Giải và biện luận theo tham số m phương trình m3x m2 4 4m x − 1

m2x + 6 = 4x + 3m

⇔ m2.x – 4x = 3m – 6

⇔ [m2 – 4].x = 3m – 6 [2]

+ Xét m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, phương trình [2] có nghiệm duy nhất:

+ Xét m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2

     ● Với m = 2, pt [2] ⇔ 0x = 0 , phương trình có vô số nghiệm

     ● Với m = –2, pt [2] ⇔ 0x = –12, phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

     + m = 2, phương trình có vô số nghiệm

     + m = –2, phương trình vô nghiệm

     + m ≠ ±2, phương trình có nghiệm duy nhất 

Đáp án:

a] m[x – 2] = 3x + 1

⇔ mx – 2m = 3x + 1

⇔ mx – 3x = 1 + 2m

⇔ [m – 3].x = 1 + 2m [1]

+ Xét m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, phương trình [1] có nghiệm duy nhất X=$\frac{2m+1}{m-3}$

+ Xét m – 3 = 0 ⇔ m = 3, pt [1] ⇔ 0x = 7. Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ với m = 3, phương trình vô nghiệm

+ với m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất X=$\frac{2m+1}{m-3}$

b] $m^{2}$x + 6 = 4x + 3m

⇔ $m^{2}$ .x – 4x = 3m – 6

⇔ [m2 – 4].x = 3m – 6 [2]

+ Xét $m^{2}$ – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, phương trình [2] có nghiệm duy nhất:

X= $\frac{3m-6}{m^2-4}$ =$\frac{2.[m-2]}{[m-2][m+2]}$ =$\frac{3}{m+2}$

+ Xét m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2

● Với m = 2, pt [2] ⇔ 0x = 0 , phương trình có vô số nghiệm

● Với m = –2, pt [2] ⇔ 0x = –12, phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ m = 2, phương trình có vô số nghiệm

+ m = –2, phương trình vô nghiệm

+ m ≠ ±2, phương trình có nghiệm duy nhất Giải bài 2 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

c] [2m + 1]x – 2m = 3x – 2

⇔ [2m + 1]x – 3x = 2m – 2

⇔ [2m + 1 – 3].x = 2m – 2

⇔ [2m – 2].x = 2m – 2 [3]

+ Xét 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, pt [3] có nghiệm duy nhất X=$\frac{2m-2}{2m-2}$ =1

+ Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, pt [3] ⇔ 0.x = 0, phương trình có vô số nghiệm.

Kết luận :

+ Với m = 1, phương trình có vô số nghiệm

+ Với m ≠ 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Giải và biện luận phương trình bậc nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Giải và biện luận phương trình bậc nhất: Giải và biện luận phương trình bậc nhất. Phương pháp giải: a] a khác 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất x = − b. b] a = 0 và b khác 0: Phương trình vô nghiệm. c] a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x. BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m. Ta xét các trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Khi m khác ±1, ta có m2 − 1 khác 0 nên [2] có nghiệm. Đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Trường hợp 2: Khi m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình này có nghiệm đúng với mọi số thực x nên phương trình [1] cũng có nghiệm đúng với mọi số thực x. Trường hợp 3: Khi m = −1, phương trình [2] trở thành 0.x = −4. Phương trình này vô nghiệm nên phương trình [1] cũng vô nghiệm. Kết luận: Với m khác ±1: [1] có nghiệm duy nhất x = 2. Với m = −1: [1] vô nghiệm. Với m = 1: [1] có vô số nghiệm. Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình 2x + a. Phương trình trên được viết lại dưới dạng. Trường hợp 1: Nếu a khác 0 thì [2] ⇔ x = 2a. Trường hợp 2: Nếu a = 0 thì [2] ⇔ 0.x = 0, phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x. Kết luận: Với a khác 0 và a khác ±2 thì phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1. Với a = 0 thì phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x. Với a = ±2 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R. Phương trình đã cho viết dưới dạng [m3 + 1]x = m + 1 [2]. Do đó, phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm R ⇔ m3 + 1 = 0, m + 1 = 0 ⇔ m = −1. Vậy với m = −1 thì phương trình [1] có tập nghiệm là R. Ví dụ 4. Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x > 2. Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng x = 3m + 1. Phương trình [1] có nghiệm x > 2 khi và chỉ khi 3m + 1 > 2 ⇔ m > 1. Vậy m > 1 thỏa yêu cầu bài toán. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Giải và biện luận phương trình [m2 + 4]x − 3m = x − 3 [1]. Lời giải. Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng [m2 + 3]x = 3m − 3 [2]. Vì m2 + 3 > 0, với mọi giá trị thực của m nên phương trình [2] có 1 nghiệm duy nhất là x = 3m − 3. Bài 2. Giải và biện luận phương trình m[x − 2m] = x + m + 2 [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 1]x = 2m2 + m + 2 [2]. Với m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 5. Điều này vô lí, phương trình đã cho vô nghiệm. Với m khác 1, phương trình có nghiệm duy nhất là x = m − 1. Bài 3. Giải và biện luận phương trình m2x + 2 = x + 2m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − 1]x = 2m − 2. [2]. Với m khác ±1, phương trình [2] có nghiệm duy nhất x = 2m − 2. Với m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình đúng với mọi số thực x. Với m = −1, phương trình [2] trở thành 0.x = −4. Điều này vô lí nên phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 4. Giải và biện luận phương trình m2x + 1 = [m − 1] x + m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − m + 1]x = m − 1. [2]. Vì m2 − m + 1 khác 0, ∀x ∈ R nên phương trình [2] luôn có nghiệm duy nhất x = m − 1. Bài 5. Giải và biện luận phương trình m2x + 6 = 4x + 3m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − 4]x = 3m − 6. [2]. Với m khác ±2, phương trình [2] có nghiệm duy nhất x = 3m − 6. Với m = 2, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình đúng với mọi số thực x. Với m = −2, phương trình [2] trở thành 0.x = −12. Điều này vô lí nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6. Tìm giá trị tham số m để phương trình m2[mx − 1] = 2m [2x + 1] [1] có tập nghiệm là R. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng. Phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm là R. Bài 7. Tìm giá trị tham số m để phương trình m[x − m + 3] = 2 [x − 2] + 6 [1], có tập nghiệm là R. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 2]x = m2 − 3m + 2. [2]. Phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm là R. Bài 8. Tìm giá trị tham số m để phương trình m[x − m + 3] = 2 [x − 2] + 6 [1] có nghiệm duy nhất. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 2]x = m2 − 3m + 2. [2]. Phương trình [1] có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình [2] có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m − 2 khác 0 ⇔ m khác 2.

§2. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨNA. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOAI.Phƣơng trình bậc nhất một ẩn là phƣơng trình có dạng:ax  b  0  a  0  [1] với x là ẩn, a ≠ 0. b abaTa có: 1  x   . Do đó tập nghiệm của [1] là S    .II.Phƣơng trình bậc hai một ẩn là phƣơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 với x là ẩn, a ≠ 01. Công thức nghiệm  b2  4ac .Nếu   0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 Nếu   0 : phương trình có 1 nghiệm [kép] x  b  2ab.2aNếu   0 : phương trình vô nghiệm2. Định lí Vi–étNếu hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 thì chúng thỏa mãncác hệ thức x1  x2  bcvà x1 x2  .aa3. Ứng dụng của định lí Vi–éta] Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:Đặc biệt: a + b + c = 0 ⇒ x1 = 1 và x2 =c.acaa – b + c = 0 ⇒ x1 = – 1 và x2 = – .b] Phân tích đa thức thành nhân tử:Nếu đa thức f  x   ax 2  bx  c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tửf  x   a  x  x1  x  x2  .c] Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình x2  Sx  P  0d] Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:1Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 [x1 ≤ x2].Đặt S  cbvà P  . Khi đó:aaNếu P < 0 thì x1 < 0 < x2 [ hai nghiệm trái dấu]Nếu P > 0 và S > 0 thì 0 < x1 ≤ x2 [ hai nghiệm dương]Nếu P > 0 và S < 0 thì x1 ≤ x2 < 0 [ hai nghiệm âm]B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁNVấn đề 1: Giải và biện luận phƣơng trình dạng ax + b = 01. Phƣơng phápa] Giả sử hai hệ số a và b chứa tham số m. Ta xét các trường hợp sau:1] a ≠ 0: nghiệm duy nhất x = ba2] a = 0 và b ≠ 0: phương trình vô nghiệm.3] a = 0 và b = 0: phương trình có tập nghiệm là ℝ.b] Trong trường hợp bài toán có kèm theo điều kiện, thì ta cần so sánh nghiệm với điều kiện.2. Ví dụGiải và biện luận phương trình: m2x – 4 = 16x + m[1]Giải2Phương trình [1] ⇔ [m – 16]x = m + 4 m2 – 16 ≠ 0 ⇔ m ≠ 4 và m ≠ –4:Phương trình có nghiệm duy nhất là x m412m  16 m  4 m2 – 16 = 0 ⇔ m = ± 4:Với m = 4: phương trình trở thành 0x = 8 nên phương trình vô nghiệm.Với m = –4: phương trình trở thành 0x = 0 nên phương trình có nghiệm x tùy ý. 1 .m  4Kết luận: *m ≠ –4 và m ≠ 4: S = *m = 4 : S = Ø.*m = –4: S = ℝ.3. Bài tập1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:a] 2[m – 1]x – m[x – 1] = 2m – 3b] 3[m + 2]x + 4 = 2x + 5[m + 2]c] m2[x – 1] = x – 3m + 2d] m2x – 9 = 9mx + 3m.Giải2Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!a] 2[m –1]x – m[x –1] = 2m – 3 [1][1] ⇔ 2mx – 2x – mx + m = 2m – 3⇔ [m – 2]x – m + 3 = 0. a = m – 2 = 0 ⇔ m=2:[1] ⇔ 0x + 1 = 0 ⇔ x ∈ Ø. a = m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2:[1] ⇔ x =3 m.m2Kết luận: *m = 2: S = Ø.3  m .m  2* m ≠ 2: S = b] 3[m + 2]x + 4 = 2x + 5[m + 2] [2][2] ⇔ 3mx + 6x – 3x + 5 – 5m – 10 = 0⇔ [3m + 3]x – 5m – 5 = 0. a = 3m + 3 = 0 ⇔ m = –1:[2]⇔ 0x + 0 = 0 ⇔ x ∈ ℝ. a = 3m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ –1:[2]⇔ x 5m  5 5 .3m  3 3Kết luận: *m = –1: S = ℝ.53*m ≠ –1: S =  c] m2[x – 1] = x – 3m + 2 [3][3]⇔ [m2 – 1]x –m2 + 3m –2 = 0* a = m2 – 1 = 0 ⇔ m = ± 1:* m = 1: [3]⇔ 0x + 0 = 0 ⇔ x ∈ ℝ.* m = ––1: [3]⇔ 0x + 6 = 0 ⇔ x ∈ Ø.* a = m2 –1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1:m2  3m  2 m  2[3]⇔ x .m2  1m 1Kết luận: *m = 1: S = ℝ.3Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!*m = –1: S = Ø.m  2. m 1*m ≠ –1 và m ≠ 1: S = d] m2x – 9 = 9mx + 3m[4][4]⇔ [m2 – 9m]x – 3m – 9 = 0. a = m2 – 9m = 0 ⇔ m = 9 hay m = 0:*m = 9: [4] ⇔ 0x – 36 = 0 ⇔ x ∈ Ø.*m = 0: [4] ⇔ 0x – 9 = 0 ⇔ x ∈ Ø. a = m2 – 9m ≠ 0 ⇔ m ≠ 9 và m ≠ 0:[4]⇔ x =3m  9.m 2  9mKết luận: *m = 0 hay m = 9: S = Ø. 3m  9 .2 m  9m *m ≠ 0 và m ≠ 9: S = 2. Giải và biện luận các phương trình:a]m[m 2  1] x  m[m  1]b] x m  2  m  2.c][m  1] x  m  1[m  2] x m 2  4d].m 1m 1Giảia]m[m  1] x  m[m  1]2[1] a = m[m –1] = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = ±1:*m = 1: [1] ⇔ 0x = 2 ⇔ x ∈ Ø.*m = –1: [1] ⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.*m = 0: [1] ⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.2 a = m[m2 – 1] ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ ±1:[1]⇔ x m[m  1]1m[m 2  1] m  1Kết luận: *m = 0 hay m = –1: S = ℝ.*m = 1: S = Ø.4Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! 1 . m  1*m ≠ 0; m ≠ 1 và m ≠ –1: S = b] x m  2  m  2.[2]*a  m  2  0  m  2 :[2]  0x  0  x  .*a  m  2  0  m  2 :m2[2]  x  m  2.m2KL :*m  2 : S  .*m  2 : S  .*m  2 : S m2c][m  1]x  m  1[3]*a  m  1  0  m  1:[3]  0x  0  x  .*a  m  1  0  m  1m 11.m 1m 1KL :*m  1: S  .*m  1: S  [3]  x  1 *m  1: S   m 1[m  2]x m 2  4d].[4]m 1m 1[4]  [m  2]x  m 2  4[m  1]*a  m  2  0  m  2 :[4]  0x  0  x  .*a  m  2  0  m  0;m  1:m2  4 m  2.m2KL :*m  2 : S  .*m  1: S  [4]  x *m  2;m  1: S  m  25Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!3.a]b]c]d]Giải và biện luận các phương trình:m2[x – 1]= 2 – 2x2x[m – 1]=m[x–1]+m2–2m3x+1=m2[x+1][x–1]m2–[2x+1]m+x+2=0.Giải2a] m [x – 1] = 2 – 2x[1][1]⇔[m2 + 2]x – m2 – 2 = 0.Ta có ∀ m ∈ ℝ thì a = m2 + 2 ≠ 0 nênm2  2[1]⇔ x  2 1.m 2b] 2x[m – 1]=m[x–1]+m2–2[2][2]⇔ [m – 2]x = m2 – m – 2*a = m – 2 = 0 ⇔ m = 2:[2]⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.*a = m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2:[2] ⇔ x m2  m  2 m 1.m2Kết luận: *m = 2: S = ℝ.*m ≠ 2: S = {m + 1}.c] m3x+1=m2[x+1][3][3]⇔ [m3 – m2]x = m2 – 1*a = m3 – m2 = 0 ⇔ m = 1 hay m = 0:Khi m = 0: [3] ⇔ 0x = –1 ⇔ x ∈ Ø.Khi m = 1: [3] ⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.*a = m3 – m2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 và m ≠ 0:m2  1 m  1[3] ⇔ x  3.m  m2m2Kết luận: *m = 1: S = ℝ.*m = 0: S = Ø.6Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! m  12  m *m ≠ 1 và m ≠ 0: S = d] [x–1]m2–[2x+1]m+x+2=0[4][4]⇔ [m2 – 2m + 1]x – m2 – m + 2 = 0 ⇔ [ m – 1]2x – [m – 1][m + 2] = 0.*a = [m – 1]2 = 0 ⇔ m =1:[4] ⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.*a = [m – 1]2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1:m2  m  2 m  2[4] ⇔ x .[m  1]2m 1Kết luận: *m = 1: S = ℝ.m  2. m 1 *m ≠ 1: S = 4. Giải và biện luận phương trình:x  a x  b 2b[x  a] 2 0 [a   b]ab aba  b2Giảix  a x  b 2b[x  a] 2 0 [a   b]ab aba  b2⇔ [x – a][a + b] + [x – b][a – b] + 2b[x + a] = 0⇔ [2a + 2b]x – a2 – ab – ab + b2 + 2ab = 0⇔ 2[a + b]x = a2 – b2.a 2  b2 a  bVì a ≠ ± b nên phương trình có nghiệm duy nhất là x=.2[a  b]2Vấn đề 2: Định m để phƣơng trình ax + b = 0 thỏa điều kiện về tập nghiệm1. Phƣơng pháp: Xét phương trình ax + b = 0 [1].a  0b  0a] [1] có tập nghiệm là ℝ ⇔ 7Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!a  0b  0b] [1] vô nghiệm ⇔ c] [1] có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0.a  0d] [1] có nghiệm⇔  a  0  b  02. Các ví dụVí dụ 1: Định m để phương trình sau có tập nghiệm là ℝ.m2[x – 1] + 3x = 4mx – 9 [1].Giải22Ta có [1] ⇔ [m – 4m + 3]x + 9 – m = 0; a = m2 – 4m + 3; b = 9 – m2.m 2  4m  3  0a  0Do đó: [1] có tập nghiệm là ℝ  2b  0 9  m  0m  1 hay m = 3m3m=3haym=3Vậy m thỏa yêu cầu bài toán ⇔ m=3.Ví dụ 2: Cho phương trình m3x – m2[3x – 1] + 3[x + 1] + 4m = mx [2].Định m để phương trình [2] vô nghiệm.GiảiTa có:[2]⇔ m3x – 3m2x + m2 + 3x + 3 + 4m = mx⇔ [m3 – 3m2 – m + 3]x + m2 + 4m + 3 = 0.[a = m3 – 3m2 – m + 3 = [m2 – 1][m – 3], b = m2 + 4m + 3]Do đó [2] vô nghiệm[m 2  1][m  3]  0a  0m  1  m  1  m  3 m  1 2b  0 m  4m  3  0m  1  m  3m  3Vậy m thỏa yêu cầu là m = 3 hoặc m = 1.Ví dụ 3: Cho phương trình m2[x + 1] = 2[2x – 1] + 3m [3].Định m để phương trình [3] có nghiệm.GiảiTa có:[3]⇔ [m2 - 4]x + m2 – 3m + 2 = 0[a = m2 – 4 và b = m2 – 3m + 2][3] có nghiệm8Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!m2  4  0a  0 m  2  m  2 m  2  m  2  a  0   m 2  4  0  m  2  m  2   m  2 .m2 b  0  m 2  3m  2  0 m  1  m  2Vậy [3] có nghiệm ⇔ m ≠ –2.3. Bài tập1. Định m để các phương trình sau vô nghiệm:a] [m + 1]x – [x + 2m] = 4b] [m + 1]2x – 2 = [4m + 9]x + mc] m2[x – 1] = 2[2x – m – 4]d] [4m2 – 2]x = 1 + 2m – xGiảia] [m + 1]x – [x + 2m] = 4 [1]⇔ mx – 2m – 4 = 0a  0m  0m0b  0 2m  4  0Ta có: [1 ] vô nghiệm ⇔ b] [m + 1]2x – 2 = [4m + 9]x + m [2]⇔ [m2 – 2m – 8]x – m – 2 = 0m 2  2m  8  0a  0m4Ta có: [2 ] vô nghiệm ⇔ b  0 m  2  0c] m2[x – 1] = 2[2x – m – 4][3]⇔ [m2 – 4]x – m2 + 2m + 8 = 0m 2  4  0a  0 2 m  4Ta có: [3 ] vô nghiệm ⇔ b  0 m  2m  8  0d] [4m2 – 2]x = 1 + 2m – x[4]⇔ [4m2 – 1]x – 2m – 1 = 04m 2  1  0a  01m .Ta có: [4 ] vô nghiệm ⇔ 2b  0 2m  1  02. Xác định các giá trị của tham số để các phương trình sau có tập nghiệm là ℝ:a] m2x + m + 2 = m2 + 4xb] a[x + 1] + b[2x – 1] = x – 29Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!c] m2x – m = 4x – 2d] m2[x – 1] = 9x + m – 6Giải22a] m x + m + 2 = m + 4x [1]⇔ [m2 – 4]x – m2 + m + 2 = 0m 2  4  0a  0 2m2Ta có : [1] có tập nghiệm là ℝ ⇔ b  0 m  m  2  0b] a[x + 1] + b[2x – 1] = x – 2[2]⇔ [a + 2b – 1]x + a – b + 2 = 0a  2b  1  0 a  1ab20b  1Ta có : [2] có tập nghiệm là ℝ ⇔ c] m2x – m = 4x – 2[3]⇔ [m2 – 4]x – m + 2 = 0m 2  4  0a  0m2Ta có : [3] có tập nghiệm là ℝ ⇔ b0m20d] m2[x – 1] = 9x + m – 6 [4]⇔ [m2 – 9]x – m2 – m + 6 = 02a  0m  9  0 2 m  3 .Ta có : [4] có tập nghiệm là ℝ⇔ b0mm60Định m để các phương trình sau có nghiệm:m2x = 4x + m2 + m –2m2[x – 1] = x – mm[x – m] = x – mm[x – 1] = x – m2Giải22a] m x = 4x + m + m –23.a]b]c]d]⇔ [m2 – 4]x – m2 – m + 2 = 0[1]m 2  4  0a  0 2 m  2Ta có [1] vô nghiệm ⇔ b  0 m  m  2  0Do đó [1] có nghiệm ⇔ m ≠ –210Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!b] m2[x – 1] = x – m⇔ [m2 – 1]x – m2 + m = 0[2]m 2  1  0a  0 2 m  1Ta có [2] vô nghiệm ⇔ b0mm0Do đó [2] có nghiệm ⇔m ≠ –1c] m[x – m] = x – m⇔ [m – 1]x – m2 + m = 0[3]m  1  0a  0 2 m b  0 m  m  0Ta có [3] vô nghiệm ⇔ Do đó [3] có nghiệm ⇔ m ∈ ℝ.d] m[x – 1] = x – m2⇔ [m – 1]x + m2 – m = 0[4]m  1  0a  0 2 m b  0 m  m  0Ta có [4] vô nghiệm ⇔ Do đó [4] có nghiệm ⇔ m ∈ ℝ.Vấn đề 3: Giải và biện lụn phƣơng trình dạng ax2 + bx + c = 01. Phƣơng pháp Trường hợp a = 0: Ta giải phương trình bx + c = 0 Trường hợp a ≠ 0: Ta tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac.*∆ > 0: [1] có hai nghiệm phân biệt là x1,2 *∆ = 0: [1] có một nghiệm [kép] là x  b  .2ab2a*∆ < 0: [1] vô nghiệm.2. Các ví dụVí dụ 1: Cho phương trình [m + 1]x2 – 2[m + 1]x + m – 3 = 0 [1]Giải và biện luận phương trình [1] theo tham số m.Giải11Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a = 0 ⇔ m = –1:[1]⇔ 0x – 4 = 0; Phương trình vô nghiệm a ≠ 0 ⇔ m ≠ –1:∆’ = 4m + 4.*∆’ > 0 ⇔ m > –1:[1] có hai nghiệm phân biệt là x1,2 m  1  4m  4.m 1*∆’ < 0 ⇔ m < –1:[1] vô nghiệm.Kết luận:*m > –1: [1] có hai nghiệm phân biệt là x1,2 m  1  4m  4.m 1*m ≤ – 1: [1] vô nghiệm.Ví dụ 2: Cho phương trìnhx2  2[m  1]x  m2  30x2[2].Giải và biện luận phương trình [2].Giảix 2  2[m  1]x  m 2  3  0 [3][2]  x  2Ta có [3] có a = 1 ≠ 0 và ∆’ = 2m – 2. ∆’ < 0 ⇔ m < 1:[3]vô nghiệm nên [2] vô nghiệm ∆’ = 0 ⇔ m = 1:[3]⇔ x  b' m  1 2 [loại]a1 ∆’ > 0 ⇔ m > 1:[3]có hai nghiệm phân biệt là12Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!x1  m  1  2m  2;x 2  m  1  2m  2Ta thấy: Với m > 1 thì x2 > 2.Lại có x1  2  m  1  2m  2  2 2m  2  m  1 m  1[ 2  m  1]  0 2  m 1  0 m 1  2  m  3Do đó: + m > 3: [2] có hai nghiệm phân biệt là x1, x2.+1 < m ≤ 3: [2] có một nghiệm là x = x2Kết luận: *m ≤ 1: S = Ø.*1 < m ≤ 3: S = {m + 1 +*m > 3: S = {m + 1 –2m  2 }.2m  2 ; m + 1 +2m  2 }.3. Bài tập1. Giải các phương trìnha]x 2  [2  2]x  2 2  0b]x 2  5[ 2  1]x  5 2  0c]x 2  [2m  1]x  m[m  1]  0d]x 2  2x  1  4m 2  0e]x 2  [m  2]x  1  m  0f]x 2  [m 2  1]x  m 2  2  0Giảia]x  [2  2]x  2 2  02  [2  2]2  4.[2 2]  [2  2]2  0Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:x132 2 2 22  2  [2  2] 2;x  222Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!b]x 2  5[ 2  1]x  5 2  025[ 2  1]  4.5 2  5[3  2 2]  20 2 5[3  2 2] 25[ 2  1] .Do đó phương trình có hai nghiệm:x5[ 2  1]  5[ 2  1]5[ 2  1]  5[ 2  1] 5;x  10.22c]x 2  [2m  1]x  m[m  1]  0  [2m  1]2  4m[m  1]  1  0, m.Do đó phương trình có hai nghiệm:x2m  1  12m  1  1 m  1;x m22d]x 2  2x  1  4m 2  0 '  1  [1  4m 2 ]  4m 2 .*m = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 1.*m ≠ 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt làx = 1 + 2m; x = 1 – 2m.e]x 2  [m  2]x  1  m  0Phương trình có dạng a – b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm là:x = –1 ; x = m – 1.f]x 2  [m 2  1]x  m 2  2  0Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm là:x = 1; x = m2 – 2.2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m hoặc k:a]mx 2  2[m  3]x  m  3  0b][m  1]x 2  2[2m  1]x  4m  1  0c]3mx 2  [4  6m]x  3[m  1]  0d][k 2  5k  36]x 2  2[k  4]x  1  0e][x  1][[k  1]x  4]  0f][mx  2][[m  2]x  2]14Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!Giảia]mx 2  2[m  3]x  m  3  0 [1] a = m = 0:[1]⇔ –6x + 3 = 0 ⇔ x =1.2 a = m ≠ 0:∆’ = [m + 3]2 – m[m + 3] = 9 + 3m.*m < –3: ∆’ < 0 nên [1] vô nghiệm.*m = –3: ∆’ = 0 nên [1] có nghiệm kép là x = 0.*m > –3: ∆’ > 0 nên [1] có hai nghiệm phân biệt là x1,2 m  3  3m  9.m1 2 Kết luận: *m = 0: S =  *m = –3: S = {0}*m < –3: S = Ø. m  3  3m  9 m*m > –3 và m ≠ 0: S = b][m  1]x 2  2[2m  1]x  4m  1  0*a  m  1  0  m  1:5[2]  2x  5  0  x 2*a  m  1  0  m  1:[2] '  [2 m  1]2  [m  1][4m  1]  2  m*m < –2: ∆’ < 0 nên [2] vô nghiệm.*m = –2: ∆’ = 0 nên [2] có nghiệm kép là x 2m  1 3.m 1*m > –2: ∆’ > 0 nên [2] có hai nghiệm phân biệt là x1,2 152m  1  m  2mTruy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!5KL :*m  1: S   2 *m  2 : S  3*m  2 : S   2m  1  m  2 *m  2;m  1: S  mc]3mx 2  [4  6m]x  3[m  1]  0*a  3m  0  m  0 :4[3]  4x  3  0  x 3*a  3m  0  m  0 :[3] '  [2  3m]2  3m[3m  3]  3m  4.*m >4: ∆’ < 0 nên [3] vô nghiệm3*m =3m  2 14 .: ∆’ = 0 nên [3] có nghiệm kép là x 3m23*m 0 nên [3] có hai nghiệm phân biệt là x1,2 3m34KL :*m  0 : S   341 *m  : S   32 4*m  : S  3 3m  2  4  3m 4*m  ;m  0 : S  33m16Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!d][k 2  5k  36]x 2  2[k  4]x  1  0[4]*a  k 2  5k  36  0  k  9  k  41*k=9:[4]  26x  1  0  x  .26*k  4 : [4]  0x  1  0  x .*a  k 2  5k  36  0  k  9;k  4 : '  [k  4]2  [k 2  5k  36]  13k  52.*k < –4: ∆’ < 0 nên [4] vô nghiệm.*k > –4: ∆’ > 0 nên [4] có hai nghiệm phân biệt làx1,2 k  4  13k  52k 2  5k  36Kết luận: 1*k  9 : S    26 *k  4 : S   k  4  13k  52 *k  4;k  9 : S  2 k  5k  36 e][x  1][[k  1]x  4]  0[5]x  1[5]  [k  1]x  4 [5a]*k  1: [5a]  0x  4  x .4*k  1: [5a]  x  x0.k 1[5a] có nghiệm x = 1 ⇔ k + 1 = 4 ⇔ k = 3.Do đó : +k = 3: x0 = 1 ⇒ [5] có một nghiệm là x = 1+k ≠ 3: x0 ≠ 1 ⇒ [5] có hai nghiệm là x = 1; x =4.k 1Kết luận:17Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!*k  1 hay k  3 : S  1. 4 *k  1;k  3 : S  1; k  1f][mx  2][[m  2]x  2][6][6a] mx  2  0[6]  [6b][m  2]x  2  00x  2  0*m  0 : [6]   x  1.2x202x  2  0*m  2 : [6]   x  1.0x2022*m  0;m  2 : [6]  x1 hay x 2 .m2mTa có: x1 = x2 ⇔ m = 2 – m ⇔ m = 1. Khi đó x1= x2 = 2.Do đó: m = 1: [6] ⇔ x = 2.m ≠ 1: [6] ⇔ x = x1 hay x = x2.*m  0 hay m=2 : S  1Kết luận: *m  1: S  2*m  0;m  1;m  2 : S  x1;x 2 3. Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:a] mx2 – [1 – 2m]x + m + 4 = 0b] [m – 2]x2 + 2[m – 3]x + m – 5 = 0c] [x – 2][[m – 1]x + 2] = 0.d] [mx – 3][[m + 1]x – 3] = 0.Giải2a] mx – [1 – 2m]x + m + 4 = 0[1]m  0a  02  0 [1  2m]  4m[m  4]  0[1]có hai nghiệm phân biệt  m  01 m  ;m  02020m  1  0b] [m – 2]x2 + 2[m – 3]x + m – 5 = 018[2]Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!m  2  0a  02  0 [m  3]  [m  2][m  5]  0[2]có hai nghiệm phân biệt  m  2m  1m  1  0 m  2c] [x – 2][[m – 1]x + 2] = 0.x  2[m  1]x  2  0[3]  [3][3a][3] có hai nghiệm phân biệt ⇔ [3a] có nghiệm duy nhất khác 2.m  1  0m  1[m  1].2  2  0m  0d] [mx – 3][[m + 1]x – 3] = 0. mx  3  0[m  1]x  3  0[4]  [4][4a].[4b][4] có hai nghiệm phân biệt ⇔ [4a] và [4b] có nghiệm duy nhất khác nhau.m  0m  0 m  1  0  m  133 m m 14. Cho hai phương trình: x2 + 2x – m = 0 [1] và x2 – 3x + 4m = 0 [2].Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. Suy ra giá trị của m để phương trình [x2+ 2x – m][ x2 – 3x + 4m] = 0 có bốn nghiệm phân biệt.GiảiXét phương trình: x2 + 2x – m = 0 [1] và x2 – 3x + 4m = 0 [2].x02  2x0  m  0*[1] và [2] có nghiệm chung x0   2x0  3x0  4m  0x 0  m5x0  5m  0 2 2 m  0  m  1.x2xm0mm0 0019Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!Với m = 0 thì [1] ⇔ x = 0 hay x = –2; [2] ⇔ x = 0 hay x = 3. Do đó [1] và [2]chung là x = 0cónghiệmVới m = –1 thì [1] ⇔ x = –1; [2] ⇔ x = –1 hay x = 4. Do đó [1] và [2] có nghiệm chung là x = –1.Vậy [1] và [2] có nghiệm chung ⇔ m = 0 hay m = –1.x 2  2x  m  0[*][x + 2x – m][ x – 3x + 4m] = 0   2x3x4m022Do đó:[*]có bốn nghiệm phân biệt⇔ [1] và [2] cùng có hai nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung. '[1]  0 m  1  09 [2]  09  16m  0 1  m 16 .m0m  0m  0m  1m  15. Tìm các hệ số m và k trong phương trình x2 + mx + k = 0, biết rằng phương trình có hainghiệm phân biệt lần lượt là m và k.Giải2Phương trình x + mx + k = 0 có hai nghiệm phân biệt lần lượt là m và km 2  m.m  k  0  k  2m 2m  1  k 2  mk  k  0  4m 4  2m 3  2m 2  0   k  2m  km  k6. Cho hai phương trình x2 – 8x + 4m =0 [1] và x2 + x – 4m = 0 [2].Xác định m để một trong các nghiệm của [1] gấp đôi một nghiệm của [2].Giải22Xét x – 8x + 4m =0 [1] và x + x – 4m = 0 [2].Giả sử [1] có nghiệm x1 gấp hai nghiệm x0 của [2] ⇒ x1 = 2x0Khi đó ta có:x02  x0  4m  05x02  15x0  0 x0  0x0  3hay22[2x0 ]  8[2x0 ]  4m  0 4m  x0  x0m  0m  3.Với m = 0:20Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất![1] ⇔ x2 – 8x = 0 ⇔ x1 = 0 hay x2 = 8.[2] ⇔ x2 +x = 0 ⇔ x3= 0 hay x4 = –1.Ta thấy x1 = 2x3 nên m = 0 nhậnVới m = 3:[1] ⇔ x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ x1 = 2 hay x2 = 6.[2] ⇔ x2 +x – 12 = 0 ⇔ x3= 3 hay x4 = –4.Ta thấy x2 = 2x3 nên m = 3 nhậnVậy m = 0 hoặc m = 3.7. Tìm k nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình:x2 – 2[k + 2]x + k + 14 = 0 có hai nghiệm phân biệt.Giải*Phương trình có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆’ > 0 ⇔ [k + 2]2 – k – 14 > 0 ⇔ k2 + 3k – 10 > 0⇔ [k + 5][k – 2] > 0 ⇔ k < –5 hoặc k > 2Vì k là số nguyên dương nhỏ nhất nên k = 3.8. Cho phương trình x2 – 2[m – 2]x + m2 – 12 = 0 [1].Định m để phương trình [1] có hai nghiệm:a] Có giá trị tuyệt đối bằng nhaub] Có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau.Giảia] Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x1| = |x2 | '  0 x1  x 2 hay x1  x 2   '  0 hay S  04m  16  0 4m  16  0 hay m  2  0 m  4 hay m  2.b] Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x1| và |x2 | là nghịch đảo của nhau:21Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! '  0 x1.x 2  1  P  1 hay P  14m  16  0 22m  12  1 hay m  12  1m  4 m   13 hay m=  11m   13 hay m=  11Vấn đề 4: Dùng phƣơng pháp đồ thị để biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc hai1. Phƣơng phápGiả sử phương trình được biến đổi về dạng ax2 + bx + c = m [1]trong đó a, b, c là những số cho trước với a ≠ 0, còn m là tham số.Bước 1: Ta nói rằng phương trình [1] là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị [P]: y = ax2+ bx + c và [d]: y = m.Số nghiệm của phương trình [1] bằng số giao điểm của [d] và [P].Bước 2: Vẽ parabol [P]: y = ax2 + bx + c và đường thẳng [d] : y = m trong cùng hệ trục tọa độ.Đường thẳng [d] song song hoặc trùng với Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ m.Bước 3: Quan sát đồ thị, tùy theo giá trị của m, ta xác định được số giao điểm của hai đồ thị, từ đósuy ra số nghiệm của phương trình [1].22Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!2. Các ví dụVí dụ 1: Cho phương trìnhx  1[x2  4x  1  m]  0[1]a] Xác định m để phương trình [1] có nghiệm.b] Xác định m để phương trình có hai nghiệm phn biệtGiảix  1Ta có: [1]  2x  4x  1  m [2]Phương trình [2] là phương trình hoành độ giao giiểm của hai đường:*[d]: y = m là đường thẳng song song với Ox, cắtOy tại điểm có tung độ m.*[P]: y = x2 – 4x + 1 là parabol ứng với x ≥ 1, cóđỉnh [2;–3], bề lõm quay lên.Khi x = 1 thì y = –2.Theo dồ thị ta có:a] Phương trình đã cho có nghiệm⇔ [d] và phần đồ thị [P] với x ≥ 1 có giaođiểm ⇔ m ≥ –3.b] Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt23Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!⇔ [d] và phần đồ thị [P] với x≥1 có đúng hai giao điểm phân biệt⇔ –3 < m ≤ –2.Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm sốy = 2mx + 2 [d] và y = [m – 6]x2 + m không cắt nhau?GiảiPhương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị [d] và [P] là:[m – 6]x2 + m = 2mx + 2 ⇔ [m – 6]x2 – 2mx +m – 2 = 0[1][d] và [P] không cắt nhau ⇔ Phương trình [1] vô nghiệmVới m = 6: [1] ⇔ –12x + 4 = 0 : [1] có nghiệmVới m ≠ 6: [1] vô nghiệm ⇔ ∆ ‘ = 8m – 12 < 0 ⇔ m < 3/2.3. Bài tập1. Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:a] x2 – x +2 = 3x + mb] 2x2 – m = 4x – 3.Giải22a] x – x +2 = 3x + m ⇔ x – 4x + 2 = m [1]*Phương trình [1] là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng [d]: y = m với parabol[P]: y = x2 – 4x + 2.*Số nghiệm của phương trình [1] chính là số giao điểm của [P] và [d].*Ta có đồ thị [P] có dạng sau:*Nhìn đồ thị [P] ta có:+m < –2: [P] và [d] không có giao điểm⇒ [1] vô nghiệm+m = –2: [P] và [d] có một giao điểm⇒ [1] có một nghiệm.+m > –2: [P] và [d] có hai giao điểm⇒ [1] có hai nghiệm phân biệt.24Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!b] 2x2 – m = 4x – 3⇔ 2x2 – 4x + 3 = m [2]*Phương trình [2] là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng [d]: y = m với parabol[P]: y = 2x2 – 4x + 3.*Số nghiệm của phương trình [2] chính là số giao điểm của [P] và [d].*Ta có đồ thị [P] có dạng sau:*Nhìn đồ thị [P] ta có:+m < 1: [P] và [d] không có giao điểm⇒ [2] vô nghiệm+m = 1: [P] và [d] có một giao điểm⇒ [2] có một nghiệm.+m > 1: [P] và [d] có hai giao điểm⇒ [2] có hai nghiệm phân biệt.2. Cho phương trình x2 – 2x + 3 – m = 0 [*]. Dùng đồ thị để:a] Biện luận theo m số nghiệm của [*]b] Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [ –1;2] của [*]c] Xác định m để [*] có đúng một nghiệm nhỏ hơn 2.Giải2a] Ta có [*] ⇔ x – 2x + 3 = m.*Phương trình [*] là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng [d]: y = m với parabol[P]: y = x2 – 2x + 3.*Số nghiệm của phương trình [*] chính là số giao điểm của [P] và [d].*Ta có đồ thị [P] có dạng sau:25Truy cập trang //Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!