Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: \[|z i| = 5\] và \[{z^2}\] là số thuần ảo?
A. 1
B. 0
C. 4
D. 2
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Gọi số phức cần tìm là \[z = a + bi\left[ {a,b \in R} \right]\], thay vào các hệ thức trong bài và tìm \[a,b \Rightarrow z\] .
Số phức \[z = a + bi\] là thuần ảo nếu a = 0 .
Công thức tính mô đun số phức \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \] .
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[z = a + bi\] ta có \[{z^2} = {a^2} {b^2} + 2abi\] .
Vì \[{z^2}\] là số thuần ảo nên ta có \[{a^2} {b^2} = 0\] [1]
Từ điều kiện \[|z i| = 5 \Leftrightarrow |a + bi i| = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {[b 1]^2} = 25\] [2]
Lấy [2] trừ [1] vế với vế ta được \[{[b 1]^2} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow 2{b^2} 2b 24 = 0 \Leftrightarrow {b^2} b 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.\]
Với b = 4 , từ [1] có \[a = \pm 4\]
Với b = -3 , từ [1] có \[a = \pm 3\]
Do đó có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.
Chọn C