Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \[AB:3x + 5y - 33 = 0\] ; đường cao \[AH:7x + y - 13 = 0\]; trung tuyến \[BM:x + 6y - 24 = 0\] [M là trung điểm của AC]. Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.
Lời giải chi tiết
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,[AB]\\7x + y - 13 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,[AH].\end{array} \right.\] Vậy A[1 ; 6]
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,[AB]\\x + 6y - 24 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,[BM]\end{array} \right.\] Vậy B[6 ; 3].
Đặt \[C[x;y]\] ta suy ra trung điểm M của AC có tọa độ \[M\left[ {\frac{{x + 1}}{2};\frac{{y + 6}}{2}} \right].\]
Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left[ {x - 6;y - 3} \right]\]
\[{\overrightarrow u _{AH}} = [1; - 7]\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}M \in BM\\\overrightarrow {BC} .{\overrightarrow u _{AH}} = 0\end{array} \right.\]
Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\frac{{x + 1}}{2}} \right] + 6\left[ {\frac{{y + 6}}{2}} \right]\\x - 6 - 7[y - 3] = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 6y - 11 = 0\\x - 7y + 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2.\end{array} \right.\]
Phương trình cạnh \[BC:x - 7y + 15 = 0\]
Phương trình cạnh \[AC:2x - y + 4 = 0.\]