Đề bài
Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O bán kính r và có đường cao\[h = r\sqrt 2 \]. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O sao cho OA vuông góc với OB.
a] Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này.
b] Gọi \[[\alpha ]\]là mặt phẳng qua AB và song song với OO. Tính khoảng cách giữa trục OO và mặt phẳng \[[\alpha ]\].
c] Chứng minh rằng \[[\alpha ]\]tiếp xúc với mặt trụ trục OO có bán kính bằng\[{{r\sqrt 2 } \over 2}\] dọc theo một đường sinh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng các kiến thức đã học để kiểm tra các tam giác mặt bên của tứ diện là hình tam gíac vuông.
Tính thể tích theo công thức \[ V = \dfrac{1}{3}Sh\].
b] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng đó.
c] Chỉ ra mặt trụ và kết luận.
Lời giải chi tiết
a] Vì trục OO vuông góc với các đáy nên \[\displaystyle {\rm{OO}}' \bot OA;{\rm{O}}O' \bot O'B\].
Vậy các tam giác AOO và BOO vuông tại O và O.
Theo giả thiết ta có \[\displaystyle AO \bot O'B\] mà \[\displaystyle AO \bot {\rm{OO}}' = > AO \bot [{\rm{OO}}'B]\].
Do đó,\[\displaystyle AO \bot OB\] nên tam giác AOB vuông tại O.
Tương tự, ta chứng minh được tam giác AOB vuông tại O. Thể tích hình chóp OABO là: \[\displaystyle V = {1 \over 3}{S_{\Delta {\rm{OO}}'B}}.AO\]
Hay\[\displaystyle V = {1 \over 3}.{1 \over 2}OO'.O'B.AO \] \[\displaystyle = {1 \over 6}.r\sqrt 2 .{r^2} = {{\sqrt 2 } \over 6}{r^3}\]
b] Ta có \[\displaystyle [\alpha ]\] là [ABB].
Vì OO // \[\displaystyle [\alpha ]\]nên khoảng cách giữa OO và \[\displaystyle [\alpha ]\]bằng khoảng cách từ O đến \[\displaystyle [\alpha ]\].
Dựng \[\displaystyle OH \bot AB'\] ta có \[\displaystyle OH \bot [\alpha ]\].
Tam giác OAB' vuông cân tại O có OA=OB'=r nên \[AB' = \sqrt {O{A^2} + OB{'^2}} \] \[ = \sqrt {{r^2} + {r^2}} = r\sqrt 2 \]
\[OH \bot AB'\] nên OH cũng là đường trung tuyến của tam giác \[\Rightarrow OH = \frac{1}{2}AB' = \frac{{r\sqrt 2 }}{2}\]
Vậy khoảng cách cần tìm là \[\displaystyle OH = {{r\sqrt 2 } \over 2}\].
c] Đường tròn tâm O có bán kính bằng\[\displaystyle {{r\sqrt 2 } \over 2}\] tiếp xúc với AB tại H là trung điểm của AB.
Do đó mặt phẳng \[\displaystyle [\alpha ]\]song song với trục OO chứa tiếp tuyến của đường tròn đáy, nên \[\displaystyle [\alpha ]\]tiếp xúc với mặt trụ dọc theo một đường sinh, với mặt trụ có trục OO và có bán kính đáy bằng \[\displaystyle {{r\sqrt 2 } \over 2}\].