Đề bài
Trong không gian Oxyz cho một vecto \[\overrightarrow a \] tùy ý khác vecto \[\overrightarrow 0 \]. Gọi \[\alpha ,\beta ,\gamma \] là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \] trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \[\overrightarrow a \]. Chứng minh rằng: \[{\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng véc tơ đơn vị \[\overrightarrow {{a_0}} \] cùng hướng với vecto \[\overrightarrow a \]
- Dựng điểm \[{A_0}\] sao cho \[\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \] và các điểm \[{A_1},{A_2},{A_3}\] lần lượt là hình chiếu của \[{A_0}\] lên các trục tọa độ.
- Tính \[\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \] và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Gọi \[\overrightarrow {{a_0}} \] là vecto đơn vị cùng hướng với vecto \[\overrightarrow a \], ta có \[\overrightarrow {{a_0}} = \dfrac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \].
Gọi \[\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \] và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó ta có: \[\] \[\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_1}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_2}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_3}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma \]
Vì \[|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1\] nên \[|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma \]
Ta có \[\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + \overrightarrow {O{A_3}} \] , ta suy ra: \[\overrightarrow {O{A_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k \] hay \[\overrightarrow {O{A_0}} = [\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma ]\].
Vì \[\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \] mà \[|\overrightarrow {{a_0}} | = 1\] nên ta có: \[{\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\]