Tập nghiệm của bất phương trình 2x sin2x

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=k2π,π3+k2π3,k∈ℤ.

Chọn B

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

213 VAÁN ÑEÀ 8 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 214 Vấn đề 8 Bất PhươngTrình Lượng Giác A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác . • Từng bước đưa về dạng uv hoặc vu sau đó xét dấu của các hàm số lượng giác tương ứng trên đường tròn lượng giác , ta sẽ suy được trực tiếp . • Có thể đưa về các dạng cơ bản như bpt bậc 1, bậc 2, bậc cao … hoặc có thể đặt ẩn phụ để đưa về các dạng quen thuộc … • Có thể đưa về dạng đối lập . • Có thể dùng đồ thò hoặc bảng biến thiên để can thiệp vào . • Có thể đưa về dùng các tính chất đồng biến hoặc nghòch biến của các hàm số thông dụng … • Có thể dùng MAX , MIN để can thiệp vào một số bài toán tìm m để bpt có nghiệm trên tập xác đònh của nó , vô nghiệm ,hoặc có ít nhất nghiệm, …… • Có thể đánh giá các biểu thức tham gia vào bài toán • Có thể áp dụng các bất đẳng thức quan biết như Côsi , Bunhia – cốp xki và các bấtđẳng thức khác .Nhờ đó các bài toán được giải quyết gọn gành và nhanh chóng . • Có thể dùng phương pháp đổi biến số Để giải bất phương trình ta có thể thực hiện các bước sau : - Đặt ẩn số ban đầu x = α(t) (hay t = α(x) , trong đó t được coi là ẩn số mới , α là hàm số liên tục theo t sao cho khi t biến thiên trên tập xác đònh D1 thì x biến thiên trên toàn bộ tập xác đònh D của bất phương trình đã cho - Kết hợp tập xác đònh D và các điều kiện ràng buộc khác để đua ra kết luận về nghiệm theo ẩn số ban đầu 215 Sau đây là một số ví dụ từ đơn giản đến phức tạp để các bạn có thể tham khảo … B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNGÏ DẪN GIẢI Bài 1 Giải bất phương trình : sin x ( cos x - 21) > 0 Giải Ta có : sin 0(1)1cos2sin 0(2)1cos2xxxx⎡>⎧⎪⎢⎨⎢>⎪⎢⎩⎢<⎧⎢⎪⎢⎨<⎢⎪⎢⎩⎣ ⇔ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡π+π<<+ππ+π<<π2k35x)1k2(2k3x2k Bài 2 Giải bất phương trình : sinx < sin2x(*) Giải (*) ⇔ 2sinxcosx – sinx > 0 ⇔ sinx(2cosx –1 ) > 0 ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>>21cos0sinxx ∨ ⎪⎩⎪⎨⎧<<21cos0sinxx ⇔ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡+<<++<<πππππππ2322232lxlkxk (k,l ∈ Z) 216 Bài 3 Giải bất phương trình : cos3x - 3 sin3x ≥ 1 (1) Giải (1) ⇔ 213sin233cos21≥− xx ⇔ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+33cosπx ≥ 21 (1) Dựa vào đường tròn lượng giác : (1) ⇔ 3π− + k2π ≤ 3x + 3π− ≤ 3π− + k2π ⇔ 323292πππkxk ≤≤+− Bài 4 Giải bất phương trình : 2x2 sinx – 1 ≤ 2sinx(sinx – 1) + cos2x (*) Giải (*) ⇔ 2x2sinx – 1 ≤ 2sin2x – 2sinx + 2 – 2sin2x ⇔ (2x2 + 2)sinx ≤ 2 ⇔ (x2 + 1)sinx ≤ 1 ⇔ sinx ≤ 1 (vì x2 + 1 > 0 ∀x ∈ R) ⇔ x ∈ R Bài 5 Giải bất phương trính : cos2x + 3 sinx.cosx < 1 (1) Giải (1)⇔ cos2x + 3 sin2x < 1 ⇔ sin2162<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+πx ⇔ πππππ261362265kxk +<+<+ ⇔ ππππkxk +<+3 Bài 6 Giải bất phương trình : cosx + xcos1 ≥ 25(*) Giải (*) ⇔ 0cos1cos25cos2≥+−xx 217 ⇔ ()( )xxxcos1cos22cos−− ≥ 0 ⇔ xxcos1cos2− ≤ 0 (do cosx < 2 , ∀x) ⇔ 0 < cosx ≤ 21 ∨ ⎪⎩⎪⎨⎧<≥0cos21cosxx ⇔ 0 < cosx ≤ 21 ⇔ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡+≤<++<<+ππππππππ2252232322kxkkxk Bài 7 Giải bất phương trình : x2cos1x2sin− ≤ 0 (1) Giải (1) ⇔ xsin2x2sin2 ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ) ⇔ cotg x ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ) ⇔ π+π≤≤π+πkxk2 loại trừ x = kπ Bài 8 Đònh m để bất phương trình vô nghiệm : sin (2x - 3π) ≥ m - 23 Chú ý : • f(x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ max f(x) , x ∈ D • f(x) ≥ m vô nghiệm khi m > max f(x) , x ∈ D Ta có : sin (2x - 3π) []1,1−∈ Từ đó suy ra : sin (2x - 3π) có max bằng 1 Bất phương trình vô nghiệm ⇔ m - 23 > 1 ⇔ m > 1 + 23 218 Bài 9 Đònh m để bất phương trình có nghiệm : sin2x – sinx ≥ m2 – 2m , x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈4,0 Giải Khi x 0,4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ thì ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=22t0xsint Xét f(t) = t2 – t ; f’(t) = 2t – 1 t 0 21 22 f’(t) 1 _ 0 + 1 f(t) 0 221− 41− Bảng biến thiên cho ta : maxf(x) = 0 , với x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈22,0 Bất phương trình có nghiệm ⇔ m2 – 2m ≤ maxf(x) , ⇔ m2 – 2m ≤ 0 ⇔ m(m – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2. Bài 10 Giải bất phương trình : cos3x.cos3x – sin3x.sinx ≤ 85 (1) Giải (1) ⇔ cos3x(4cos3x – 3cosx) – sin3x(3sinx – 4sin3x) ≤ 85 ⇔ 4(cos6 + sin6) – 3(sin4x + cos4x) ≤ 85 219 ⇔ 4(1 – 3sin2x.cos2x) – 3(1 – 2sin2x.cos2x) ≤ 85 ⇔ 1 – 6sin2x.cos2x ≤ 85 ⇔ sin22x ≥ 41 ⇔ sin2x ≤ -21 ∨ sin2x ≥ 21 ⇔ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡+≤≤++≤≤+ππππππππ2322232352234kxkkxk ⇔ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡+≤≤++≤≤+ππππππππkxkkxk366532 Bài 11 1-\ Tìm tất cả các nghiệm của phương trình : sinxcos4x + 2sin22x = 1 – 4 sin2⎟⎠⎞⎜⎝⎛−π2x4 thoả mãn hệ bất phương trình : ⎪⎩⎪⎨⎧−>+<−x3x31x2 2-\ Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : f(x) = 5cosx – cos5x trên đoạn ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ−4;4 (Đại học An ninh 2001) Giải 1-\ Ta có : sinxcos4x + 2sin22x = 1 – 4sin2⎟⎠⎞⎜⎝⎛−π2x4 ⇔ sinxcos4x + 1 – cos4x = 1 - 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−π− x2cos1 ⇔ cos4x(sinx – 1) = 2(sinx – 1) ⇔ (sinx – 1) (cos4x – 2) = 0 ⇔ ⎢⎣⎡==2x4cos1xsin ( vô nghiệm) 220 Vậy sinx = 1 ⇔ x = 2π + k2π ; k ∈ Z 2|1|33xxx−<⎧⎨+>−⎩ ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>++−>−<−03xx31x31x2⇔ ⎩⎨⎧−><2x4x ⇔ -2 < x < 4 Điều kiện của bài toán được thoả mãn ⇔ k = 0 Khi đó nghiệm của phương trình : x = 2π 2-\ Ta có : f(x) = 5cosx – cos5x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ−∈4;4 f’(x) = -5sinx + 5sin5x f’(x) = 0 ⇔ sin5x = sinx ⇔ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡∈π+π=π=Zk;3k6x2kx Vì x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ−∈4;4 , ta thấy x = 0 ; x = 6π ; x = 6π Lại có : f”(x) = -5cosx + 25cos5x f”(x) = 20 > 0 f”⎟⎠⎞⎜⎝⎛π±6 = -15 3 < 0. Vậy hàm số f(x) đạt cực đại tại x = ±6π và giá trò cực đại là f⎟⎠⎞⎜⎝⎛π±6= 33 Ngoài ra : f234=⎟⎠⎞⎜⎝⎛π− ; f 234=⎟⎠⎞⎜⎝⎛π Vậy giá trò lớn nhất của f(x) là 33 (khi x= ±6π ) 221 Bài 12 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm : mxx ≥+ 2sin21sin32 (*) Giải (*) ⇔ 3 (1 – cos2x) + sin2x ≥ 2m ⇔ sin⎟⎠⎞⎜⎝⎛−32πx ≥ 232 −m Để bất phương trình vô nghiệm thì : 232 −m > 1 ⇔ m > 223 + Bài 13 Giải bất phương trình 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx)(1) Giải (1) ⇔ (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] > 0 Đặt f(x) = (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] • f(x) = 0 ⇔ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎩⎪⎨⎧≤=−−+=+2022120cossin2tttxx với t = cosx – sinx ⇔ ⎢⎣⎡=−=+1sincos0cossinxxxx ⇔ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∨==∨=2304743πππxxxx Do x là hàm số tuần hoàn nên ta chỉ cần xét dấu của f(x) trên [0 ; 2π] Trong 1 chu kỳ [0 ; 2π] nghiệm là : ⎢⎢⎢⎢⎣⎡<<<<ππππ2472343xx Vậy nghiệm của bất phương trình là : 222 ⎢⎢⎢⎢⎣⎡+<<++<<+ππππππππ22247223243kxkkxk (k ∈ Z) Bài 14 Giải bất phương trình : (sinx + cosx)2 ≥ (tgx + cotgx)2 (1) Giải Ta có : ()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+(BCS) 4cot(Cauchy) 2cossin22gxtgxxx Do vế trái và vế phải hoàn toàn đối lập Vậy (1) vô nghiệm Bạn đọc có thể dựa vào các bất đẳng thức cơ bản với 2 chiều đối lập nhau để dẫn đến 1 sự đối lập hoàn toàn và cho ra bất phương trình vô nghiệm dể dàng . Bài 15 Giải bất phương trình : 4sin3sin62cossin410cossinlog225−+>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−xxxxxx(*) Giải (*) ⇔ 4sin3sin5sin4sin29sinsinlog2225−+>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++xxxxxx (1) Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1) (1) ⇔ 435429log2225−+>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++tttttt Đặt a = 2t2 + 4t + 5 ; b = t2 + t + 9 (1) ⇔ baab−>⎟⎠⎞⎜⎝⎛5log ⇔ log5a – log5b > a – b • Với a > b ⇒ ⎩⎨⎧>−<−00loglog55baba ⇒ (1) vô nghiệm • Với a < b ⇔ 2t2 + 4t + 5 < t2 + t + 9 ⇔ -4 < t < 1 223 ⇒ ⎩⎨⎧<−>−00loglog55baab ⇒ (1) có nghiệm –4 < t < 1 ⇔ -4 < sinx < 1 ⇔ x ∈ R Bài 16 Giải bất phương trình : 2cos2x + 4sinx – cosx ≥ 4 (*) Giải (*)⇔ 2 – 4sin2x + 4sinx – cosx ≥ 4 ⇔ 4sin2x – 4sinx + 1 + cosx + 1 ≤ 0 ⇔ (2sinx – 1)2 + cosx + 1 ≤ 0 (1) mà (2sinx – 1)2 ≥ 0 ; (cosx + 1) ≥ 0 ⇒ vế trái ≥ 0 (1) có nghiệm khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧=−=21sin1cosxx ⇒ vô nghiệm ⇒ (*) vô nghiệm . Bài 17 Giải bất phương trình : ααααα33322sinsin28sin2sinsin4 −≤+− (*) Giải Đặt x = αsin2 với ⏐t⏐ ≥ 2 Bpt (*) ⇔ 21332−≤+− xxx ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧−≤+−≥23321112xxxxx (1) Đặt f(x) = VT = 11133+−xx; f’(x) = ()423234232331121311121xxxxxxxx−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−− < 0 với x ≥ 2 224 g(x) = VP = 22xx − ; g’(x) = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−3241221xxx > 0 ⇒ f(x) giảm và g(x) tăng ∀x ≥ 2 Với x = 3 thì f(x) = g(x) Vậy (1) ⇔ x ≥ 3 ⇔ αsin2 ≥ 3 ⇔ ααsinsin32− ≥ 0 ⇔ 0 < sinα ≤ 32 Bài 18 Giải bất phương trình : 9cos1cossin1sin22≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+xxxx Giải Điều kiện : x ≠ 2πk VT = 2cos1cos2sin1sin2222+++++xxxx = xxxx2222cossincossin5++ = x2sin452+ Ta có : 0 < sin22x ≤ 1 ⇒ 42sin42≥x ⇒ VT ≥ 9 bpt ⇔ sin22x = 1 ⇔ sin2x = ±1 ⇔ 2x = 2π + kπ ⇔ x = 4π + k2π Bài 19 Cho bất phương trình : 92cos12++++ mxmxtg ≥ 0 (1) Tìm m để (1) luôn đúng với mọi m ∈ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛2;0π Giải Đặt t = xcos1 với 0 < x < 2π ⇒ t > 1 (1) ⇔ t2 + 1 + (m + 1)t + 2m + 9 ≥ 0 ∀t > 1 225 ⇔ m(t + 2) ≥ -t2 – t – 10 ∀t > 1 ⇔ m ≥ 2102+−−−ttt = f(t) ∀t > 1 (do t > 1 ⇒ t > -2 ⇒ t + 2 > 0) D = (1 ; +∞) f’(t) = 22)2(84++−−ttt f’(t) = 0 ⇔ t = 322 ±− t 1 -2+22 +∞ f’(t) + 0 - f(t) 3-43 -4 (+) -∞ Vậy m ≥ 343 − Bài 20 Giải bất phương trình : 1sin2cos2sin22≥++ xxx trên [0 ; 2π] (*) Giải (*) ⇔ 2sin2t + cos2t + 2sin2t ≥ 1 (đặt t = 2x) ⇔ 2sin2t + cos2t + 1 + 2sin2t ≥ 2 ⇔ sin2t + 212cos+t + sin2t ≥ 1 ⇔ sin2t + cos2t + sin2t ≥ 1 ⇔ sin2t ≥ 0 ⇔ sinx ≥ 0 ⇔ x ∈ [0 ; π] Bài 21 Giải bất phương trình : cos2x + sinx –1 < 0 (1) Giải (1)⇔ -2sin2x + sinx < 0 ⇔ sinx(1 – 2sinx) < 0 ⇔ ⎩⎨⎧<−>∨⎩⎨⎧>−<0sin210sin0sin210sinxxxx ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>>∨⎪⎩⎪⎨⎧<<21sin0sin21sin0sinxxxx ⇔ sinx < 0 ∨ sinx > 21 ⇔ ⎢⎢⎣⎡+<<++<<+ππππππππ26526222kxkkxk (k ∈ Z) 226 Bài 22 Đònh a để bất phương trình sau cóâ nghiệm : sin2x – (a + 2)sinx + a – 3 > 0(*) Giải (*) ⇔ (sinx – 1)a < sinx – 2sinx – 3 Đặt t = sinx , t ∈[-1 ; 1] Bpt ⇔ (t – 1)a < t2 – 2t – 3 • t > 1 : a < 1322−−−ttt : a ∈ ∅ • t = 1 : bpt ⇔ 0.a < -4 (vô lý) : a ∈ ∅ • -1 ≤ t < 1 Bpt ⇔ a > 1322−−−ttt Đặt f(t) = 1322−−−ttt với –1 ≤ t ≤ 1 f’(t) = ()22152−+−ttt > 0; ∀t t -1 1 f’(t) + || f(t) || 0 YCBT ⇔ a > 0 Bài 23 Giải bất phương trình sau : 2cos1.22cos12cos12−≥+−xxx(*) Giải (*) ⇔ 2cos1.2cossin222−≥xxx ⇔ 1cos1.2122−≥+xtg ⇔ 1cos1.2cos122−≥xx 227 ⇔ x2cos1 ≤ 1 ⇔ cos2x = 1 ⇔ cosx = 1 ∨ cosx = -1 ⇔ x = k2π ∨ x = π + k2π Bài 24 Tìm m để bất phương trìh có nghiệm : mxxx−≥+−2cos1.22cos12cos1 (*) Giải Theo trên ta có : Bpt (*) ⇔ 1cos1.2cos122+−≥ mxx ⇔ 1cos12−≤ mx • m – 1 > 0 ⇔ m > 1 : bpt ⇔ cos2x ≥ 11−m YCBT ⇔ 11−m ≤ 1 ⇔ 1 ≤ m – 1 ⇔ m ≥ 2 (thoả điều kiện m > 1) • m –1 < 0 ⇔ m < 1 : bpt ⇔ cos2x ≤ 11−m YCBT ⇔ 11−m ≥ 0 ⇔ 1 ≤ 0 (vô lý) ⇔ m ∈ ∅ • m = 1 : bpt ⇔ x2cos1 ≤ 0 : vô nghiệm Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 2 Bài 25 Giải bất phương trình : cosx > cotgx(*) Giải (*) ⇔ cosx > xxsincos ⇔ cosx 0sin11 >⎟⎠⎞⎜⎝⎛−x ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧><∨⎪⎩⎪⎨⎧<>1sin10cos1sin10cosxxxx (Bạn đọc tiếp tục tự giải ) 228 Bài 26 Đònh m để bất phương trình có nghiệm : 2cos2x + x2sin4 + 5 – m ≤ 0 (*) Giải (*) ⇔ 54222cos12cos++− xx ≤ m Đặt t = 2cos2x với t ∈ [21 ; 2] Bpt ⇔ t + 52+t ≤ m ⇔ ttt 252++ ≤ m Đặt f(t) = ttt 252++ với t ∈ [21 ; 2] f’(t) = 222tt − f’(t) = 0 ⇔ t = 2± t 12 -2+2 2 2 f’(t) - 0 + f(t) 192 8 22 +5 Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 522 + Bài 27 Giải bất phương trình : xxxxsin1sin1sin1sin1+−+−+ ≤ a (*) Giải Điều kiện x ≠ nπ , n nguyên Ta có : (*) ⇔ xxxxsin1sin1sin1sin1+−+−+ ≤ a ⇔ xxx2cos1cossin22−− ≤ a 229 ⇔ gxxcot2sin22− ≤ a ⇔ 2cotg2x – 2cotgx + 2 – a ≤ a (1) ∆’ = 2a – 3 • a ≥ 23 ⇒ ∆’ ≥ 0 Khi đó (1) ⇔ 2321cot2321 −+≤≤−− agxa Vậy kπ + α và kπ + β (k ∈ Z) với -2π < α < 2π và -2π < β < 2π và cotgα = 2321 −+ a và cotgβ = 2321 −− a Bài 28 Giải bất phương trình : 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx) (1) Giải Ta có : (1) ⇔ 2(sinx + cosx) < 2(cos2x – sin2x) + sinxcosx(sinx + cosx) ⇔ (sinx + cosx)[2(cosx – sinx) + sinxcosx – 2] > 0 Đặt t = cosx – sinx ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−=24cos21sin2txttxπ Khi đó ta có : ()0212124cos22>⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛− ttxπ ⇔ 0)3)(1(214cos2 >−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ttxπ Do t – 3 < ∀x ⇒ (1) ⇔ 0)1(4cos >−⎟⎠⎞⎜⎝⎛− txπ 230 ⇔ (a) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎟⎠⎞⎜⎝⎛+>⎟⎠⎞⎜⎝⎛−214cos04cosππxx ∨ (b) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−214cos04cosππxx Giải a) : Xét 1 chu kỳ 2π ta có : • cos⎟⎠⎞⎜⎝⎛−4πx > 0 ⇔ 242πππ<−<− x ⇔ 434ππ<<− x • cos214>⎟⎠⎞⎜⎝⎛+πx ⇔ 444πππ<+<− x ⇔ 02<<− xπ Kết hợp nghiệm ta được : 4π− + k2π < x < 2(k + 1)π (k ∈ Z) Giải : b) : Xét 1 chu kỳ 2π ta có : • cos⎟⎠⎞⎜⎝⎛−4πx < 0 ⇔ 2362πππ<−< x ⇔ 4743ππ<< x • cos214<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+πx ⇔ 4744πππ<+< x ⇔ 230π<< x Kết hợp nghiệm ta được : 43π + k2π < x < 23π + k2π (k ∈ Z) Bài 29 Giải bất phương trình : 4(sin4x + cos4x) > 2sinx.cosx + 3 (1) Giải Ta có : (1) ⇔ 32sin22cos122cos1422+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−xxx ⇔ 2sin22x + sin2x –1 > 0 ⇔ 2(sin2x + 1)(sin2x - 21) < 0 ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧−≠<12sin212sinxx ⇔ ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠++<<+ππππππ22321262265kxkxk 231 ⇔ ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠++<<+ππππππkxkxk43112125 Bài 30 Tìm tất cả các giá trò của a để bất phương trình : a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a > 0 có tập nghiệm là R Giải Giả sử a thoả mãn đề bài .Vì bất phương trình có nghiệm là R nên x = 2π là nghiệm , do đó ta phải có a02cos32sin424>++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛− aππ ⇔ 82a – 3 > 0 ⇔ a > 823 Vậy là mọi a thoả mãn đề bài đều nằm trong khoảng a > 823 Giả sử a > 823 .Vì cos2x ≥ 0 Nên 4 – sinx ≥ 3 ⇔ (4 – sinx)4 ≥ 81 ∀x Vì a > 0 nên ta có : a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a ≥ 81a – 3 + a = 82a – 3 > 0 Vậy khi a > 823 thì bất phương trình có tập nghiệm là R Bài 31 Tìm tất cả các giá trò của tham số a để bất phương trình : a2 + 2a – sin2x = 2acosx nghiệm đúng ∀x Giải Vì sin2x = 1 – cos2x nên đặt t = cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1 và bất phương trình trở thành : y = t2 – 2at + a2 – 2a – 3 > 0 ∀t ∈ [-1 ; 1] Đây là 1 parabol quay bề lõm về phía trên , có đỉnh tại điểm t = a , nên già trò bé nhất ymin cùa nó trên [-1 , 1] là : 232 ymin = ()()⎪⎩⎪⎨⎧≥−=<<−=≤−+=−1a khi 211a1- khi 32)(-1a khi 24122ayaayaay y > 0 ∀t ∈ [-1 ; 1] ⇔ ymin > 0 khi t ∈ [-1 ; 1] • Khi a ≤ -1 : a2 + 4a – 2 > 0 ⇔ a < -2 - 6 • Khi –1 < a < 1 : 2a – 3 > 0 ⇔ a > 23 (loại) • Khi a ≥ 1 : a2 – 2 > 0 ⇔ a > 2 Vậy bất phương trình nghiệm đúng ∀x khi a > 2 hoặc a < -2 - 6 Bài 32 Giải bất phương trình : cos2x + 5cooxsx + 3 ≥ 0 (*) Giải (*) ⇔ 2cos2x + 5cosx + 3 ≥ 0 (1) Đặt t = cosx với –1 ≤ t ≤ 1 (1) ⇔ 2t2 + 5t + 3 ≥ 0 ⇔ t ≤ -2 ∨ t ≥ -21 So sánh điều kiện ta có : 21− ≤ t ≤ 1 ⇔ 21− ≤ cosx ≤ 1 ⇔ -32π + k2π ≤ x ≤ 32π+ k2π Bài 33 Giải bất phương trình : sinx + cosx – 3sinxcosx ≤ 1 (1) Giải Đặt t = sinx + cosx , ⏐t⏐ ≤ 2 ⇒ t2 = 1 + 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx = 212−t (1) ⇔ t – 3(212−t) ≤ 1 ⇔ 2t – 3(t2 –1) ≤ 2 ⇔ -3t2 + 2t + 1 ≤ 0 ⇔ t ≤ -31 ∨ t ≥ 1 233 So ủieu kieọn nhaọn : 31221tt 1 t 2 1 sinx + cosx 2 1 4cos2x 2 22 4cosx 1 24k+ x - 4 24k+ k2 x 2 + k2 -2 t 31 - 2 sinx + cosx -31 314cos2 x -1 2314cos x (*) ẹaởt cos = 231 (*) + k2 x - 4 2 - + k2 + 4 + k2 x 49 - + k2 234 Bài 34 1-\ Tìm k để bất phương trình sau có nghiệm : 3.sinx + 2sin2 2x ≥ k 2-\ Tìm nghiệm của bất phương trình : 3.sinx + 2sin2 2x ≥ 1 Thoả điều kiện : log2 (x2 – x +2) ≤ 2 (Đề Đại Học Tổng Hợp TP HCM ) Giải 1-\ 3 .sinx + 2sin2 2x ≥ k ⇔ xcos1xsin3 −+≥ k ⇔ 21kxcos21xsin23 −≥− ⇔ 21k6xsin−≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛π− Bất phương trình vô nghiệm khhi và chỉ khi 21k− ≥ 1 ⇔ k ≥ 3 2-\ theo trên với k = 1 , ta có : ⎟⎠⎞⎜⎝⎛π−6xsin ≥ 0 ⇔ π+π≤π−≤π k26xk2 ⇔ k267xk26π+π≤≤π+π (1) Mặt khác : log2 (x2 – x +2 ) ≤ 2 ⇔ x2 – x + 2 ≤ 4 ( vì x2 – x + 2 > 0 , x∀ ) ⇔ x2 – x + 2 = 0 ⇔ 1− ≤ x ≤ 2 (2) Trong (1) , với k = 1− thì : 6x65π≤≤π− . Khi đó , giao với (2) , ta lấy 6x1π≤≤−. Với k = 0 thì 67x6π≤≤π ; giao với (2) ta lấy 2x6≤≤π. Vậy các giá trò x được lấùy trong (1) để thoả mãn (2) là : 1−≤ x≤ 2. 235 Bài 35 Tìm y để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x : ysinysinycosx2ycosx2+− ≥ 0 (Đề Đại Học Tài Chính _ Kế toán ) Giải ysinysinycosx2ycosx2+− ≥ 0 , ∀x . π+π=⇔⎩⎨⎧≥=•k22x0ysin0ycos •cos y ≠ 0 , bất phương trình nghiệm đúng ∀x ⇔ Bài 36 Chứng minh rằng bất phương trình : sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x Được thoả mãn ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈∀3;0x (Đề Đại Học Y Dược TP HCM) Giải Ta có : sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x ; x⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈2;0 ⇔ sinxcos2x + 2sin2xcosx +3sinx – 4sin3x < 9cos3x ; x⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈2;0 Khi x = 2π, bất phương trình có dạng : 1− < 0 ( đúng ) Khi x⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈2;0 ⇒ cosx > 0 Chia hai vế bất phương trình cho cos3x > 0 , ta được : tgx + 2tg2x + 3tgx(1 + tg2x) – 4tg3x < 9 ⇔ tg3x – 2tg2x – 4tgx + 9 > 0 Đặt t = tgx ; với x⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈2;0 ⇒ tgx ≥ 0 hay t ≥ 0 Xét hàm số : f(t) = t3 – 2t2 –4t +9 ; t []+∞∈;0 f’(t) = 3t2 – 4t – 4 ; f’(t) = 0 ⇔ ⎢⎢⎣⎡−==32t2t 236 Bài 37 Cho phương trình : 4cos5xsinx – 4sin5xcosx = sin24x + m (1) 1-\ Biết rằng x = π là 1 nghiệm của (1) . Hãy giải phương trình (1) trong trường hợp đó. 2-\ Cho biết x = 8π− là 1 nghiệm của (1) . Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn : 2x3x24+− < 0 . (Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải Ta có (1) ⇔ mx4sin)xsinx(cosxcosxsin4244+=− ⇔ mx4sin)xsinx)(cosxsinx(cosx2sin222222+=−+ ⇔ mx4sinx4sin2=− (2) 1-\ x = π là nghiệm của (1) nên cũng là nghiệm của (2) . m4sin4sin2=π−π ⇒ m = 0 Do đó (2) : ⇔ 0x4sinx4sin2=− ⇔ ⎢⎣⎡==1x4sin0x4sin ⇔ ⎢⎢⎢⎣⎡∈π+π=∈π=⇔⎢⎢⎣⎡∈π+π=∈π=)Z(28x)Zk(4kx)Z(22x4)Zk(kx4AAAA 2-\ . x = 8π− là nghiệm cùa (2) : ⎟⎠⎞⎜⎝⎛π−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛π−2sin2sin2 = m ⇔ m = 2− Vậy (1) ⇔ 2x4sinx4sin2−=− ⇔ ⎢⎣⎡−==1x4sin)loai(2x4sin ⇔ )Zk(2k8x)Zk(2k2x4 ∈π+π−=⇔∈π+π−= * Mặt khác : 2x3x24+− < 0 ⇔ ⎢⎣⎡−<<−<<⇔<<⇔<−−1x22x12x10)2x)(1x(222 ∈<π+π−< k,22k81 Z xảy ra ⇔ k = 1 237 2−<2k8π+π− < 1− , k ∈ Z không xảy ra . Vậy cỉ có x = 8328π=π+π− là thoả mãn bài toán . Bài 38 Xác đònh m để bất phương trình sau vô nghiệm : mxx ≥+ 2sin21sin32 (Đại học dân lập Lạc Hồng , năm 1998 – 1999) Giải mxx ≥+ 2sin21sin32 ⇔ mxx≥+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2sin2122cos13 ⇔ 232232cos232sin21 −=−≥−mmxx ⇔ 2322cos3sin2sin3cos−≥−mxxππ ⇔ 23232sin−≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−mxπ Bất phương trình vô nghiệm khi 1232>−m hay m > 232 + Bài 39 Giải bất phương trình : []cos x 3sin x 2, x 0;2 +<∈π Giải cosx 3 sin x 2 cos x 3sin x 2 0 +<⇔+−< Đặt f(x) cosx 3sinx 2. =+ − ta có f xác đònh và liên tục trên 0; 2 π f(x) 0 cosx 3sinx 2=⇔ + = cos cos x sin sin x cos334πππ⇔+=