PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Ts. Lê Xuân Trường
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 / 55
Các nội dung chính
1 Giới hạn hàm số
2 Hàm số liên tục
3 Đạo hàm
4
Vi phân
5
Khai triển Taylor-Maclaurin
6
Qui tắc L’Hospital
7 Bài toán tối ưu và ứng dụng
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 / 55
PHẦN 1
GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn hàm số
- Một số giới hạn cơ bản
lim
x →+∞
x
α
\=
+∞, khi α > 0
1 , khi α = 0
0 , khi α < 0
lim x →a
C = C [C là hằng số]
lim x →0 sin
x
x
\= 1
lim x → 0
a
x
− 1
x
\= ln a, lim x →0 ln
[x + 1 ]
x
\= 1
lim x →±∞
[
1 +
1
x
]
x
\= lim x → 0
[ 1 + x ]
1 /x
\= e
lim x → 0
[ 1 +x ]
α
− 1
x
\= α
1. Giới hạn hàm số
- Điều kiện tồn tại giới hạn
tồn tại lim
x →a
f [x ] ⇔
lim
x →a
- f [x ] , lim
x →a
− f [x ] hữu hạn
lim x →a
- f [x ] = lim x →a
− f [x ]
Ví dụ: Xét sự tồn tại của giới hạn sau
lim
x → 1
| x − 1 |
x − 1
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5 / 55
1. Giới hạn hàm số
- Một số tính chất của giới hạn
Nếu f là hàm số sơ cấp, xác định tại a thì lim x →a
f [x ] = f [a].
Ví dụ: lim x → 2
[
x
3
− 2 x
2
+ 4
]
\= 2
3
− 2. 2
2
+ 4 = 4
Tính chất kẹp:
{
g [x ] ≤ f [x ] ≤ h [x ]
lim x →a
g [x ] = lim x →a
h [x ] = A
⇒ lim
x →a
f [x ] = A
Ví dụ:Tính giới hạn lim
x → 0
x sin
1
x
− |x | ≤ x sin
1
x
≤ |x |
lim x → 0
[− |x |] = lim x → 0
|x | = 0
⇒ lim
x → 0
x sin 1
x
\= 0
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 6 / 55
1. Giới hạn hàm số
- Một số tính chất của giới hạn
Giả sử lim x →a
f [x ] và lim x →a
g [x ] tồn tại hữu hạn. Khi đó ta có
[i ] lim x →a
[f [x ] ± g [x ]] = lim x →a
f [x ] ± lim x →a
g [x ]
[ii ] lim
x →a
[f [x ] .g [x ]] = lim
x →a
f [x ]. lim
x →a
g [x ]
[iii ] lim x →a f
[x ]
g [x ]
\=
lim x →a
f [x ]
lim x →a
g [x ]
[nếu lim x →a
g [x ] 6 = 0]
[
iv ]
lim
x →a
[
f [
x ]]
g [x ]
\= [lim
x →a
f [
x ]]
lim x →a
g [x ]
[lim x →a
f [x ] > 0 ]
1. Giới hạn hàm số
- Một số tính chất của giới hạn
Khi xét giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số ta cũng
lưu ý một số điểm như sau
∞ +
[
một số hữu hạn
]
\= ∞, ∞ ×
[
một số dương
]
\= ∞
∞ ×
[
một số âm
]
\= −∞,
[
một số hữu hạn
]
/∞ = 0
∞/
[
một số hữu hạn
]
\= ∞
Chú thích: Cách viết trên đây là hình thức. Chẳng hạn
∞ +
[
một số hữu hạn
]
\= ∞,
được hiểu là nếu lim f [x ] = ∞ và lim g [x ] 6 = ∞ thì
lim [f [x ] + g [x ]] = ∞.
1. Giới hạn hàm số
- Vô cùng bé
Khử dạng vô định
0
0
:
- Nếu α [x ] và β [x ] là các vcb [khi x → a] và α ∼ α
1
, β ∼ β
1
thì
lim
x →a
α [x ]
β [x ] =
lim
x →a
α 1
[x ]
β 1
[x ]
.
Ví dụ 1: Tính giới hạn
lim
x → 0
5
√
1 + x
3
− 1
ln [ 1 + 2 x
3
]
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 13 / 55
1. Giới hạn hàm số
- Vô cùng bé
Khử dạng vô định
0
0
:
Ví dụ 2: Tính giới hạn
lim
x → 0
[
e
2 x
− 1
]
sin x
x
3
- 1 − cos x
- Hai nguyên tắc khi thay vcb tương đương
α ∼ α
′
và β ∼ β
′
⇒ α.β ∼ α
′
.β
′
α 1
\= 0 [α 2
] ⇒ α 1
- α 2
∼ α 2
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 14 / 55
1. Giới hạn hàm số
- Bài tập Tính các giới hạn sau đây
A = lim x → 0
[e
x
− 1 ]. sin
2
x
x
3
+tan
4
x
B = lim x → 0
[
cot x −
1
sin x
]
C = lim x → 1
ln[cos[x − 1 ]]
3
√
x
2
− 2 x + 2 − 1
D = lim x → 0
[cos x ]
1
x
PHẦN 2
HÀM SỐ LIÊN TỤC
2. Hàm số liên tục
- Định nghĩa
Hàm số y = f [x ] liên tục tại a nếu f xác định tại a và
lim
x →a
−
f [x ] = lim
x →a
f [x ] = f [a]
Liên tục một bên
liên tục bên trái: lim
x →a
− f [x ] = f [a]
liên tục bên phải: lim
x →a
- f [
x ] =
f [
a ]
Liên tục trên đoạn [a, b]
- Liên tục tại mọi điểm c ∈ [a, b]
- Liên tục bên phải tại a và bên trái tại b
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 17 / 55
2. Hàm số liên tục
- Ví dụ:
Tìm m để hàm số y = f [x ] =
3
√
1 +x −cos x
x
, x 6 = 0 ,
m, x = 0.
liên tục tại 0.
Cho hàm số
f [x ] =
e
x + 1
− 1
x + 1
, x < − 1 ,
ax + b, − 1 ≤ x < 1 ,
x
2
− 2 , x ≥ 1.
Tìm a, b để hàm số liên tục trên R.
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 18 / 55
2. Hàm số liên tục
- Một số tính chất
Mọi hàm số sơ cấp xác định tại a sẽ liên tục tại a.
Tổng, hiệu, tích và thương các hàm số liên tục là một hàm liên tục.
Hợp hai hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
Nếu hàm số f liên tục trên [
a, b ]
thì ta có
[i ] ∃x 1
, x 2
∈ [a, b] :
f [x 1
] = m = min
x ∈[a,b]
f [x ]
f [x 2
] = M = max
x ∈[a,b]
f [x ]
[ii ] ∀c ∈ [m, M] , ∃x c
∈ [a, b] : f [x c
] = c
[iii ] f [a] f [b] < 0 ⇒ ∃x 0
∈ [a, b] : f [x 0
] = 0
PHẦN 3
ĐẠO HÀM
3. Đạo hàm
- Đạo hàm các hàm số sơ cấp
[hàm mũ và logarit]
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 25 / 55
3. Đạo hàm
- Đạo hàm các hàm số sơ cấp
[hàm lượng giác]
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 / 55
3. Đạo hàm
- Đạo hàm các hàm số sơ cấp
[hàm lượng giác ngược]
3. Đạo hàm
- Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học
f
′
[a] là hệ số góc của tiếp tuyến tại P [a, f [a]]
3. Đạo hàm
- Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa kinh tế
f có đạo hàm tại a
[
f
′
[a] = lim h→ 0
f [
a+h ]
−f [
a ]
h
]
\=⇒ f [a + h] − f [a] = f
′
[a] h + 0 [h]
- Biên tế:
Mf [x ] = f [x + 1 ] − f [x ] ≃ f
′
[x ]
Ví dụ: Giả sử chi phí sản xuất làm một hàm số của sản lượng, Q,
C = C [Q]
thì chi phí biên xác định bởi MC [
Q
]
≃ C
′
[
Q
]
.
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 29 / 55
3. Đạo hàm
- Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa kinh tế
- Hệ số co dãn:
ε
f
[x ] =
% thay đổi của y
% thay đổi của x
\=
∆y /y
∆x /x
Ví dụ: Hàm cầu của một loại hàng hóa được cho bởi
Q
d
\= Q
d
[P] = 60 − 2 P
2
.
⋄ Tính hệ số co dãn của lượng cầu tại mức giá P = 4
⋄ Từ kết quả trên hãy tính phần trăm thay đổi của sản lượng khi giảm
giá xuống còn 3, 6.
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 / 55
3. Đạo hàm
- Đạo hàm cấp cao
{
f
[n]
[x ] =
d
n
f
dx
n
[x ] =
d
dx
[
f
[n− 1 ]
[x ]
]
, n ≥ 1 ,
f
[
0 ]
[x ] = f [x ].
Công thức Leibnitz:
[u [x ] .v [x ]]
[n]
\=
n
∑
k= 0
C
k
n
u
[k]
[x ] .v
[n−k]
[x ]
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số
f [x ] =
1
ax +b
và g [x ] = x
2
e
− 3 x
.
PHẦN 4
VI PHÂN
5. Khai triển Taylor-Maclaurin
- Khai triển Taylor với phần dư Peano
Nếu f [x ] có đạo hàm đến cấp n trên [a − ε, a + ε] thì
f [
x ] =
f [
a ] +
f
′
[
a ] [
x − a ] +
f
′′
[x 0
]
2!
[
x − a ]
2
+ · · · +
f
[n]
[a]
n!
[x − a]
n
- 0 [[x − a]
n
]
Nhận xét:
- Khi x − a bé [x gần a], ta có xấp xỉ
f [x ] ≃
n
∑
k= 0
f
′[k]
[a]
k!
[x − a]
k
:= P
n
[x ]
- Phần dư
R
n
[
x ] =
f [
x ]
− P
n
[
x ] =
0
[[
x − a ]
n
]
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 / 55
5. Khai triển Taylor-Maclaurin
- Khai triển Taylor với phần dư Peano
Ví dụ: Viết khai triển Taylor đến cấp 3 cho hàm số
y = f [x ] = ln [ 2 + x ]
trong lân cận điểm a = − 1
Ta có
f [x ] = ln [ 2 + x ] ⇒ f [− 1 ] = 0
f
′
[x ] = 1 / [x + 2 ] ⇒ f
′
[− 1 ] = 1
f
′′
[x ] = − 1 / [x + 2 ]
2
⇒ f
′′
[− 1 ] = − 1
f
[ 3 ]
[x ] = 2 / [x + 2 ]
3
⇒ f
[ 3 ]
[− 1 ] = 2
Suy ra
f [x ] = [x + 1 ] −
1
2
[x + 1 ]
2
+
1
3
[x + 3 ]
3
+ 0
[
[x + 1 ]
3
]
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 38 / 55
5. Khai triển Taylor-Maclaurin
- Khai triển Maclaurin với phần dư Peano
Công thức Maclaurin
f [x ] = f [ 0 ] + f
′
[ 0 ] x +
f
′′
[ 0 ]
2!
x
2
+ · · · +
f
[n]
[ 0 ]
n!
x
n
- 0 [x
n
]
Nhận xét:
- Khai triển Maclaurin là là trường hợp đặc biệt của khai triển Taylor
- Khai triển Maclaurin của hàm số f [x ] chính là khai triển Taylor của
hàm số
g [x ] = f [x − a]
trong lân cận điểm a
5. Khai triển Taylor-Maclaurin
- Khai triển Maclaurin với phần dư Peano
Ví dụ: Viết khai triển Maclaurin của hàm số f [x ] = sin x [đến cấp n]
Ta có
f
[n]
[x ] = sin
[
x + n
π
2
]
⇒ f
[n]
[ 0 ] =
0 , n = 2 k
[− 1 ]
k
n = 2 k + 1
Do đó ta suy ra
f [x ] = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
− · · · + [− 1 ]
k
x
2 k+ 1
[ 2 k + 1 ]!
+ 0
[
x
2 k+ 1
]
5. Khai triển Taylor-Maclaurin
- Khai triển Maclaurin với phần dư Peano
Khai triển Maclaurin một số hàm sơ cấp
e
x
\= 1 + x +
x
2
2!
+ · · · +
x
n
n!
- 0 [x
n
]
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
− · · · + [− 1 ]
m− 1 x
2 m− 1
[ 2 m− 1 ]!
+ 0
[
x
2 m
]
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x 4
4!
− · · · + [− 1 ]
m x
2 m
[ 2 m]!
+ 0
[
x
2 m+ 1
]
ln [ 1 + x ] = x −
x
2
2
+
x
3
3
− · · · + [− 1 ]
n− 1 x
n
n
- 0 [x
n
]
1
1 −x
\= 1 + x + x
2
- · · · + x
n
- 0 [x
n
]
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 41 / 55
5. Khai triển Taylor-Maclaurin
LUYỆN TẬP
Cho hàm số y = f [x ] = cos
2
x
Viết khai triển Maclaurin của f đến cấp 4
Sử dụng kết quả trên, tính gần đúng giá trị cos
2
12
0
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 42 / 55
5. Khai triển Taylor-Maclaurin
- Phần dư Lagrange và đánh giá sai số
Nếu f có đạo hàm đến cấp n + 1 trên [a − ε, a + ε] thì
R
n
[x ] =
f
[n+ 1 ]
[c]
[
n + 1 ]
!
[x − a]
n+ 1
,
trong đó c nằm giữa x và a.
Ví dụ: Tính gần đúng số e với sai số không quá 10
− 2
PHẦN 6
QUY TẮC L’HOSPITAL
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng
Cực trị địa phương và cực trị toàn cục
Với khái niệm cực tiểu ta có các bất đẳng thức ngược lại.
Khi f đạt cực đại hoặc cực tiểu thì ta nói f đạt cực trị.
Nếu f đạt cực đại toàn cục tại x 0
thì nó cũng đạt cực đại địa phương
tại đó.
Trên tập ràng buộc S, hàm số có thể đạt cực trị tại nhiều điểm khác
nhau.
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 49 / 55
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng
Điều kiện cần
Theorem
f đạt cực trị tại x 0
và f khả vi tại x 0
thì ta có
f
′
[x 0
] = 0
Nhận xét:
Điểm x 0
thỏa điều kiện f
′
[x 0
] = 0 được gọi là điểm dừng.
f đạt cực trị tại x 0
thì
x
0
là điểm dừng
f không có đạo hàm tại x
0
.
Các điểm thuộc một trong hai loại trên được gọi là điểm tới hạn.
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 50 / 55
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng
Điều kiện đủ cho cực trị địa phương
Theorem [theo đạo hàm cấp một]
Giả sử x
0
là một điểm dừng của hàm số y = f [x ] và f có đạo hàm trong
lân cận x 0
. Khi đó
f
′
[
x ]
\> 0 , ∀x ∈ [
x
0
− δ, x
0
]
f
′
[x ] < 0 , ∀x ∈ [x 0
, x 0
- δ]
⇒ f đạt cực đại địa phương tại x
0
.
f
′
[x ] < 0 , ∀x ∈ [x 0
− δ, x 0
]
f
′
[x ] > 0 , ∀x ∈ [x 0
, x 0
- δ]
⇒ f đạt cực tiểu địa phương tại x
0
.
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng
Điều kiện đủ cho cực trị địa phương
Theorem [theo đạo hàm cấp cao]
Cho x 0
là một điểm dừng của hàm số y = f [x ]. Giả sử tồn tại số tự nhiên
n ≥ 2 sao cho
f
′
[x 0
] = f
′′
[x 0
] = · · · = f
[n− 1 ]
[x 0
] = 0 và f
[n]
[x 0
] 6 = 0.
Nếu n là số chẵn thì x 0
là một điểm cực trị của hàm số
x
0
là điểm cực đại nếu f
[n]
[
x
0
]
< 0
x 0
là điểm cực tiểu nếu f
[n]
[x 0
] > 0
Nếu n là số lẻ thì x 0
không là điểm cực trị của hàm số
Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của hàm số y = f [x ] = x
4
- 2 x
3
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng
Điều kiện đủ cho cực trị toàn cục
Cho hàm số y = f [x ] xác định trên khoảng S = [a, b]
Theorem
Giả sử x 0
là một điểm dừng của hàm số y = f [x ]
Nếu f là hàm lồi trên S [f
′′
[x ] > 0 , ∀x ∈ S ] thì f đạt cực tiểu toàn
cục tại x 0
.
Nếu f là hàm lõm trên S [f
′′
[x ] < 0 , ∀x ∈ S ] thì f đạt cực tiểu
toàn cục tại x 0
.
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 53 / 55
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng
Tìm sản lượng để có lợi nhuận lớn nhất
Giả thiết: Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử
Hàm cầu của sản phẩm là Q
d
\= Q
d
[P], với P là giá bán
Chi phí sản xuất: C = C [Q] , trong đó C là chi phí và Q là sản
lượng.
Sản phẩm làm ra được tiêu thụ hết
Yêu cầu:Định mức sản lượng Q để xí nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 54 / 55
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng
Đánh thuế doanh thu
Giả thiết: Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử
Hàm cầu của sản phẩm là Q d
\= Q
d
[P], với P là giá bán
Chi phí sản xuất: C = C [Q] , trong đó C là chi phí và Q là sản
lượng.
Sản phẩm làm ra được tiêu thụ hết
Yêu cầu:Xác định mức thuế trên 1 đơn vị sản lượng để thu được của xí
nghiệp nhiều thuế nhất.
Ts. Lê Xuân Trường [] PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55 / 55