Phương pháp áp dụng
Để giải và biện luận hệ đẳng cấp bậc hai: $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\,\,\,\,\,\,\,[1]\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}\,\,\,\,[2]\end{array} \right.$
ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: Xét At$^2$ + Bt + C = 0, nếu có nghiệm t0 thì thế x = t$_0$y vào hệ để xét hệ với một ẩn y.
* Chú ý: Với bài toán chứa tham số ta thường lựa chọn cách 2.
Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3xy + {y^2} = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\{x^2} + xy + 2{y^2} = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\end{array} \right.$.
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Khử số hạng tự do từ hệ ta được: x$^2$ + 9xy-22y$^2$ = 0 [3] Đặt x = ty, khi đó: [3] y$^2$[t$^2$ + 9t-22] = 0 $\left[ \begin{array}{l}y = 0\\t = 2\\t = - 11\end{array} \right.$. Ta lần lượt:
- Với y = 0, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = 15\\{x^2} = 8\end{array} \right.$ vô nghiệm..
- Với t = 2 ta được x = 2y, [2] y$^2$ = 1 $\left[ \begin{array}{l}{y_1} = 1\\{y_2} = - 1\end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\,\,\& \,\,{y_1} = 1\\{x_2} = - 2\,\,\& \,\,{y_2} = - 1\end{array} \right.$.
- Với t = -11 ta được x = -11y, [2] y$^2$ = $\frac{1}{{14}}$ $\left[ \begin{array}{l}{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_3} = - 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{x_4} = 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$.
Cách 2: Nhận xét rằng: nếu [x, y] là nghiệm của hệ thì y ≠ 0.
Khử số hạng x$^2$ từ hệ ta được: xy-3y$^2$ = -1 x = $\frac{{3{y^2} - 1}}{y}$ [4] Thay [4] vào [2], ta được: 14y$^4$-15y$^2$ + 1 = 0. [5] Đặt t = y$^2$, điều kiện t ≥ 0, ta được: [5] 14t$^2$-15t + 1 = 0 $\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1/14\end{array} \right.$.- Với t = 1, ta được: y$^2$ = 1 $\left[ \begin{array}{l}{y_1} = 1\\{y_2} = - 1\end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\,\,\& \,\,{y_1} = 1\\{x_2} = - 2\,\,\& \,\,{y_2} = - 1\end{array} \right.$.
- Với t = $\frac{1}{{14}}$, ta được: y$^2$ = $\frac{1}{{14}}$ $\left[ \begin{array}{l}{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_3} = - 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{x_4} = 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$.
Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[*]\\2{x^2} + 4xy - 2{y^2} = m\end{array} \right.$.
a. Giải hệ với m = 14. b. Tìm m để hệ có nghiệm.Nhận xét rằng nếu [x; y] là nghiệm của hệ thì x ≠ 0 [nếu trái lại [*] mâu thuẫn]. Từ [*] suy ra: y = $\frac{{{x^2} - 2}}{x}$. [**] Thay [**] vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 2x$^2$ + 4[x$^2$ - 2] - $\frac{{2{{[{x^2} - 2]}^2}}}{{{x^2}}}$ = m 4x$^4$ - mx$^2$ - 8 = 0. Đặt t = y$^2$, điều kiện t ≥ 0, ta được: f[t] = 4t$^2$ - mt - 8 = 0 [1] a. Với m = 14 thì hệ có nghiệm [2; 1] và [-2; -1]. b. Để hệ có nghiệm thì [1] phải có ít nhất một nghiệm không âm, điều này luôn đúng bởi ac = -32 < 0.Vậy, hệ có nghiệm với mọi m.
I. Nhận diện hệ phương trình có tính đẳng cấp:
Hệ phương trình có chứa một phương trình đẳng cấp [bậc của các số hạng như nhau] dạng \[ax^2+bxy+cy^2=0\]
Hoặc có thể cộng, trừ đại số để xuất hiện một phương trình đẳng cấp [làm cho hệ số tự do bằng 0]
II. Phương pháp giải:
- Xét riêng trường hợp y = 0 để tìm x
- Xét y khác 0, chia phương trình đẳng cấp cho y2, đặt t = x/y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x/y=t và kết hợp phương trình còn lại để tìm x và y
III. Các ví dụ:
1] Ví dụ1: Giải hệ pt: \[\begin{cases}x^2-2xy+3y^2=9\\2x^2-13xy+15y^2=0\end{cases}\]
Giải
Ta thấy phương trình thứ hai của hệ là dạng đẳng cấp bậc 2.
- Xét trường hợp y = 0, thay vào hệ ta có: \[\begin{cases}x^2=9\\2x^2=0\end{cases}\], không tồn tại x.
- Xét trường hợp y khác 0, chia cả hai vế phương trình thứ hai cho y2, ta có:
\[2\left[\frac{x}{y}\right]^2-13\frac{x}{y}+15=0\]
Đặt t = x/y, thay vào ta có: \[2t^2-13t+15=0\], giải ra ta có t=5 hoặc t=3/2
Với t = 5 => x = 5y, thay vào pt đầu của hệ ta được \[y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\Rightarrow x=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\]
Với t = 3/2 => x = 3/2 y, thay vào pt đầu ta được \[y^2=4\Rightarrow y=\pm2\]; \[\Rightarrow x=\pm3\]
Vậy các nghiệm của hệ là: \[\left[\frac{5\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right];\left[\frac{-5\sqrt{2}}{2};\frac{-\sqrt{2}}{2}\right];\left[3;2\right];\left[-3;-2\right]\]
2] Ví dụ 2:
Cho hệ pt: \[\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11\\x^2+2xy+3y^2=17+m\end{cases}\]
a] Giai hệ khi m = 0
b] Tìm m để hệ có nghiệm
Giải: Lấy pt thứ nhất nhân với 17 + m, phương trình thứ hai nhân với 11 thì ta được một phương trình đẳng cấp đối với x và y:
\[\left[40+3m\right]x^2+2\left[6+m\right]xy+\left[m-16\right]y^2=0\] [pt3]
a] Với m = 0, giải tương tự ví dụ 1, từ [pt3] tìm được x/y = 1/2 hoặc x/y=-4/5, kết hợp với pt đầu của hệ ta tìm được 4 nghiệm là:
\[\left[1,2\right];\left[-1,-2\right];\left[\frac{4\sqrt{3}}{3};\frac{-5\sqrt{3}}{3}\right];\left[\frac{-4\sqrt{3}}{3};\frac{5\sqrt{3}}{3}\right]\]
3] Ví dụ 3:
Giải hệ: \[\begin{cases}x^3+y^3=1\\x^2y+2xy^2+y^3=2\end{cases}\]
Lấy pt đầu nhân với 2, rồi trừ pt thứ hai cho pt thứ nhất ta được:
\[x^2y+2xy^2+y^3-2\left[x^3+y^3\right]=0\]
Hay là: \[-2x^3+x^2y+2xy^2-y^3=0\] [*]
pt [*] là đẳng cấp đối với x và y.
Xet y = 0 thì pt thứ hai của hệ không thỏa mãn [vì 0 = 2]
Với y khác 0, chia cả hai vế của [*] cho y3 và đặt t= x/y ta có:
\[-2t^3+t^2+2t-1=0\]
Hay là: \[-\left[2t-1\right]\left[t+1\right]\left[t-1\right]=0\] , Suy ra t = 1/2 hoặc t = 1 hoặc t = -1
=> x/y = 1/2 hoặc x/y = 1 hoặc x/y = -1
Kết hợp với pt đầu của hệ, ta tìm được các nghiệm là:
\[\left[\frac{1}{\sqrt[3]{2}};\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right];\left[\frac{\sqrt[3]{3}}{3};\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}\right]\]
TÀI LIỆU THAM KHẢO
phương pháp giải hệ phương trình
244 lượt xem
Giải hệ phương trình đẳng cấp là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
1. Hệ phương trình đẳng cấp
- Hệ phương trình đẳng cấp là những hệ chứa những yếu tố đẳng cấp hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia thì tạo ra phương trình đẳng cấp
Ta thường gặp dạng hệ này dưới các dạng như sau:
2. Cách giải hệ đẳng cấp
Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n
Từ đó ta xét hai trường hợp:
y = 0 thay vào để tìm x
y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình
Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y
3. Bài tập giải hệ phương trình đẳng cấp
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Biến đổi hệ phương trình như sau:
Nhận thấy rằng nếu nhân chèo hai phương trình cua hệ ta được:
Từ đó ta có lời giải như sau:
Vì x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên ta đặt y = tx. Khi đó hệ phương trình trở thành:
Với
Với
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm [x; y] = [3; 1] = [-3; -1] =
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
Từ phương trình thứ nhất ta có:
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
Đây là phương trình đẳng cấp đối với
Đặt
Với t = 1 ta có y = x2 + 2 thay vào phương trình thứ nhất cuat hệ ta thu được x = -1 => y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] = [1; -3]
4. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 2
Bài 1: Giải hệ phương trình
Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình:
5. Giải hệ phương trình đối xứng
Giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Giải hệ phương trình đối xứng loại 2
------------------------------------------------
Hy vọng tài liệu Hướng dẫn giải hệ phương trình đẳng cấp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9
Cập nhật: 16/03/2022