Tìm các giá trị của a và B để (P) và (d cùng đi qua điểm A(2 1))
|
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SÔ VÀ ĐỒ THỊ HS1y = − x22 và y = x − 4 có đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d )Câu 1: Cho hai hàm số1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ).HD1y = − x22 và y = x − 4 có đồ thị lầnCho hai hàm sốlượt là ( P ) và ( d )1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặtphẳng tọa độ.2 ) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ) là:M( 2; –2 ) và N(–4 ; –8 )Câu 2: Trong mp(Oxy)1 2xa) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = 43x+mb) Cho đường thẳng (D): y = 2đi qua điểm C(6; 7). Tìm tọa độ giao điểm của(D) và (P).Lập bảng giá trị:xy=1 2x4–4–202441014(P) là parabol đi qua các điểm: (–4;4), (–2;1), (0; 0), (2; 1), (4; 4).a)b)Vì (D) đi qua điểm C(6; 7) nên ta có:3×6 + m = 7 ⇔ m = −223⇒ (D) : y = x − 22Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D):1 2 3x = x − 2 ⇔ x 2 − 6x + 8 = 042Giải được x1 = 4; x2 = 2Với x1 = 4 thì y1 = 4Với x2 = 2 thì y2 = 1Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (4; 4) và (2; 1).Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trìnhA, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là x A = −1; xB = 2 .y=1 2x2 và hai điểma) Tìm tọa độ của hai điểm A, B.b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.c) Tính khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến đường thẳng (d).Vì A, B thuộc (P) nên:11x A = −1 ⇒ y A = ×(−1) 2 =22a)11A −1; ÷ , B(2; 2)x B = 2 ⇒ y B = ×2 2 = 222Vậy .Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.Ta có hệ phương trình:131b) −a + b =3a =a =⇔2⇔221y = x +12a+b=22a+b=2b=12Vậy (d):.(d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0)⇒ OC = 1 và OD = 2Gọi h là khoảng cách từ O tới (d).Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆ vuông OCD, ta có:c)1111 1 52 5=+= 2 + 2 = ⇒h=222hOC OD 1 2452 5Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là 5 .Câu 4Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2 x − n + 3 và parabol2(P): y = x .1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0).2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần2lượt là x1 , x2 thỏa mãn: x1 − 2 x2 + x1 x2 = 16 .HD: 1. Đường thẳng (d) đi qua A ( 2;0 ) ⇔ 2.2 − n + 3 = 0 ⇔ n = 7 .2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:x2 = 2x − n + 3 ⇔ x2 − 2x + n − 3 = 0'∆Ta có = 1 − ( n − 3) = 4 − n .'Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 4 − n > 0 ⇔ n < 4 (*)Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:(1) x1 + x2 = 2(2) x1.x2 = n − 3x12 − 2 x2 + x1 x2 = 16(3)Cách 1: Thay x2 = 2 − x1 ở (1) vào (3) ta có:x12 − 2 ( 2 − x1 ) + x1 ( 2 − x1 ) = 16 ⇔ x12 − 4 + 2 x1 + 2 x1 − x12 = 16⇔ 4 x1 = 20 ⇔ x1 = 5. ⇒ x2 = 2 − 5 = −3Thay x1 = 5; x2 = −3 vào (2) ta có: 5.(−3) = n − 3 ⇔ n = −12x1 + x2Cách 2: Thay 2 ở (3) bằngTa có:x12 − ( x1 + x2 ) x2 + x1 x2 = 16 ⇔ x12 − x1 x2 − x2 2 + x1x2 = 16⇔ x12 − x2 2 = 16 ⇔ ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = 16 x1 − x2 = 8 x1 = 5⇔ ( x1 − x2 ).2 = 16 ⇔ x1 − x2 = 8 ⇒ ⇔ x1 + x2 = 2 x2 = −3Thay x1 = 5; x2 = −3 vào (2) ta có: 5.(−3) = n − 3 ⇔ n = −12 (thỏa mãn điều kiện (*)Vậy n = −12 .Câu 5: Cho hai hàm số y = x2 và y = mx + 4 ,với m là tham sốa) Khi m = 3 ,tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số trên.b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhautại hai điểm phân biệt A1(x1 ;y1) và A2(x2 ;y2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1)2+ (y2)2 = 722Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x và đường thẳng (d):y = 2x + 2m + 8 (với m là tham số).a) Khi m = – 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) .b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểmphân biệt có hoành độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2.Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):x 2 = 2mx + 2m + 8 ⇔ x 2 − 2mx − 2m − 8 = 0 (*)Khi m = – 4, phương trình (*) trở thành:x = 0x 2 + 8x = 0 ⇔ x = −8a)Với x = 0 thì y = 0; với x = – 8 thì y = 64Vậy khi m = – 4 thì tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (0; 0) và (– 8; 64).(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ dương⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2∆ ' = m 2 + 2m + 8 = (m + 1) 2 + 7 > 0 ∀m⇒ Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt⇒ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x1 + x 2 = 2mx x = −2m − 8Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2Theo đề bài: x1 + 2x 2 = 2(1)(2)(3)Từ (1) và (3), ta có hệ:b) x1 + x 2 = 2m x1 = 2 − 2m⇔ x1 + 2x 2 = 2 x 2 = 4m − 2Thay vào (2) được:(2 − 2m)(4m − 2) = −2m − 8 ⇔ −4m 2 + 7m + 2 = 0Giải phương trình đượcm = 2;m = −141m ∈ 2; − 4 là các giá trị cần tìm.VậyCâu 7:a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1):y = ( m2 − 1) x + 2m(m là tham số) và(d2): y = 3x + 4 . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song vớinhaub/ Cho phương trình:x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0phương trình đó có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn(với m là tham số). Tìm các giá trị của m để(x21− 2mx1 + 2m − 1) ( x2 − 2 ) ≤ 0a/ Để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau thìm = 2m2 − 1 = 3 m2 = 4a = a '=> => => m = −2 => m = −2b ≠ b ' 2m ≠ 4m ≠ 2m ≠ 2Vậy với m = - 2 thì đường thẳng (d1) song song vi đường thẳng (d2)x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0b/∆ ' = ( m − 1) − 2m + 5 = m 2 − 4m + 6 = ( m − 2 ) + 2 > 02Ta có:2với mọi m, nên phương trình luôncó 2 nghiệm phân biệt với mọi mTheo vi ét ta có x1 + x2 = 2m − 2 x1 x2 = 2m − 5Để(x12− 2mx1 + 2m − 1) ( x2 − 2 ) ≤ 0 x 2 − 2 ( m − 1) x1 + 2m − 5 − 2 x1 + 4 ( x2 − 2 ) ≤ 0=> 1=>( 4 − 2 x1 ) ( x2 − 2 ) ≤ 0 => ( 2 − x1 ) ( x2 − 2 ) ≤ 0 =>=>2 ( x2 + x1 ) − x1 x2 − 4 ≤ 0Thay vào ta có :Vậym≤2 ( 2m − 2 ) − ( 2 m − 5 ) − 4 ≤ 02 x2 − 4 − x1 x2 + 2 x1 ≤ 0=> 4m − 4 − 2m + 5 − 4 ≤ 0 =>2m − 3 ≤ 0 => m ≤3232Câu 8: Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = x + 2 có đồ thị là (d).a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trên các trục bằngnhau).b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.33+ 1 ; 0)(0;+ 1)2c) Tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai điểm A 2và B.(HD: a)Bảng một số giá trị tương ứng của (P):x-2-1012y42024Vẽ (d): y = x + 2: Cho x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ (0; 2)∈ (d)Cho x = 1 ⇒ y = 3 ⇒ (1; 3)∈ (d)Đồ thị:b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0x = 2⇔ x = −1 ⇒ y = 4 ⇒ (2; 4) y = 1 ⇒ ( −1;1)Vậy:(d) cắt (P) tại hai điểm (2; 4) và (-1; 1).c) Gọi M(xM; yM) ∈ (P) và cách đều hai điểm A, B2M3+12và MA = MB. Đặt xM = x, a =Ta có: yM = xMA2 = (xA – xM )2 + (yA – yM )2= (a – x)2 + (0 – x2)2 = a2 – 2ax + x2 + x4.MB2 = (xB – xM )2 + (yB – yM )2 = (0 – x)2 + (a – x2)2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.MA = MB ⇔ MA2 = MB2⇔ a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.x = 0 y = 0 ⇒ (0;0)⇔ x = 1 ⇒ y = 1 ⇒ (1; 1)⇔ 2ax2 – 2ax = 0 ⇔ x2 – x = 0Vậy có hai điểm thỏa đề bài: O(0; 0) và M(1; 1)Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = ( k − 1) x + 4 (k là thamsố) và parabol (P): y = x .1. Khi k = −2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol(P) tại hai điểm phân biệt;3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm2k sao cho: y1 + y 2 = y1 y 2 .HD:Với k = −2 ta có đường thẳng (d): y = −3x + 4Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:x2 = −3x + 4⇔x2 + 3x − 4 = 0Do a + b + c = 1 + 3 − 4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = − 4Với x = 1 có y = 1 Với x = −4 có y = 16Vậy khi k=−2 : (d) cắt (P) tại 2 điểm có toạ độ là (1; 1); (−4; 16)Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:x2 = (k − 1)x + 4 ⇔x2 − (k − 1)x − 4 = 0Ta có ac = −4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân x1 + x 2 = k − 12biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn: x1x 2 = −4Khi đó: y1 = x1;y 2 = x 22222 2Vậy y1 + y2 = y1 y 2 ⇔ x1 + x 2 = x1 x 2 ⇔ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = (x1 x2)2⇔ (k − 1)2 + 8 = 16 ⇔ (k − 1)2 = 8 ⇔ k = 1 + 2 2 hoặc k = 1 − 2 2Vậy k = 1 + 2 2 hoặc k = 1 − 2 2 thoả mãn đầu bài.Câu 10: Cho hàm số y = ax2a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M ( -2 ; 8)b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị ( P) của hàm số đã cho với giá trị avừa tìm được và đường thẳng (d) đi qua M (-2;8) có hệ số góc bằng - 2 .Tìmtọa độ giao điểm khác M của (P) và ( d).HD:2M -2;8)+ Đồ thị (P) của hàm số y =ax đi qua điểm (, nên: 8 = a x (-2)2 suy ra a =22Vậy: a=2 và hàm số đã cho là: y =2x+ Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng -2, nên có phương trình dạng: y =-2x+b) , nên 8 = 2 x(-2) + b suy ra b = 4 và (d) : y = -2x + 4+ (d) đi qua điểm (+ Vẽ (P); Vẽ (d)+ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:M -2;82x2 =-2x+4 ⇔ x2 +x- 2=0+ Phương trình có hai nghiệm: x1 =1;x2 =-2Do đó hoành độ giao điểm thứ hai của (P) và (d) là x =1⇒ y =2×1 =2Vậy giao điểm khác M của (P) và (d) có tọa độ: N(1;2)Câu 11: Cho hàm số y = mx – m + 2 có đồ thị là đường thẳng (dm).1.Khi m = 1 , hay x vẽ (d1).22.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m.Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6 ; 1) đến đường thẳng (dm) khi m thay đổi.HD: Cho hàm số y = mx – m + 2 (dm)1.Khi m = 1 thì (d1) : y = x + 1.Bảng giá trị :x-10y=x+101Vẽ : Đồ thị hàm số y = x + 1 là 1 đường thẳng đi qua hai điểm (-1 ; 0) và (0 ; 1).2. Gọi A(xA ; yA) là điểm cố định mà (dm) luôn đi qua khi m thay đổi.Ta có : yA = mxA – m + 2.⇔ yA – 2 = m(xA – 1) (*)Xét phương trình (*) ẩn m , tham số xA , yA : xA − 1 = 0x = 1⇔ A y A − 2 = 0 yA = 2Pt(*) vô số nghiệm m khiVậy (dm) luôn đi qua 1 điểm A(1 ; 2) cố định khi m thay đổi.Ta có : AM = (6 − 1) + (1 − 2)Từ M kẻ MH ⊥ (dm) tại H.22= 26+Nếu H ≡ A thì MH = 26 .(1)+Nếu H không trùng A thì ta có tam giác AMH vuông tại H=> HM < AM =Từ (1)(2) suy ra MH ≤26 . Vậy,26(2)khoảng cách lớn nhất từ M đến (dm) khi m thay đổilà 26 (đvđd).Câu 12: Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song1song với đường thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y = 2 x2 cóhoành độ bằng -2.HD: + Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = −3x + 5 ,nên a = −3 và b ≠ 5.+Điểm A thuộc(P)có hoành độ x = −2 nên có tung độy=12( −2 ) = 2A −2; 2 )2.Suy ra: (+ Đồ thị hàm số y = −3 x + b đi qua điểm A ( −2; 2 ) nên: 2 = 6 + b ⇔ b = −4Vậy: a = −3 và b = −4Câu 13: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y =mx - 2 (m là tham số, m ≠ 0)a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy.b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).c. Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các giátrị của m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1HD: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy.TXĐ: RBGT:x-2 -1 0 1 22y=x 410 1 4Điểm đặc biệt:Vì : a = 1 > 0 nên đồ thị có bề lõm quay lên trên.Nhận trục Oy làm trục đối xứng. Điểm thấp nhất O(0;0)ĐỒ THỊ:yb. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).Khi m = 3 thì (d) : y = 3x – 2y=x2Phương trình tìm hoành độ giao điểm:x2 = 3x – 2x2 - 3x + 2 = 04(a+b+c=0)=>x1 = 1 ; y1 = 1 và x2 = 2; y2 = 4Vậy khi m = 3 thì d cắt P tại hai điểm(1; 1) và (2; 4).c.Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân 1biệt của (P) và (d). tìm cácgiá trị của m sao choyA + yB = 2(xA + xB) – 1(*)-2-101yA =mxA − 22xyB =mxB − 2Vì A(xA; yA), B(xB; yB) là giao điểm của (d) và (P) nên: yA + yB =m( xA + xB ) − 4Thay vaøo (*) ta coù:m( xA + xB ) − 4 = 2( xA + xB ) − 1 ⇔ m( xA + xB ) = 2( xA + xB ) + 3⇔ m=2( xA + xB )(xA+ xB )+33⇔ m = 2+( xA + xB )( xA + xB )Câu 14: a) Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểmA(-2; 5) và B(1; -4).b)Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2- tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.-Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằngHD: 1.Ta có a, b là nghiệm của hệ phương trình5 = -2a + b-4 = a + b-3a = 9⇔ -4 = a + b−23a = - 3⇔ b = - 1Vậy a = - 3 vào ta có b = - 12. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2- Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0 ⇔ m < .-Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng−23 . Hay đồ thị hàm số2đi qua điểm có toạ độ ( 3 ;0). Ta phải có pt 0 = (2m– 1).(- ) +m +2 ⇔ m = 8−Câu 15: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxyb) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tínhc) Tính diện tích tam giác OABHD: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ OxyLập bảng :x0-2x-2-10122y=x+220y=x41014yBACKOxHb)Tìm toạ độ giao điểm A,B :Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị(P) và y = x + 2 có đồ thị (d)Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d)x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0⇒ x1 = −1x2 = −c−2=−=2a1;thay x1 = -1 ⇒ y1 = x2 = (-1)2 = 1 ;x2 = 2 ⇒ y2 = 4Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1 ) , B( 2 ; 4 )c)Tính diện tích tam giác OAB :OC =|xC | =| -2|= 2 ; BH = |yB | = |4| = 4 ; AK = | yA | = |1| = 1- SOAB = SCOH11- SOAC = 2 (OC.BH - OC.AK)= ... = 2 (8 - 2)= 3đvdt1Câu 16: Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m ≠ 2 . Hãy xácđịnh m trong mỗi trường hơp sau :a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác OABcân.HD: a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàmsố :y = (2m – 1)x + m + 1 (1)Thay x = -1 ; y = 1 vào (1) ta có: 1 = -(2m -1 ) + m + 1 <=> 1 = 1 – 2m + m + 1 <=> ax2 = 2x – a2 <=> ax2 - 2x + a2 = 0∆ / = 1 – a3Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt điều kiện cần và đủ là : ∆/ = 1 – a3 > 0 <=> a < 1Vậy với a > 0 và a < 1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.- Với điều kiện a > 0 và a < 1 theo hệ thức Vi-ét ta có : x1 + x2 = 2 > 0 và x1x2=a>0=> x1 > 0 và x2 > 0 => hai điểm A và B đều có hoành độ dương nên chúng nằm bênphải trục tung.b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hoành độ của A và B.M=411+x 1 + x 2 x 1x 2 = 2 + aĐể có x1 ; x2 thì a ≤ 1 ;minM = 3 khi và chỉ khi a lớn nhất khi đó a = 1 và khi đó A và B trùng nhau Vậy minM = 3 <=> a = 1.y=1 2x2vàCâu 21 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm sốđường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ).a) Viết phương trình đường thẳng (d).b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.c)Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của mđể x1 + x 2 = 32HD: a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = ax + bVì đường thẳng (d) có hệ số góc m nên ta có: y = mx + b.Vì: (d): y = mx + b qua điểm I(0; 2): Nên: 2 = m.0 + b => b = 2.Vậy phương trình đường thẳng (d)là : y = mx +2.33y=1 2x2b)Ta có: (P):(d): y = mx +2.1 2x = mx + 2 ⇔ x 2 − 2mx − 4 = 0 ( 1)2PT hoành độ giao điểm của (P) và (d):Vì: a = 1 > 0 và c = - 4 < 0 ⇔ a; c trái dấu ⇔ PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.c) PT (1) luôn có hai nghiệm phân biết x1; x2 phân biệt:Theo Viet ta có: x1 + x 2 = 2 m x1x 2 = -4Ta có:2x13 + x 32 = ( x1 + x 2 ) ( x12 − x1x 2 + x 2 2 ) = ( x1 + x 2 ) ( x1 + x 2 ) − 3x1x 2 = 32⇔ 2m [ (2m)2 – 3(-4)] = 32 ⇔ 8m3 + 24m – 32 = 0⇔ m3 + 3m – 4 = 0⇔ m3 - m + 4m - 4 = 0⇔ m ( m2 – 1) + 4( m – 1) = 0 ⇔ m ( m – 1)( m + 1) + 4( m – 1) = 0⇔ ( m – 1) [ m( m + 1) + 4] = 0⇔ ( m – 1)( m2 + m + 4) = 011 11152Ta thấy : m + m + 4 = m + 2. 2 m + 4 - 4 + 4 = (m + 2 ) + 4 > 0 với mọi mNên : m – 1 = 0 ⇒ m = 12233x+x12 = 32Vây: m = 1 thìCâu 22: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số.1/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.2/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa haiđiểm này bằng 6HD : 1/ P.trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :x =0x 2 − mx = 0 ⇔ x( x − m) = 0 ⇔ 1 x2 = mVì giao điểm ∈ ( P) : y = x ⇒ y = m . Với y = 9 => m2 = 9 (m = 3 v m = -3)Vậy với m = ±3 thì (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.222/ Từ câu 1 => (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi m ≠ 0 . Khi đógiao điểm thứ nhất là gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ 2 là điểm A có ( x =m; y = m2).2442Khoảng cách giữa hai giao điểm : AO = m + m = 6 ⇔ m + m − 6 = 0(1)Đặt t = m ;(t ≥ 0) khi đó (1) ⇔ t + t − 6 = 0 => (t1 = 3 ( nhận ) v t2 = - 2 ( loại))22Với t1 = 3 m2 = 3 => m = ± 3 ( nhận)Vậy với m = ± 3 thì (P) cắt (d) tại hai điểm có khoảng cách bằng 6 .Câu 23: a.Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M có hoành độ bằng 2 và M2thuộc đồ thị hàm số y = −2x . Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O vàđiểm M ( biết đường thẳng OM là đồ thị hàm số bậc nhất).2b.Cho phương trình x − 5x − 1 = 0 ( 1) . Biết phương trình (1) có hai nghiệm x1; x 2 .Lập phương trình bậc hai ẩn y ( Với các hệ số là số nguyên ) có hai nghiệm lần lượtlày1 = 1 +11và y 2 = 1 +x1x2Câu 24: Cho parabol (P):tham số).a) Vẽ (P).y=1 2x2và đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 (với m làb) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ dương.c) Với m tìm được ở câu b), hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (d).a)+ Lập bảng giá trị đúng (chọn tối thiểu 3 giá trị của x trong đó phải có giá trị x = 0).+ Vẽ đúng dạng của (P).1 2x = (m − 1)x − 22b, + Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):⇔ x2 – 2(m – 1)x +4 = 0 ∆' = 02( m − 1) − 4 = 0⇔ −b ' a > 0 m − 1 > 0+ Lập luận được:⇔cm =3 m = −1 hoÆm > 1+ Kết luận được: m=3x=−b ' m − 1 3 − 1===2a11c,+ Tìm được hoành độ tiếp điểm:+Tính được tung độ tiếp điểm: y = 2 và kết luận đúng tọa độ tiếp điểm là (2; 2).( a ≠ 0)Bài 25: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax 2và đườngthẳng (d): y = bx + 11/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chungN khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)( a ≠ 0)HD:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax 2và đườngthẳng (d): y = bx + 11/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)M ∈(P) ⇒ … ⇒ a = 2 ⇒ y = 2x2M ∈ (d) ⇒ … ⇒ b = 1 ⇒ y = x + 12/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khácM. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) .Xét pt hoành độ gđ: 2x 2 = x +1 ⇔ 2x2 - x - 1 = 0x = 1⇒ y = 2 1 1⇒ M ( 1; 2 ) ; N − ; ÷11x = − ⇒ y = 2 222S ∆MON = Sthang − ( S1 + S 2 ) = 0, 75(dvdt)Bài 26: Cho Parabol (P): y = x và đường thẳng (d): y = (2m – 1)x – m + 2 (m là thamsố)a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phânbiệt.b) Tìm các giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt2A(x1 ; y1 ) ; B(x 2 ; y 2 ) thỏa mãnx1 y1 + x 2 y 2 = 0a) Phương trình hoành độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P) là:x − [ (2m − 1)x − m + 2] = 02⇔ x 2 − (2m − 1)x + m − 2 = 0 (*)2Vì ∆ = [ −(2m − 1) ] − 4 ×1×(m − 2) = 4m − 8m + 9 = 4 ( m − 1) + 5 > 0 với mọi mnên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.22Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) ; B(x 2 ; y 2 )22b) Ta có: y1 = x1 ; y 2 = x 2 (vì hai điểm A và B thuộc (P) ), nên:x1 y1 + x 2 y 2 = 0 ⇔ x13 + x 23 = 0 ⇔ (x1 + x 2 )3 − 3x1x 2 (x1 + x 2 ) = 0(1) x1 + x 2 = 2m − 1mà hoành độ các giao điểm A và B là nghiệm của (*) nên: x1x 2 = m − 2(Vi-et)Do đó:(1) ⇔ (2m − 1)3 − 3(m − 2) ×(2m − 1) = 0 ⇔ (2m − 1) (2m − 1) 2 − 3(m − 2) = 027 63 ⇔ (2m − 1)(4m − 7m + 7) = 0 ⇔ (2m − 1) 2m − ÷ + = 0 ⇔ 2m − 1 = 04 16 Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) ; B(x 2 ; y 2 ) thỏa mãn khi m = 0,5.2 |
