Đề bài - bài 65 trang 15 sbt hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho phép dời hình F không phải là phép đồng nhất. Chứng minh rằng nếu F biến điểm I nào đó thành chính nó thì F là phép quay tâm I hoặc là phép đối xứng có trục là đường thằng đi qua I.

Lời giải chi tiết

Vì F không phải là phép đồng nhất nên có điểm A không trùng với ảnh A.

Nếu A đối xứng với A qua I thì thưo bài tập 64, F chính là phép đối xứng trục qua đường thẳng d đi qua I và vuông góc với AA, hoặc là phép đối xứng qua tâm I (tức là phép quay tâm I với góc quay 1800).

Bây giờ xét trường hợp A không đối xứng với A qua I, tức là ta có tam giác IAA.

Gọi A là ảnh của A qua phép F. Khi đó, F biến tam giác IAA thành tam giác IAA.

Có thể xảy ra hai trường hợp:

- A trùng với A. Khi đó, nếu gọi J là trung điểm của AA thì J cũng là trung điểm của AA nên F biến J thành I.

Suy ra F biến mọi điểm của đường thẳng IJ thành chính nó. Vậy F là phép đối xứng qua đường thẳng IJ.

- A không trùng với A. Khi đó ta có IA = IA = IA và (IA, IA) = (IA, IA) nên nếu gọi Q là phép quay tâm I góc quay φ = (IA, IA) thì Q biến tam giác IAA thành tam giác IAA nên Q chính là F.