Đề bài
Câu 1.
a. Vẽ đồ thị hàm số \[y = - {x^2} + 4x - 3\] .
b. Xác định các giá trị của m để phương trình \[{x^2} - 4\left| x \right| + m = 0\] có ít nhất ba nghiệm.
Câu 2.
a. Giải phương trình\[{x^2} + {\left[ {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right]^2} = 3\]
b. Tìm m để phương trình\[\dfrac{{x + m - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{{x - 2}}{x} = 2\]vô nghiệm.
Câu 3.Hai nghiệm x1, x2 của một phương trình bậc hai thoả mãn các hệ thức \[{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 0\] và \[\left[ {m - 1} \right]\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] - {x_1}{x_2} = 3m - 1\]
Lập phương trình bậc hai đó.
Câu 4. Xác định m để phương trình \[2x + \sqrt {x - 1} = m - 1\] có nghiệm.
Lời giải chi tiết
Câu 1.
a. Hàm số \[y = - {x^2} + 4x - 3\] có đồ thị là một parabol với
+ Đỉnh \[I[2;1]\]
+ Trục đối xứng \[x= 2\]
+ Cắt Oy tại \[\left[ {0;3} \right]\] , cắt Ox tại \[\left[ {0;1} \right]\] và \[\left[ {0;1} \right]\].
Đồ thị
b. Ta có \[{x^2} - 4\left| x \right| + m = 0\]
\[\Leftrightarrow - {x^2} + 4\left| x \right| - 3 = m - 3\] .
Phương trình trên là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y = - {x^2} + 4\left| x \right| - 3\] và đường thẳng \[y = m - 3\] .
Hàm số \[y = - {x^2} + 4\left| x \right| - 3\] là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.
Khi \[x \ge 0\] thì hàm số trở thành \[y = - {x^2} + 4x - 3\] .
Do đó đồ thị hàm số của hàm số \[y = - {x^2} + 4\left| x \right| - 3\] bao gồm phần đồ thị hàm số \[y = - {x^2} + 4x - 3\] ở bên phải trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.
Theo đồ thị phương trình có ít nhất ba nghiệm khi và chỉ khi
\[ - 3 \le m - 3 < 1 \Leftrightarrow 0 \le m < 4\] .
Câu 2.
a. Xét phương trình\[{x^2} + {\left[ {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right]^2} = 3\]
Điều kiện xác định \[x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\] .
Ta có:
\[\eqalign{ & {x^2} + {\left[ {{x \over {x + 1}}} \right]^2} = 3 \cr&\Leftrightarrow {\left[ {x - {x \over {x + 1}}} \right]^2} + 2x.{x \over {x + 1}} = 3 \cr & {\rm{ }} \Leftrightarrow {\left[ {{{{x^2}} \over {x + 1}}} \right]^2} + 2.{{{x^2}} \over {x + 1}} - 3 = 0 \cr} \] .
Đặt\[t = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}\], phương trình trở thành: \[{t^2} + 2t - 3 = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 3 \hfill \cr} \right.\]
+] \[\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\]
\[\Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\] [thỏa mãn điều kiện].
+]\[\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\] Vô nghiệm.
Vậy phương trình có hai nghiệm\[x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\]
b.Xét phương trình\[\dfrac{{x + m - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{{x - 2}}{x} = 2\] [1].
Điều kiện xác định \[\left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr x \ne 0 \hfill \cr} \right.\] .
Với điều kiện trên thì phương trình tương đương
\[{x^2} + \left[ {m - 1} \right]x + {x^2} - x - 2 = 2{x^2} + 2x\]
\[\Leftrightarrow \left[ {m - 4} \right]x = 2\] [2].
Phương trình [1] vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình [2] vô nghiêm hoặc có nghiệm không thỏa mãn điều kiện.
+ Phương trình [2] vô nghiệm khi và chỉ khi \[m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\] .
+ Phương trình [2] có nghiệm khi và chỉ khi \[m - 4 \ne \Leftrightarrow m \ne 4\] .
Khi đó nghiệm của [2] là\[x = \dfrac{2}{{m - 4}}\]. Hiển nhiên\[\dfrac{2}{{m - 4}} \ne 0\]
Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện khi và chỉ khi
\[\dfrac{2}{{m - 4}} = - 1\]
\[\Leftrightarrow 2 = - m + 4 \Leftrightarrow m = 2\]
Vậy phương trình [1] vô nghiệm khi và chỉ khi m= 4 hoặc m= 2.
Câu 3.
Xét hệ \[\left\{ \matrix{ {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 0 \hfill \cr \left[ {m - 1} \right]\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] - {x_1}{x_2} = 3m - 1 \hfill \cr} \right.\]
Đặt \[S = {x_1} + {x_2},P = {x_1}{x_2}\] .
Hệ trở thành \[\left\{ \matrix{ S + P = 0 \hfill \cr \left[ {m - 1} \right]S - P = 3m - 1 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ mS = 3m - 1 \hfill \cr P = - S \hfill \cr} \right.\]
Để hệ có nghiệm thì \[m \ne 0\] . Khi đó:
\[\left\{ \begin{gathered}
S = \frac{{3m - 1}}{m} \hfill \\
P = - \frac{{3m - 1}}{m} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Vậy phương trình bậc hai cần tìm là
\[\eqalign{ & {x^2} - {{3m - 1} \over m}x - {{3m - 1} \over m} = 0 \cr & \Leftrightarrow m{x^2} - \left[ {3m - 1} \right]x - 3m + 1 = 0 \cr} \] .
Câu 4.
Xét phương trình \[2x + \sqrt {x - 1} = m - 1\] [1]
Điều kiện xác định: \[x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\] .
Đặt \[t = \sqrt {x - 1} ,t \ge 0\] . Phương trình trở thành
\[2\left[ {{t^2} + 1} \right] + t = m - 1 \]
\[\Leftrightarrow 2{t^2} + t + 3 - m = 0\] [2].
Phương trịnh [1] có nghiệm khi và chỉ khi phương trình [2] có nghiệm \[t \ge 0\] .
Có hai trường hợp
+ Phương trình [2] có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện \[{t_1} \le 0 \le {t_2}\]
\[P \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3 - m}}{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 3\]
+ Phương trình [2] có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện \[0 \le {t_1} \le {t_2}\]
\[\left\{ \matrix{ \Delta \ge 0 \hfill \cr S \ge 0 \hfill \cr P \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 - 8\left[ {3 - m} \right] \ge 0 \hfill \cr - \dfrac{1 }{ 2} \ge 0 \hfill \cr \dfrac{3 - m}{ 2} \ge \hfill \cr} \right.\] . Không có m thỏa mãn các điều kiện này.
Vậy phương trình [1] có nghiệm khi \[m \ge 3\] .