Đề bài
Hai đường tròn [O ; R] và [O ; R] cắt nhau tại A, B sao cho \[\widehat {OAO'} = {90^o}\] và
OO = 2R. Tính theo R diện tích phần chung của hai đường tròn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính diện tích các hình viên phân.
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của OO \[ \Rightarrow OM = R \Rightarrow M\] thuộc \[\left[ {O;R} \right]\], \[H = AB \cap OO'\].
Xét tam giác vuông OAO có: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền \[ \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}OO' = OM = O'M\].
\[ \Rightarrow OA = OM = AM \Rightarrow \Delta OAM\] đều \[ \Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}\].
Xét tam giác vuông OAO có: \[\widehat {AOM} + \widehat {AO'M} = {90^0}\] [hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông] \[ \Rightarrow \widehat {AO'M} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\].
Do OO là trung trực của AB \[ \Rightarrow A\] và B đối xứng nhau qua OO.
\[ \Rightarrow \widehat {AOA'} = {120^0}\] và \[\widehat {AO'B} = {60^0}\] [tính chất đối xứng].
Xét đường tròn [O] có \[{S_{qOAB}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3}\]
Xét tam giác vuông OAH có: \[OH = OA.\cos {60^0} = \dfrac{R}{2};\]
\[\,\,AH = OA.\sin {60^0} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} \] \[\Rightarrow AB = R\sqrt 3 \].
\[ \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OH.AB \]\[\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{R}{2}.R\sqrt 3 = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\].
\[ \Rightarrow \] Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của đường tròn [O;R] là \[{S_1} = {S_{qOAB}} - {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} - \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\].
Xét đường tròn [O;R] ta có: \[O'A = OA.\tan {60^0} = R\sqrt 3 \].
\[{S_{qO'AB}} = \dfrac{{\pi R{'^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi .{{\left[ {R\sqrt 3 } \right]}^2}.60}}{{360}} \]\[\,= \dfrac{{\pi {R^2}}}{2}\]
Ta có: \[O'H = OO' - OH = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}\]
\[ \Rightarrow {S_{\Delta O'AB}} = \dfrac{1}{2}O'H.AB \]\[\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.R\sqrt 3 = \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\]
\[ \Rightarrow \] Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của đường tròn [O;R] là \[{S_2} = {S_{qO'AB}} - {S_{\Delta O'AB}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\].
Vậy diện tích phần chung của hai đường tròn là
\[S = {S_1} + {S_2}\]\[\, = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} - \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4} \]\[\,= \dfrac{{5\pi {R^2}}}{6} - {R^2}\sqrt 3 = \left[ {\dfrac{{5\pi }}{6} - \sqrt 3 } \right]{R^2}\]