 3 [ nhận ] v t2 = - 2 [ loại]]22Với t1 = 3  m2 = 3 => m = ± 3 [ nhận]Vậy với m = ± 3 thì [P] cắt [d] tại hai điểm có khoảng cách bằng 6 .Câu 23: a.Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M có hoành độ bằng 2 và M2thuộc đồ thị hàm số y = −2x . Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O vàđiểm M [ biết đường thẳng OM là đồ thị hàm số bậc nhất].2b.Cho phương trình x − 5x − 1 = 0 [ 1] . Biết phương trình [1] có hai nghiệm x1; x 2 .Lập phương trình bậc hai ẩn y [ Với các hệ số là số nguyên ] có hai nghiệm lần lượtlày1 = 1 +11và y 2 = 1 +x1x2Câu 24: Cho parabol [P]:tham số].a] Vẽ [P].y=1 2x2và đường thẳng [d]: y = [m – 1]x – 2 [với m làb] Tìm m để [d] tiếp xúc với [P] tại điểm có hoành độ dương.c] Với m tìm được ở câu b], hãy xác định tọa độ tiếp điểm của [P] và [d].a]+ Lập bảng giá trị đúng [chọn tối thiểu 3 giá trị của x trong đó phải có giá trị x = 0].+ Vẽ đúng dạng của [P].1 2x = [m − 1]x − 22b, + Phương trình hoành độ giao điểm của [P] và [d]:⇔ x2 – 2[m – 1]x +4 = 0 ∆' = 02[ m − 1] − 4 = 0⇔ −b ' a > 0 m − 1 > 0+ Lập luận được:⇔cm =3 m = −1 hoÆm > 1+ Kết luận được: m=3x=−b ' m − 1 3 − 1===2a11c,+ Tìm được hoành độ tiếp điểm:+Tính được tung độ tiếp điểm: y = 2 và kết luận đúng tọa độ tiếp điểm là [2; 2].[ a ≠ 0]Bài 25: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol [P] : y = ax 2và đườngthẳng [d]: y = bx + 11/ Tìm các giá trị của a và b để [P] và [d] cùng đi qua điểm M[1; 2]2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng [P] và [d] còn có một điểm chungN khác M. Tính diện tích tam giác MON [với O là gốc toạ độ][ a ≠ 0]HD:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol [P] : y = ax 2và đườngthẳng [d]: y = bx + 11/ Tìm các giá trị của a và b để [P] và [d] cùng đi qua điểm M[1; 2]M ∈[P] ⇒ … ⇒ a = 2 ⇒ y = 2x2M ∈ [d] ⇒ … ⇒ b = 1 ⇒ y = x + 12/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng [P] và [d] còn có một điểm chung N khácM. Tính diện tích tam giác MON [với O là gốc toạ độ] .Xét pt hoành độ gđ: 2x 2 = x +1 ⇔ 2x2 - x - 1 = 0x = 1⇒ y = 2 1 1⇒ M [ 1; 2 ] ; N  − ; ÷11x = − ⇒ y = 2 222S ∆MON = Sthang − [ S1 + S 2 ] = 0, 75[dvdt]Bài 26: Cho Parabol [P]: y = x và đường thẳng [d]: y = [2m – 1]x – m + 2 [m là thamsố]a] Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng [d] luôn cắt [P] tại hai điểm phânbiệt.b] Tìm các giá trị m để đường thẳng [d] cắt Parabol [P] tại hai điểm phân biệt2A[x1 ; y1 ] ; B[x 2 ; y 2 ] thỏa mãnx1 y1 + x 2 y 2 = 0a] Phương trình hoành độ giao điểm [nếu có] của [d] và [P] là:x − [ [2m − 1]x − m + 2] = 02⇔ x 2 − [2m − 1]x + m − 2 = 0 [*]2Vì ∆ = [ −[2m − 1] ] − 4 ×1×[m − 2] = 4m − 8m + 9 = 4 [ m − 1] + 5 > 0 với mọi mnên [*] luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.22Vậy với mọi m [d] luôn cắt [P] tại hai điểm phân biệt A[x1 ; y1 ] ; B[x 2 ; y 2 ]22b] Ta có: y1 = x1 ; y 2 = x 2 [vì hai điểm A và B thuộc [P] ], nên:x1 y1 + x 2 y 2 = 0 ⇔ x13 + x 23 = 0 ⇔ [x1 + x 2 ]3 − 3x1x 2 [x1 + x 2 ] = 0[1] x1 + x 2 = 2m − 1mà hoành độ các giao điểm A và B là nghiệm của [*] nên:  x1x 2 = m − 2[Vi-et]Do đó:[1] ⇔ [2m − 1]3 − 3[m − 2] ×[2m − 1] = 0 ⇔ [2m − 1] [2m − 1] 2 − 3[m − 2]  = 027  63 ⇔ [2m − 1][4m − 7m + 7] = 0 ⇔ [2m − 1]  2m − ÷ +  = 0 ⇔ 2m − 1 = 04  16 Vậy [d] cắt [P] tại hai điểm phân biệt A[x1 ; y1 ] ; B[x 2 ; y 2 ] thỏa mãn khi m = 0,5.2