Cách tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác cực hay
Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:
+ Với mọi x ta luôn có: - 1 cosx 1; -1 sinx 1
+Với mọi x ta có: 0 |cosx| 1 ;0 |sinx| 1
+ Bất đẳng thức bunhia copski: Cho hai bộ số [a1; a2] và [b1;b2] khi đó ta có:
[a1.b1+ a2.b2 ]2 [ a12+ a22 ].[ b12+ b22 ]
Dấu = xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2
+ Giả sử hàm số y= f[x] có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].
+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.
A. M=3 ; m= - 1.
B. M= 1 ; m= -1.
C. M=2 ;m= -2.
D. M=0 ; m= -2.
Lời giải:.
Chọn B.
Với mọi x ta có : - 1 cos3x 1 nên 0 |cos3x| 1
0 -2|cos3x| -2
Ví dụ 2: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.x0=π+k2π, kϵZ .
B.x0=π/2+kπ, kϵZ .
C.x0=k2π, kϵZ .
D.x0=kπ ,kϵZ .
Lời giải:.
Chọn B.
Ta có - 1 cosx 1 - 0 cos2x 1 1 1+2cos2x 3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .
Dấu = xảy ra khi cosx=0 x=π/2+kπ, kϵZ .
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.
A.M= 3 ;m= 0
B. M=2 ; m=0.
C. M=2 ; m= 1.
D.M= 3 ; m= 1.
Lời giải:.
Chọn C.
Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = [sin2x+ cos2x] + cos2x = 1+ cos2 x.
Do: -1 cosx 1 nên 0 cos2 x 1 1 cos2 x+1 2
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3
A.M= 1; m= - 7
B. M= 7; m= - 1
C. M= 3; m= - 4
D. M=4; m= -3
Lời giải
Chọn A
Ta có : - 1 sinx 1 nên - 4 4sinx 4
Suy ra : - 7 4sinx-3 1
Do đó : M= 1 và m= - 7
Ví dụ 5: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .
A. [5; 9]
B.[6;10]
C. [ 8;12]
D. [10; 14]
Lời giải:
Chọn C
Với mọi x ta có : - 1 cos2x 1 nên-2 -2cos2x 2
8 -2cos2x+10 12
Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]
Ví dụ 6: Tính độ dài giá trị của hàm số y= 10- 2cos2x
A. 10
B. 8
C.6
D. 4
Lời giai
Với mọi x ta có: - 1 cos2x 1 nên-2 -2cos2x 2
Suy ra: 8 10-2cos2x 12
Do đó; tập giá trị của hàm số đã cho là: [8; 12] và độ dài đoạn giá trị của hàm số là : 12 8= 4
Chọn D.
Ví dụ 7: Tính tổng giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sau: y= 3 sin[ 2016x+2019]
A. - 4032
B. 3
C. -3
D. 0
Lời giải:
Chọn D
Với mọi x ta có :- 1 sin[2016x+2019] 1
-3 3sin[2016x+2019] 3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -3 và giá trị lớn nhất của hàm số là 3
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là - 3+ 3=0
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1/[1+sinx]
A. m= 1/2
B. m= 1/2
C. m= 1
D. m= 2
Lời giải:
Chọn A
Điều kiện xác định : sinx -1 hay x [- π]/2+k2π
+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có : - 1 0
+ Nếu mẫu 1+ sinx > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1+ sinx đạt giá trị lớn nhất
Hay 1+ sinx=2 < sinx= 1[ thỏa mãn điều kiện] .
Khi đó ymin = 1/2
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi sinx= 1
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y= 2018sin[ 9x+π/100]+2000
A. m=18 ; M=4018
B. m = -18; M= 18
C. m=-18; M= 4018
D. Đáp án khác
Lời giải:
Chọn C
Hàm số xác định trên R.
Với mọi x ta có: - 1 sin[ 9x+π/100] 1 nên - 2018 2018sin[ 9x+π/100] 2018
-18 2018sin[ 9x+π/100]+2000 4018
giá trị nhỏ nhất của hàm số là -18 khi sin[ 9x+π/100]=-1
Giá trị lớn nhất của hàm số là 4018 khi sin[ 9x+π/100]=1
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sinx- cosx.
A. m= -1; M=1.
B. m = 0; M=1
C. m= -1;M=0
D. m= -1 và M không tồn tại.
Lời giải:
Chọn A
Với mọi x thỏa mãn điều kiện : sinx > 0 và cosx > 0 .Ta có:
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m= 1 khi: [sinx=0 và cosx=1 x= k2π.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M=1 khi [sinx=1 và cosx=0 x= π/2+k2π.
Ví dụ 11. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= cos2 x 6cosx + 11. Tính M.m
A.30
B.36
C.27
D.24
Lời giải:
Ta có: cos2 x 6cosx +11 = [ cos2x 6cosx + 9] +2 = [cosx -3]2 + 2
Do - 1 cosx 1 - 4 cosx-3 -2
0 [cosx-3]^2 16
2 [cosx-3]^2+2 18
Suy ra:M= 18 và m= 2 nên M. m= 36.
Chọn B.
Ví dụ 12. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=[cosx+2sinx+3]/[2cosx-sinx+4]. Tính S= M+11m
A.4
B.5
C. 6
D. 8
Lời giải:.
Gọi y0 là một giá trị của hàm số.
Khi đó phương trình y0=[cosx+2sinx+3]/[2cosx-sinx+4] có nghiệm.
y0.[ 2cosx- sinx + 4] = cosx +2sinx + 3 có nghiệm
2y0.cosx sinx.y0 + 4y0- cosx 2sinx 3=0 có nghiệm
[ 2y0 -1]cosx [ y0+2].sinx =3- 4y0 [*]
Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi :
[2y0-1]2 + [ y0 + 2]2 [3-4y0]2
4y02 4y0 +1 +y02 +4y0 + 4 9-24y0+16y02
11y02 24y0 + 4 0 2/11 y0 2
Suy ra: M=2 và m=2/11 nên S= M+ 11m= 4
Chọn A.
Ví dụ 13. Cho hàm số y= [1+2sin2 x]+ [1+2〖cos2 x]-1. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nào nhất?
A. 3,23
B. 3,56
C. 2,78
D.2,13
Lời giải:
+ Xét t= [1+2sin2 x]+ [1+2cos2 x]
t2 = 1+ 2sin2 x+ 1+ 2cos2 x+ 2. [[1+2sin2 x].[ 1+2cos2 x] ]
=4+2[3+ sin2 2x]
Mà sin22x 0 nên t2 4+ 23
Mà t > 0 nên t [4+23] =1+ 3
Suy ra: y= t-1 3
Dấu = xảy ra khi sin2x=0 .
+ Lại có:
[1+2sin2 x]+ [1+2cos2 x] [[1^2+ 1^2 ].[ 1+2sin2x+ 1+2cos2 x] ]= 22
y= [1+2sin2 x]+ [1+2cos2 x]-1 22-1
Dấu = xảy ra khi sin2 x= cos2x
Vậy {[m= 3 và M=22-1] M+ m3,56
Chọn B.
Câu 1:Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=8sin2x+3cos2x . Tính P= M- 2m.
A. P= - 1
B. P= 1
C. P= 2
D. P=0
Chọn A.
Ta có: y = 8sin2 x + 3cos2x = 8sin2x + 3[ 1 2sin2x ] = 2sin2x+ 3.
Mà -1 sinx 1 0 sinx 1 3 2sinx+3 5 3 y 5.
Suy ra: M= 5 và m= 3
Do đó: P = 5- 2.3= - 1
Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y= 4sin2x + 3.cos2x .
A. M= 3
B. M= 1
C. M= 5
D. M= 4
Chọn C.
Ta có: y = 4sin2x+ 3cos2x = 5.[ 4/5.sin2x+ 3/5 cos2x].
Đặt cosα= 4/5 và sinα= 3/5
Khi đó: y= 5[ cosα.sin2x+sinα.cos2x]=5.sin[ α+2x]
- 5 y 5
Suy ra M= 5.
Câu 3:Gọi M ; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sin2x 4sinx+ 5. Tính M+ m.
A.3
B.8
C.10
D.12
Chọn D.
Ta có: y= sin2x 4sinx+ 5= [ sinx- 2]2 + 1.
Do: -1 sinx 1 nên-3 sinx-2 -1
1 [ sinx-2]2 9 2 [ sinx-2]2+1 10 .
Suy ra: M=10 và m = 2
Do đó; M+ m = 12
Câu 4:Cho hàm số y= cos2x- cosx có tập giá trị là T. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc T.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Chọn C.
Ta có: cos2x- cosx = [cosx- 1/2]2- 1/4 .
Do - 1 cosx 1 nên [- 3]/2 cosx- 1/2 1/2
0 [ cosx- 1/2]2 9/4 [- 1]/4 [ cosx- 1/2]2- 1/4 2.
Do đó [- 1]/4 y 2. Vậy tập giá trị của hàm số là [[- 1]/4;2]
Trong đoạn [ -1/4;2] có ba giá trị nguyên thỏa mãn là 0; 1 và 2.
Do đó có 3 giá trị thỏa mãn.
Câu 5:Hàm số y= cos2x+ 2sinx+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng.
A. x= [-π]/2+k2π.
B. x= π/2+k2π.
C. x= k π
D. x= k2π
Chọn B.
Ta có: cos2x+ 2sinx+ 2 = 1- sin2x+ 2sinx + 2= - sin2x + 2sinx+ 3 = - [sinx-1]2 + 4
Mà - 1 sinx 1 nên-2 sinx-1 0
Suy ra: 0 [ sinx-1]2 4 -4 - [sinx-1]2 0
0 4 - [sinx-1]2 4
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi sinx= 1 x= π/2+k2π.
Câu 6:Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y= sin4x -2 cos2x+ 1.
A.M= 2; m= - 2
B.M=1; m=0
C.M=4;m= - 1
D M=2;m= - 1
Chọn D.
Ta có: sin4x- 2cos2x + 1= sin4x 2[ 1- sin2x] + 1
= sin4x + 2sin2x - 1 = [ sin2 x +1]22 - 2
Mà: 0 sin2 x 1 nên 1 sin2 x+1 2
Suy ra: 1 [ sin2 x+1]2 4 -1 [ sin2 x+1]2-2 2 .
Nên M= 2; m= - 1
Câu 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin4x cos4x.
A. - 3
B. - 1
C. 3
D. 5
Chọn B.
Ta có: y= 4sin4x cos4x= 4.[[1-cos2x]/2]2-[2cos2 2x-1]
= 1- 2cos2x+ cos22x 2cos2x + 1
= - cos42x - 2cos2x + 2 = - [cos2x+ 1]2 + 3
Mà -1 cos2x 1 0 cos2x+1 2 0 [cos2x+1]2 4 -1 -[cos2x+1]2+3 3
Suy ra m= - 1.
Câu 8:Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2[ sinx - cosx]. Tính P= M+ 2m.
A. 2
B. - 22
C. - 2
D. 42
Chọn B
Ta có : 2[ sinx- cosx]=22 sin[ x- π/4]
Với mọi x thì : - 1 sin[ x- π/4] 1
- 22 22.sin[ x- π/4] 22
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là M= 22 và m= -22
P= M+ 2m= - 22
Câu 9:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= [1- cos2 x]+1là:
A. 2 và 1
B. 0 và 3
C. 1 và 3
D.1 và 1+ 2
Ta có : [1- cos2 x]= [sin2 x]= |sinx|
Do đó; hàm số y= [1- cos2 x]+1=|sinx|+1
Với mọi x ta có: - 1 sinx 1 nên 0 |sinx| 1
1 |sinx|+1 2
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 2 và 1.
Chọn A
Câu 10:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin2 x+ 6cos2x+ 2 là
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
Ta có: 4sin2x + 6cos2 x+ 1= 2[ 1- cos2x] + 3[ 1+cos2x] + 2 = cos2x+ 7
Với mọi x ta luôn có: - 1 cos2x 1 nên 6 cos2x+7 8
Suy ra: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 6
Chọn B.
Câu 11:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
A.max y=4,min y=3/4
B.max y=3,min y=2
C.max y=4,min y=2
D.max y=3,min y=3/4
Đặt t=sin2x, 0 t 1 cos2x=1-2t
y= 2t+[1-2t]2=42-2t+1=[2t-1/2]2+3/4
Do 0 t 1 -1/2 2t-1/2 3/2 0 [2t-1/2]2 9/4 3/4 y 3 .
Vậy max y=3 đạt được khi x=π/2+kπ .
min y=3/4 đạt được khi sin2x=1/4 .
Chọn D.Câu 12:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1
A. max y=6,min y=-2
B. max y=4,min y=-44
C. max y=6,min y=-4
D.max y=6,min y=-1
Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski: [ac+bd]2 [c2+d2][a2+b2] .
Đẳng thức xảy ra khi a/c=b/d .
Ta có: [3sinx+4cosx]2 [32+42][sin2+cos2]=25
5 3sinx+4cosx 5 -4 y 6
Vậy max y=6 , đạt được khi tanx=3/4 .
min y=-4 , đạt được khi tanx=-3/4.
Chọn C.
Câu 13:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=2sin2x+3sin2x-4cos2x
A. min y= -32 -1, max y=32 +1
B. min y= -32 -1, max y=32 -1
C. min y= -32 , max y=32 -1
D. min y= -32 -2, max y=32 -1
Ta có: y= 2sin2 x + 3sin2x - 4cos2x
= 1 cos2x + 3sin2x - 2[ 1+ cos2x]
=3sin2x-3cos2x-1=32sin[2x-π/4]-1
Mà -1 sin[2x- π/4] 1 - 32 32sin[2x- π/4] 32
- 32-1 32sin[ 2x- π/4]-1 32-1
Suy ra min y= -32 -1, max y=32 -1 .
Chọn B.
Câu 14:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin2x+3sin2x+3cos2x
A. min y= 2+10 , max y=2-10
B. min y= 2+5, max y=2+5
C. min y= 2+2, max y=2-2
D. min y= 2+7, max y=2-7
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopki ta có :
- [32+ 12 ] 3sin2x+cos2x [32+ 12 ]
Suy ra : -10 3sin2x+cos2x 10
2-10 y 2+10
Từ đó ta có được: maxy=2+10;miny=2-10.
Chọn A.
Câu 15:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=sinx+ [2-sin2]
A.min y= 0, max y=3
B.min y= 0, max y=4
C.min y= 0, max y=6
D.min y= 0, max y=2
Ta có 0 y x và y2=2+2sin[2-sin2]
Mà 2|sin[2-sin2]| sin2+2-sin2=2
Suy ra 0 y2 4 0 y 4
min y=0 đạt được khi x=-π/2+k2π
max y=2 đạt được khi x=π/2+k2π
Chọn D.
Câu 16:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=[sin2x+2cos2x+3]/[2sin2x-cos2x+4]
A. min y= -2/11, max y=2
B. min y= 2/11, max y=3
C. min y= 2/11, max y=4
D. min y= 2/11, max y=2
+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia-xcopski ta có:
[2sin2x cos2x]2 [22+[-1]2]. [ sin22x + cos22x] = 5
-5 2sin2x-cos2x 5
4-5 4+ 2sin2x-cos2x 4+5
4+ 2sin2x- cos2x > 0 với mọi x.
+ Ta có:
y=[sin2x+2cos2x+3]/[2sin2x-cos2x+4]
y. 2sin2x y.cos2x + 4y = sin2x +2cos2x + 3
[2y-1]sin2x-[y+2]cos2x=3-4y [*]
Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi:
[2y-1]2+[y+2]2 [3-4y]2
11y2-24y+4 0 2/11 y 2
Suy ra: min y= 2/11, max y=2 .
Chọn D.
Câu 17:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=[2sin23x+4sin3xcos3x+1]/[sin6x+4cos6x+10]
A. min y= [11-97]/83, max y=[11+97]/83
B. min y= [22-97]/11, max y=[22+97]/11
C. min y= [33-97]/83, max y=[33+97]/83
D. min y= [22-97]/83, max y=[22+97]/83
+Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski ta có:
[ sin6x+4cos6x]2 [12+42]. [ sin26x+ cos26x]= 17
-17 sin6x+4cos6x 17
sin6x+4cos6x+10 10-17 > 0 x thuộc R
Do đó; hàm số xác định với mọi x.
+ ta có: y=[2sin6x-cos6x+2]/[sin6x+4cos6x+10]
[y-2]sin6x+[4y+1]cos6x=2-10y
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi:
[y-2]2+[4y+1]2 [2-10y]2 83y2-44y-1 0
[22-97]/83 y [22+97]/83.
Suy ra: min y= [22-97]/83, max y=[22+97]/83
Chọn D.
Giới thiệu kênh Youtube Tôi