Số e trong toán học bằng bao nhiều

So với những số nổi tiếng trong toán học như pi, số nguyên tố, số hoàn hảo hay tỷ lệ vàng thì hằng số e xuất hiện muộn nhất, từ thế kỷ XVII.

Để hiểu về e, ta xuất phát từ hiểu về khái niệm logarit như sau: Ký hiệu 2^3 để chỉ tích của 3 số 2, nghĩa là 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8. Ở đây xuất hiện những số là 2, 3 và 8. Người ta định nghĩa logarit28 = 3. Trong biểu thức logarit, nếu thay 2 bằng hằng số e thì gọi là logarit tự nhiên, còn nếu thay bằng 10 thì gọi là logarit thập phân.

Năm 1618, một công trình được xuất bản để tổng hợp những nghiên cứu về logarit của John Napier (1550 - 1617), nhà toán học, vật lý, thiên văn học, chiêm tinh học người Scotland. Phần phụ lục của cuốn sách là bảng các logarit tự nhiên của rất nhiều số. Một số nhà toán học thời kỳ đó tin rằng bảng số

này do nhà toán học người Anh William Oughtred (1575 - 1660) lập ra, vì ông là người đầu tiên sử dụng thước số logarit để thực hiện các phép nhân, chia trực tiếp về logarit. Tuy vậy, đây là công trình đầu tiên viết về hằng số e, dù ký hiệu e chưa được sử dụng trong công trình này. Napier, trong một số công trình của mình thường ký tên là Neper. Chính vì thế, đến ngày nay, logarit tự nhiên vẫn thường được gọi là logarit Neper. Một giai đoạn dài, trước khi máy tính cầm tay trở nên phổ biến thì bảng số logarit được sử dụng rộng rãi, như một cuốn từ điển cho nhiều thế hệ học sinh và những người làm khoa học.

Năm 1683, nhà toán học người Thụy Sỹ Jacob Bernoulli (1654-1705) đã phát hiện ra mối liên hệ của hằng số e khi tìm hiểu về lãi kép: Nếu ban đầu ta có 100 đồng và lãi suất là 100% thì sau một năm ta được 200 đồng. Nếu ta rút ra sau 6 tháng thì lúc này có 150 đồng, ta lại gửi tiếp thì cuối năm sẽ có 225 đồng, đây gọi là lãi kép. Nếu gửi lãi kép theo quý, theo tháng, theo tuần, theo ngày thì cuối năm số tiền (làm tròn) lần lượt là: 244, 261, 269, 271 đồng. Càng chia nhỏ thời gian gửi, tỷ lệ tiền thu được chia cho vốn ban đầu càng tiến tới hằng số e là 2,7182818...

Những kiến thức về hằng số e được nhiều nhà khoa học tìm hiểu. Năm 1736, Leonhard Euler (1707-1783), nhà toán học, vật lý người Thụy Sỹ đã đưa ra ký hiệu e trong một cuốn sách của mình. Cũng trong đó, ông đưa ra một số kết quả thú vị về e như: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +... (với ký hiệu n! là tích các số đếm từ 1 đến n) và một số dạng liên phân số của e. Từ đó, ký hiệu này dần được sử dụng và được công nhận như ngày nay.

Người ta đã chứng minh e là số vô tỷ (nghĩa là số thập phân vô hạn không tuần hoàn). Cũng như hằng số pi, người ta cũng tìm cách viết thật dài dãy các chữ số của e. Euler tìm được 18 chữ số thập phân của e vào năm 1748. Đến năm 1946 người ta tìm được 808 chữ số. Hiện nay, con số này là trên 100 tỷ chữ số của e.

Hằng số e xuất phát từ logarit tự nhiên. Đến nay, người ta đã tìm thấy mối liên quan của nó trong nhiều lĩnh vực như lý thuyết xác suất, giới hạn, hàm số, các phép vi - tích phân, lý thuyết số, số phức... và cả trong vật lý, hóa học, thiên văn... trong các mối quan hệ giữa các đại lượng trong thực tế. Chính vì vậy, số e tuy không còn là bí ẩn nhưng vẫn còn rất nhiều lý thú cần khám phá.

Kết quả kỳ trước. Số tiếp theo của dãy số: 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80 là số 99 (hiệu hai số liên tiếp là một dãy số lẻ tăng dần: 5, 7, 9...). Trao giải 50.000 đồng/người cho bạn Nguyễn Thị Hồng Hải (Lớp 5B, TH Tân Hưng, Sóc Sơn, Hà Nội).

Kỳ này. Em hãy cho biết ký hiệu e mang ý nghĩa gì? Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.