Giải phương trình căn x + 1 - căn x - 1 = 1

ĐKXĐ : \(x\ge1\)

Phương trình

\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}=2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=2\) \(\left(I\right)\)

# TH1 : \(\sqrt{x-1}-1\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(x\ge2\)

Khi đó \(\left(I\right)\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=2\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\sqrt{x-1}=2\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(x-1=1\) \(\Leftrightarrow\) \(x=2\) ( thỏa mãn )

# TH2 : \(\sqrt{x-1}-1\le0\) \(\Leftrightarrow\) \(1\le x\le2\)

Khi đó (I) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2\) (luôn đúng)

Vậy pt có nghiệm \(1\le x\le2\)

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: ( - 1 le x le frac{1}{3}.)

(begin{array}{l},,,,,,,,sqrt {x + 1}  + sqrt {1 - 3x}  = x + 2\ Leftrightarrow sqrt {x + 1}  - 1 + sqrt {1 - 3x}  - 1 = x\ Leftrightarrow frac{x}{{sqrt {x + 1}  + 1}} - frac{{3x}}{{sqrt {1 - 3x}  + 1}} = x\ Leftrightarrow xleft( {1 - frac{1}{{sqrt {x + 1}  + 1}} - frac{3}{{sqrt {1 - 3x}  + 1}}} right) = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\frac{{sqrt {x + 1} }}{{sqrt {x + 1}  + 1}} = frac{3}{{sqrt {1 - 3x}  + 1}},,,left( * right)end{array} right.\left( * right) Leftrightarrow sqrt {x + 1} left( {sqrt {1 - 3x}  + 1} right) = 3left( {sqrt {x + 1}  + 1} right)\ Leftrightarrow sqrt {x + 1}  + sqrt {x + 1} sqrt {1 - 3x}  = 3sqrt {x + 1}  + 3\ Leftrightarrow sqrt {x + 1} sqrt {1 - 3x}  = 2sqrt {x + 1}  + 3,,,,left( 1 right)end{array})

Với  (x ge  - 1 Rightarrow sqrt {1 - 3x}  le sqrt {1 + 3}  = 2 Rightarrow ,left( 1 right))   vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: (x = 0.)

Chọn A.

Giải chi tiết:

\(\sqrt{x+4}+\sqrt{x+1}=\sqrt{2x+9}\) 

Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\x + 1 \ge 0\\2x + 9 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x \ge - 1\\x \ge \frac{{ - 9}}{2}

\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - 1\)

\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow (x + 4) + 2\sqrt {(x + 4)(x + 1)} + (x + 1) = 2x + 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\sqrt {(x + 4)(x + 1)} = 4\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt {(x + 4)(x + 1)} = 2\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow (x + 4)(x + 1) = 4\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 4 = 4\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x(x + 5) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\,(tm)\\x = - 5\,\,\,(ktm)\end{array} \right.

\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình \(x + \sqrt {x - 1} = \sqrt {1 - x} \) là

A.

B.

C.

D.

Hai phương trình được gọi là tương đương khi

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình \({x^2} - 4 = 0\)?

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x}  = \sqrt {2x - {x^2}} $ là:

Phương trình \(x + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {1 - x} \) có bao nhiêu nghiệm?

Phương trình $\sqrt { - {x^2} + 6x - 9}  + {x^3} = 27$ có bao nhiêu nghiệm?

Giải phương trình :

Căn x - 1 + căn x - 2 = -1