Số nghiệm nguyên dương của phương trình nc2+nc3=4n
Đáp án: $C^{1}_{n}$ + $C^{2}_{n}$ + $C^{3}_{n}$ = n + $\frac{n!}{2.(n-2)!}$ + $\frac{n!}{6.(n-3)!}$ = n + n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)/6 = $\frac{n^{3}+5n}{6}$ => n = 4
A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.
B. CÁC DẠNG TOÁN. DẠNG 1: Tìm số hạng chứa trong khai triển . Phương pháp.
Ví dụ 1. Tìm hệ số của trong khai triển đa thức: Lời giải. Ta có . Số hạng chứa tương ứng với số hạng chứa thỏa . Vậy hệ số của số hạng chứa là . Ví dụ 2. (D-04) Tìm số hạng không chứa trong khai triển thành đa thức của biểu thức: Lời giải. Ta có . Số hạng không chứa tương ứng số hạng chứa thỏa . Vậy số hạng không chứa là . Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết: Lời giải. Theo giả thiết có: . Khi đó . Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa thỏa . Vậy hệ số của số hạng chứa là . Ví dụ 4. (A-04) Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của biểu thức: Lời giải. Ta có khai triển: . Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa và thỏa . Vì nên hoặc . Vậy hệ số của số hạng chứa là . DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến . Phương pháp.
Ví dụ 5. (D-02) Tìm số nguyên dương thoả mãn hệ thức: Lời giải. Xét khai triển . Chọn ta có . Lại theo giả thiết ta có . Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của trong khai triển , biết: Lời giải. Xét khai triển . Chọn ta có . Lại có nên . Lại theo giả thiết có . Khi đó . Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa thỏa . Vậy hệ số của số hạng chứa là . Ví dụ 7. (D-08) Tìm số nguyên dương thoả mãn hệ thức: Lời giải. Xét khai triển . Chọn lần lượt và ta có . Trừ theo vế (1) và (2) ta có . Lại theo giả thiết có . Ví dụ 8. (A-05) Tìm số nguyên dương thỏa mãn: Lời giải. Xét khai triển . Lấy đạo hàm hai vế được . Thay ta có . Theo giả thiết ta có . Ví dụ 9. Chứng minh rằng: Lời giải. Xét khai triển . Lấy đạo hàm cấp hai hai vế ta có: . Chọn ta có (đpcm). Ví dụ 10. (B-03) Cho là số nguyên dương. Tính tổng: Lời giải. Xét khai triển . Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có: . Vậy . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển biểu thức . 2. (A-2012) Cho là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của . 3. (A-02) Cho khai triển biểu thức biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng . Tìm và . 4. (D-07) Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của biểu thức: 5. (D-03) Với là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm để . 6. Tính tổng . 7. (B-07) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển biểu thức: , biết 8. (A-08) Cho khai triển: và các hệ số thoả mãn hệ thức . Tìm số lớn nhất trong các số . 9. Tính tổng . 10. Tính tổng . 11. Tìm số tự nhiên sao cho . 12. Tính tổng . 13. Tính tổng . 14. (A-07) Chứng minh rằng . Xem và tải về bản PDF bài viết và lời giải các bài tập ở đây; Tải về file TEX bài viết và lời giải các bài tập ở đây. |