Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\], viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại điểm \[M\left[ {{x_0};f\left[ {{x_0}} \right]} \right] \in \left[ C \right]\].
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right] \Rightarrow f'\left[ {{x_0}} \right]\].
- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\]
- Bước 3: Kết luận.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\], viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] biết tiếp tuyến đi qua điểm \[M\left[ {{x_M};{y_M}} \right]\].
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[{x_0}\] của \[\left[ C \right]\]: \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\].
- Bước 3: Thay tọa độ \[\left[ {{x_M};{y_M}} \right]\] vào phương trình trên, giải phương trình tìm \[{x_0}\].
- Bước 4: Thay mỗi giá trị \[{x_0}\] tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho biết hệ số góc.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\]. Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] biết nó có hệ số góc \[k\].
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Giải phương trình \[f'\left[ x \right] = k\] tìm nghiệm \[{x_1},{x_2},...\].
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm \[\left[ {{x_1};f\left[ {{x_1}} \right]} \right],\left[ {{x_2};f\left[ {{x_2}} \right]} \right],...\]
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\]. Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] biết nó có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Tìm GTNN [hoặc GTLN] của \[f'\left[ x \right]\] suy ra hệ số góc của tiếp tuyến và hoành độ tiếp điểm [là giá trị mà \[f'\left[ x \right]\] đạt GTNN, GTLN].
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vừa tìm được.
a] Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị \[\left[ C \right]\] có phương song song hoặc trùng với trục hoành.
b] Cho hàm số bậc ba \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left[ {a \ne 0} \right]\].
+] Khi \[a > 0\] thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \[\left[ C \right]\] có hệ số góc nhỏ nhất.
+] Khi \[a < 0\] thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \[\left[ C \right]\] có hệ số góc lớn nhất.
Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết mối quan hệ của nó với đường thẳng cho trước.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\].
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa tiếp tuyến có hệ số góc \[k = f'\left[ x \right]\] với đường thẳng \[d\] có hệ số góc \[k'\].
+ Tiếp tuyến vuông góc \[d \Leftrightarrow k.k' = - 1\].
+ Tiếp tuyến song song với \[d \Leftrightarrow k = k'\].
+ Góc tạo bởi tiếp tuyến của \[d\] bằng \[\alpha \Leftrightarrow \tan \alpha = \left| {\dfrac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right|\]
- Bước 3: Giải phương trình ở trên tìm nghiệm \[{x_1},{x_2},...\] và tọa độ các tiếp điểm.
- Bước 4: Viết phương trình các tiếp tuyến tại các tiếp điểm vừa tìm được.
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện nào đó.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\]. Tìm \[m\] để tiếp tuyến với \[\left[ C \right]\] đi qua điểm \[M\left[ {{x_M};{y_M}} \right]\] cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại điểm có hoành độ \[{x_0}\] thuộc \[\left[ C \right]\]: \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\]
- Bước 2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài:
Tiếp tuyến đi qua điểm \[M\left[ {{x_M};{y_M}} \right] \Leftrightarrow pt{\rm{ }}{y_M} = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {{x_M} - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\] có nghiệm.
- Bước 3: Tìm điều kiện của \[m\] dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.
2. Sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số
Cho \[\left[ C \right]:y = f\left[ x \right]\] và \[\left[ {C'} \right]:y = g\left[ x \right]\].
Dạng 1: Xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[f'\left[ x \right],g'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right]\\f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\end{array} \right.\].
- Bước 3: Kết luận:
+ Nếu hệ có nghiệm thì \[\left[ C \right]\] và \[\left[ {C'} \right]\] tiếp xúc.
+ Nếu hệ vô nghiệm thì \[\left[ C \right]\] và \[\left[ {C'} \right]\] không tiếp xúc.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[f'\left[ x \right],g'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc:
\[\left[ C \right]\] và \[\left[ {C'} \right]\] tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right]\\f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\end{array} \right.\] có nghiệm.
- Bước 3: Tìm \[m\] từ điều kiện trên và kết luận.
Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 9x - 5\] có phương trình là :
A.
B.
C.
D.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f[x] có đồ thị [C] và điểm. M0 [x0; y0] ∈ [C]
Tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M0 có dạng y = f'[x0 ][x - x0 ] + y0
Trong đó:
Điểm M0 [x0; y0] ∈[C] được gọi là tiếp điểm [ với y0 = f[x0]].
k = f'x0] là hệ số góc của tiếp tuyến.
Chú ý:
Đường thẳng bất kỳ đi qua M0 [x0; y0] có hệ số góc k, có phương trình
y = k[x - x0 ] + y0
Cho hai đường thẳng Δ1:y = k1 x + m1 và Δ2:y = k2 x + m2
Lúc đó:
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị
Cho hai hàm số y = f[x],[C] và y = g[x],[C']
[C] và [C' ] tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình
Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.
Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến với [C]:y = f[x] khi chỉ khi hệ
3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp
Cho hàm số y = f[x] gọi đồ thị của hàm số là [C]
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]:y = f[x] tại M0 [x0; y0]
Phương pháp
Bước 1. Tính y' = f' [x] suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y' [x0].
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M0 [x0; y0] có dạng
y - y0 = f'[x0][x - x0]
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]:y = f[x] có hệ số góc k cho trước.
Phương pháp
Bước 1. Gọi M0 [x0; y0] là tiếp điểm và tính y' = f' [x].
Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f' [x0]. . Giải phương trình này tìm được x0 thay vào hàm số được y0.
Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng
d: y - y0 = f' [x0][x - x0]
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a
Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b[a ≠ 0]⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tanα
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]:y = f[x] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[xA; yA]
Phương pháp
Cách 1.
Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A[xA; yA] hệ số góc k có dạng
d:y = k[x - xA ] + yA [*]
Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình [*], ta được tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2.
Bước 1. Gọi M[x0; f[x0 ]] là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến
k = y'[x0 ] = f' [x0] theo x0
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'[x0 ][x - x0 ] + y0 [**]. Do điểm A[xA; yA] ∈ d nên yA = y'[x0 ][xA - x0 ] + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 .
Bước 3. Thế x0 vào [**] ta được tiếp tuyến cần tìm.
Quảng cáo
Ví dụ 1: Cho hàm số [C]:y = x3 + 3x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M[1; 4].
Hướng dẫn
Ta có y' = 3x2 + 6x; y'[1] = 9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M[1; 4] là:
y = 9[x - 1] + 4 = 9x - 5
Ví dụ 2: Cho hàm số [C]:y = 4x3 - 6x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[-1; -9].
Hướng dẫn
Ta có y' = 12x2 - 12x
Gọi M[x0, y0] là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M có dạng:
y = [12x02 - 12x0> ][x - x0 ] + 4x03 - 6x02 + 1
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A[-1; -9] nên ta có:
-9 = [12x02 - 12x0 ][ -1 - x0 ] + 4x03 - 6x03 + 1
Với
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 [x - 5/4] - 9/16 = 15/4 x - 21/4
Với x0 = -1 thì
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24[x + 1] - 9 = 24x + 15
Ví dụ 3: Cho hàm số [C]:
Hướng dẫn
ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = 3/[x + 2]2 .
Phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 hay Δ:y = 3x + 2
Gọi tọa độ tiếp điểm là M[x0, y0]
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 nên ta có
Với x0 = -1
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x + 1] - 1 = 3x + 2 [loại].
Với x0 = -3
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x + 3] + 5 = 3x + 14 [thỏa mãn]
Quảng cáo
Câu 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - 5. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M có hoành độ bằng 3.
Ta có y' = -6x2 + 12x; y' [3] = -18; y[3] = -5
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là
y = -18[x - 3] - 5 = -18x + 49
Câu 2: Cho hàm số [C]:y = 1/4x4 - 2x2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M có hoành độ x0 > 0 biết rằng y'' [x0 ]= -1.
Ta có y' = x3 - 4x; y'' = 3x2 - 4
Vì y'' [x0 ] = -1 ⇒ 3x02 - 4 = -1 ⇒ x02 = 1 ⇒ x0 = 1 [Vì x0 > 0]
Với x0 = 1 ⇒ y0 = -7/4 ; y0' = -3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:
y = -3[x - 1] - 7/4 = -3x + 5/4
Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]:y =[x - 5]/[-x + 1] tại điểm A của [C] và trục hoành. Viết phương trình của d.
Hoành độ giao điểm của [C] và trục hoành là nghiệm của phương trình
[x - 5]/[-x + 1] = 0 ⇒ x = 5
Khi đó tọa độ điểm A = [5; 0]
ĐKXĐ x ≠ 1. Ta có y'= [-4]/[-x + 1]2 ; y'[5] = -1/4
Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A[5;0] có dạng
y = -1/4 [x - 5] = -1/4 x + 5 /4
Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x - 4x2 có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[1; 3].
Ta có y' = 3 - 8x
Gọi M[x0 , y0] là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M có dạng:
y = [3 - 8x0 ][x - x0 ] + 3x0 - 4x02
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A[1; 3] nên ta có:
3 = [3 - 8x0 ][1 - x0 ] + 3x0 - 4x02
Với x0 = 0 thì
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x - 0] + 0 = 3x
Với x0 = 2 thì
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -13[x - 2] - 10 = -13x + 16
Câu 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 6x + 1 có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Gọi M[x0,y0] là tọa độ tiếp điểm.
Ta có y' = 3x2 - 6x + 6
Khi đó y' [x0 ]=3x02 - 6x0 + 6 = 3[x02 - 2x0 + 2] = 3[[x0 - 1]2 + 1] ≥ 3
Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y' [x0] = 3, dấu bằng xảy ra khi x0 = 1
Với x0 = 1 thì
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x - 1] + 5 = 3x + 2
Câu 6: Cho hàm số [C]:y = x3 - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.
Gọi M[x0, y0] là tọa độ tiếp điểm.
Ta có y' = 3x2 - 3
Khi đó y'[x0 ] = 3x02 - 3 = 9
Với x0 = 2 thì
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9[x - 2] + 4 = 9x - 14
Với x0 = -2 thì
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9[x + 2] + 0 = 9x + 18
Câu 7: Cho hàm số y = [-x + 5]/[x + 2] có đồ thị là [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7
ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = [-7]/[x + 2]2 .
Gọi tọa độ tiếp điểm là M[x0, y0]
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình d:y = -1/7 x + 5/7 nên ta có
Với
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 [x - 5] + 0 = -1/7 x + 5/7 [loại].
Với x0 = -9
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 [x + 9] - 2 = -1/7 x - 23/7 [thỏa mãn].
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x4 - 2x2 + 3 vuông góc với đường thẳng Δ: x - 8y + 2017 = 0
Ta có y'= -4x3 - 4x.
Gọi tọa độ tiếp điểm là M[x0, y0]
Phương trình Δ:x - 8y + 2017 = 0 hay Δ: y = 1/8 x + 2017/8
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d:y = 1/8 x + 2017/8 nên ta có
y'[x0 ] = -8 hay -4x03 - 4x0 = -8 ⇔ x0 = 1
Với
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8[x - 1] + 0 = -8x + 8 [thỏa mãn].
Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x3 + 1/2 x2 - 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y - 1 = 0 một góc 450.
Gọi tọa độ tiếp điểm là M[x0, y0].
Có y' = x2 + x - 2
Phương trình đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 ⇔ y = -1/3 x + 1/3
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 một góc 450 nên ta có
Với
Với
x0 = 0 ⇒ y[x0 ]= 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = -2[x - 0] + 1 = -2x + 1
x0 = -1 ⇒ y[x0 ] = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = -2[x + 1] + 19/6 = -2x + 7/6
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = -2x + 1; y = -2x + 7/6
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
tiep-tuyen.jsp