Đề bài
Cho điểm M[2; -1; 1] và đường thẳng \[\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\]
a] Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \[\Delta \];
b] Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua đường thẳng \[\Delta \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tham số hóa tọa độ hình chiếu của M trên \[\Delta \]
Lập phương trình tìm tham số, sử dụng điều kiện \[\overrightarrow {MH} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \]
b] \[M'\] đối xứng với \[M\] qua \[\Delta \] nếu \[H\] là trung điểm của \[MM'\].
Lời giải chi tiết
a] Phương trình tham số của \[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\]
Xét điểm \[H[1 + 2t; - 1 - t;2t] \in \Delta \]
Ta có \[\overrightarrow {MH} = [2t - 1; - t;2t - 1]\], \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = [2; - 1;2]\]
H là hình chiếu vuông góc của M trên \[\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2[2t - 1] + t + 2[2t - 1] = 0\]\[ \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\]
Ta suy ra tọa độ điểm \[H\left[ {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{ - 13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right]\]
Cách khác:
Gọi \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng đi qua \[M\] và vuông góc với \[\Delta \].
Khi đó \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {2; - 1;2} \right]\] là VTPT của \[\left[ \alpha \right]\]
Mà \[\left[ \alpha \right]\] đi qua \[M\left[ {2; - 1;1} \right]\] nên:
\[\left[ \alpha \right]:2\left[ {x - 2} \right] - \left[ {y + 1} \right] + 2\left[ {z - 1} \right] = 0\] hay \[2x - y + 2z - 7 = 0\]
\[H = \Delta \cap \left[ \alpha \right]\] nên tọa độ điểm \[H\] thỏa mãn hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2t\\2x - y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow 2\left[ {1 + 2t} \right] - \left[ { - 1 - t} \right] + 2.2t - 7 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 9t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\]
\[ \Rightarrow H\left[ {\dfrac{{17}}{9}; - \dfrac{{13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right]\]
b] H là trung điểm của MM, suy ra \[{x_{M'}} + {x_M} = 2{x_H}\]
Suy ra \[{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{34}}{9} - 2 = \dfrac{{16}}{9}\]
Tương tự, ta được \[{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{ - 26}}{9} + 1 = \dfrac{{ - 17}}{9};\]\[{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{16}}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}\]
Vậy \[M'\left[ {\dfrac{{16}}{9};\dfrac{{ - 17}}{9};\dfrac{7}{9}} \right]\].