Phương trình hàm là gì

Phương trình hàm số Cô Si là một trong những phương trình hàm hay trong chuyên mục Đại Số nói riêng cũng như trong Toán học nói chung.

Một hàmlà hàm cộng tính nếu thỏa mãn phương trình Cô-sivới mọi

Hàmtuyến tính nếu, rõ ràng hàm tuyến tính là hàm cộng tính. Vậy ngược lại thì hàm cộng tính có là hàm tuyến tính không? Câu trả lời xem ở định lý dưới

*]Định lý : Cho hàmthỏa mãnvàlà đoạn tùy ý

1. Nếuđơn điệu trênthìvớilà hằng số
2. Nếuliên tục trênthì[ Chú ý rằngliên tục tạithì nó sẽ liên tục trên]
3. Nếubị chặn trênthì
4. Nếuđo được thì

Chứng minh:

1. Chothìsuy ra. Cho. Bằng quy nạp ta sẽ đi đếnvới. Ta lại có. Do đó với mọita có. Vậyvới mọisuy rahay với mọita có. Mặt khác vớithì tồn tại hai dãy hữu tỉsao chovà. Dođơn điệu [ giả sửđồng biến] trênnênsuy ra, chuyển qua giới hạn ta cóvới mọiVậy
2. Theo 1] ta cóvới mọi.Với mỗithì tồn tại dãysao cho. Vìliên tục nên
3. Dotrênnên tồn tạisao chovới mọi. Ta đi chứng minhliên tục tại. Xétdãysao cho. Với mỗi giá trịta chọn một số hữu tỉsao chota có. Vậy. Do nên. Vậy. Suy ra. Vậyliên tục tại. Xétta có. Vậy hàm số liên tục tại. Suy ra
4. Hàmđo được thìliên tục [ liên quan tới kiến thức toán cao cấp về độ đo nên tôi không chứng minh]. Vậy

**] Một số biến thể của hàm cauchy

1. Ta đặtthì ta được:suy ra. Ta xét bài toán sau: Cho hàm sốliên tục sao chothìvà. Thật vậythỏa mãn

Xét hàm số không đồng nhất. Khi đó tồn tạisao cho, ta có, vậy suy ra, lại có. Do đó đặtkhi đó ta có. Vậysuy ra

2. Nếu đặtsau đó lại đặt, ta được. Ta xét bài toán sau: Cho hàm sốliên tục trênthỏa mãnvớithì. Thật vậy vớithì. Chosuy ra. Lại chota đượcvới mọi

Xét, đặt,thì ta đượcsuy rahay

Xétthì, mà.

Vậy

3. Xét hàm sốtrênthỏa mãn:

Ta chosuy ra

+] Nếuthì

+] Nếusuy ravậy

Xét, đặtsuy ra

Vậysuy ra

Xét: Chota có :, hoặc

Vậy

4. Choliên tục trênthỏa mãn :

Chotừ đó ta có

vậy, đặtsuy ratừ đó ta cósuy ra

5. Cho hàm sốliên tục trênthỏa mãn:từ đó ta có

6. Cho hàm sốliên tục :thỏa mãn

Cho

+] Nếu tồn tạithìsuy ra

+] Nếuthì lấy loganepe hai vế, đặtta đượcsuy ra

7. Cho hàm sốliên tục trênthỏa mãn:

Ta cómọi

Đặttừ đó ta cósuy ra

8. Cho hàm sốliên tục thỏa mãn

Từ đó ta có

9. Cho hàm sốliên tục thỏa mãn

Ta có

10. Cho hàm sốliên tục thảo mãn

Ta có

11.Cho hàm sốliên tục thỏa mãn :

Từ đó ta có

12. Cho hàm số liên tục trênthỏa mãn

Thì

13. Cho hàm số liên tục trênthỏa mãnthì

14.Cho hàm số liên tục trênthỏa mãn:thì

15. Cho hàm số liên tục trênthỏa mãn:thì

16.Cho hàm sốliên tục thỏa mãn:thì

17. Cho hàm số liên tục trênthỏa mãn :thì

18. Cho hàm sốliên tục thỏa mãn:thì

19. Cho hàm số liên tục trênthỏa mãn:thì

*] Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm hàm số liên tục trênthỏa mãn

Bài 2: Tìm hàm số liên tục trênthỏa mãn

Bài 3: Tìm hàm số liên tục trênthỏa mãn

với

Bài 4:Tìm hàm số liên tục trênthỏa mãn

Bài 5: Chứng minh rằng mọi hàmthỏa mãnkhi và chỉ khi

Bài 6: Tìm tấ cả các hàm sốthỏa mãn