Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.. Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao – Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai
Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.
Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:
\[f[x] = a{\rm{[[x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{]^2} – {\Delta \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\]
Hay \[af[x] = {a^2}[{[x + {b \over {2a}}]^2} – {\Delta \over {4{a^2}}}]\]
Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:
f[x] = a[x – x1][x – x2] hay af[x] = a2[x – x1][x – x2]
trong đó, x1 và x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai f[x]
Đáp án
Ta có: \[af[x] = {a^2}[{[x + {b \over {2a}}]^2} – {\Delta \over {4{a^2}}}]\]
+ Nếu Δ < 0 thì af[x] > 0 với mọi x ∈ R, tức f[x] cùng dấu với a với mọi x ∈ R
Quảng cáo+ Nếu Δ = 0 thì \[af[x] = {a^2}{[x + {b \over {2a}}]^{^2}}\] khi đó af[x] > 0 với mọi \[x \ne – {b \over {2a}}\]
+ Nếu Δ > 0 thì f[x] có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và:
f[x] = a[x – x1][x – x2]
Do đó: af[x] = a2[x – x1][x – x2]
Vậy af[x] có cùng dấu với tích [x – x1][x – x2].
Dấu của tích này được cho trong bảng sau [x1 < x2]
Do đó: af[x] < 0 với mọi x ∈ [x1, x2]
Và af[x] > 0 với mọi x < x1 hoặc x > x2
Câu 4.53 trang 111 SBT Đại số 10 Nâng cao. f. Tam thức có \[a = 1\] và \[a + b + c = 0\], nên tam thức có hai nghiệm. Bài 6. Dấu của tam thức bậc hai
Xét dấu của các tam thức bậc hai :
a. \[2{{ {x}}^2} + 2{ {x}} + 5\]
b. \[ – {x^2} + 5{ {x}} – 6\]
c. \[2{{{x}}^2} + 2{ {x}}\sqrt 2 + 1\]
d. \[ – 4{{ {x}}^2} – 4{ {x}} + 1\]
e. \[\sqrt 3 {x^2} + \left[ {\sqrt 3 + 1} \right]x + 1\]
f. \[{x^2} + \left[ {\sqrt 5 – 1} \right]x – \sqrt 5 \]
g. \[ – 0,3{{ {x}}^2} + { {x}} – 1,5\]
h. \[{x^2} – \left[ {\sqrt 7 – 1} \right]x + \sqrt 3 \].
a. Tam thức đã cho có \[a = 2 > 0\] và biệt thức \[∆’ = 1 – 10 = -9 < 0,\] nên tam thức luôn dương.
b. Tam thức đã cho có \[a = -1\] và biệt thức \[∆ = 1 > 0,\] và có hai nghiệm \[{x_1} = 2,{x_2} = 3.\] Suy ra tam thức dương trong khoảng \[[2 ; 3]\] và âm trong các khoảng \[\left[ { – \infty ;2} \right]\] và \[\,\left[ {3; + \infty } \right].\]
c. Tam thức đã cho có \[a = 2\], biệt thức \[∆ = 0\] nên tam thức dương với mọi \[x \ne – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
d. Tam thức đã cho có \[a = -4;\] biệt thức \[∆’ = 8 > 0\] và có hai nghiệm \[{x_1} = – \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2},{x_2} = \dfrac{{\sqrt 2 – 1}}{2},\] nên tam thức dương trong khoảng \[\left[ { – \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2 – 1}}{2}} \right]\] và âm trong các khoảng \[\left[ { – \infty ; – \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right]\] và \[\,\left[ {\dfrac{{\sqrt 2 – 1}}{2}; + \infty } \right]\]
e. Tam thức đã cho có \[a = \sqrt 3 \] và biệt thức \[\Delta = {\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]^2} – 4\sqrt 3 = {\left[ {\sqrt 3 – 1} \right]^2} > 0,\] tam thức có hai nghiệm \[{x_1} = – 1,{x_2} = – \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\] Suy ra tam thức dương trong các khoảng \[\left[ { – \infty ; – 1} \right],\left[ {\dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right]\] và âm trong khoảng \[\left[ { – 1;\dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }}} \right].\]
Chú ý. Nhận xét \[a – b + c = 0\] nên tam thức có hai nghiệm
\[{x_1} = – 1,{x_2} = – \dfrac{c}{a} = – \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
Từ đó áp dụng định lí về dấu tam thức.
f. Tam thức có \[a = 1\] và \[a + b + c = 0\], nên tam thức có hai nghiệm
\[{x_1} = – \sqrt 5 ,{x_2} = 1.\]
Suy ra tam thức luôn dương trong các khoảng \[\left[ { – \infty ; – \sqrt 5 } \right],\left[ {1; + \infty } \right]\] và âm trong khoảng \[\left[ { – \sqrt 5 ;1} \right].\]
g. Tam thức đã cho có \[a = -0,3 < 0\], biệt thức \[∆ = -0,8 < 0,\] nên tam thức luôn âm với mọi \[x\].
h. Tam thức đã cho có \[a = 1,\]
\[\begin{array}{l}\Delta = {\left[ {\sqrt 7 – 1} \right]^2} – 4\sqrt 3 = 8 – 2\sqrt 7 – 4\sqrt 3 \\ = 2\left[ {2 – \sqrt 7 } \right] + 4\left[ {1 – \sqrt 3 } \right] < 0.\end{array}\]
Nên tam thức luôn dương với mọi \[x\].
Tam thức bậc 2 là gì? Cách biểu diễn dấu của tam thức bậc 2? Để giúp các em hiểu rõ hơn về tam thức bậc hai, cũng như có thể linh hoạt xử lý các bài tập về tam thức bậc hai. Hãy cùng toppy.vn tìm hiểu ngay tam thức bậc 2 qua bài viết dưới đây nhé!
Thế nào là tam thức bậc 2?
Kiến thức cần đạt được
- Hiểu được thế nào là tam thức bậc hai.
- Nắm được định lý thuận và đảo của dấu tam thức bậc hai.
- Từ các định lý, lý thuyết đã học có thể ứng dụng vào làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về tam thức bậc 2.
Cơ sở lý thuyết
Thế nào là tam thức bậc hai ?
Định lý thuận và đảo về dấu của tam thức bậc 2
Định lý về dấu của tam thức bậc 2 có thể minh họa qua hình sau:
Dấu của tam thức bậc hai sẽ được thể hiện như sau:
Ta có tam thức bậc hai: ax2 + bx + c
>> Xem thêm: Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Lý thuyết và cách giải bài tập
Hướng dẫn làm bài tập
Toppy.vn sẽ hướng dẫn các bạn một bài tập SGK và một số ví dụ cụ thể về cách xét dấu tam thức bậc 2.
Bài tập SGK
Bài 1: SGK – 105
a] Xét tam thức bậc hai f[x]: 5x2 -3x + 1
Áp dụng Δ = b2 -4ac = 32– 4.5.1 = -11 < 0 => f[x] cùng dấu với a
a = 5 >0 => f[x] > 0 với ∀ x∈R.
b] Ta có tam thức f[x]: -2x2 +3x + 5
Ta có Δ = 49 > 0
Ta có 2 nghiệm phân biệt
x1 = -1; x2 = 5/2, có hệ số a = -2 < 0.
Ta có bảng xét dấu:
Ta có:
f[x] > 0 khi x ∈ tập nghiệm [-1; 5/2].
f[x] = 0 khi x = -1; x = 5/2
f[x] < 0 khi x ∈ [ −∞; -1] ∪ [ 5/2; +∞]
c] Tam thức f[x]: x2 +12x + 36 có Δ = 0
Tam thức trên có nghiệm kép x = -6, hệ số a =1 > 0
Ta có bảng xét dấu:
Ta có:
f[x] > 0 với mọi x ≠ -6
f[x] = 0 khi x = -6
d] Tam thức bậc hai f[x]: [ 2x -3][ x + 5] = 2x2 + 7x – 15
Ta có Δ = 169 > 0
Tam thức bậc hai f[x] có 2 nghiệm: x1 = 3/2; x2 = -5, với a =2 > 0
Bảng xét dấu:
Ta có:
f[x] > 0 khi x ∈ [ −∞; -5] ∪ [ 3/2; +∞]
f[x] = 0 khi x = -5; x = 3/2
f[x] < 0 khi x ∈ tập nghiệm [-5; 3/2]
Bài 2: SGK – 105
d] f[x] [[3x2 – x][3 – x2 ]] / [4x2 +x – 3]
Một số bài tập nâng cao về tam thức bậc 2
Bài 1. Hãy xét dấu của 3 tam thức bậc hai sau
f [x] = x2−5x + 6
g [x] = – x2 + 4x + 5
h [x] = 6x2 + x + 4
Hướng dẫn giải.
Hệ số a = 6 của tam thức bậc hai f [x], có hai nghiệm là x1 = 2, x2 = 3 nên ta có bảng ký hiệu như sau:
Tam thức bậc hai g [x] = – x2 + 4x + 5 có các hệ số a = −1 và có hai nghiệm x1 = −1, x2 = 5 nên có bảng dấu như sau:
Tam thức bậc hai h [x] = 6x2 + x + 4 hệ số a = 6 và Phương trình vô nghiệm
Phương trình [2]: 6x2 – 5x + 1 có Δ = 1 > 0 => Phương trình có 2 nghiệm
Bảng xét dấu:
Ta có:
[- x2 + x -1][ 6x2 – 5x + 1] > 0 khi x ∈ [ ⅓ ; ½]
[- x2 + x -1][ 6x2 – 5x + 1] < 0 khi x ∈ [ −∞; ⅓ ] ∪ [ ½ ; +∞]
Ta có phương trình:
x2 – x -2 = 0 có Δ = 9 > 0 => Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 2
– x2 + 3x + 4 = 0 có Δ = 25 >0 => phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 4
Bảng xét dấu:
Ta có:
[x2 – x -2] / [– x2 + 3x + 4] > 0 khi x ∈ [2; 4]
[x2 – x -2] / [– x2 + 3x + 4] < 0 khi x ∈ [ −∞; -1] ∪ [-1; 2] ∪ [ 4 ; +∞]
c] Ta có phương trình:
x3 – 5x + 2 = 0
⇔ [x-2][ x2 + 2x -1] = 0
⇔ x-2 = 0 và x2 + 2x -1 = 0 Ta có nghiệm của phương trình là:
x = 2 và x = -1 +- √2
Bảng xét dấu:
Ta có:
x3 – 5x + 2 > 0 khi
x3 – 5x + 2 < 0 khi
d]Ta có:
Bảng xét dấu:
Ta có: x – [[x2 – x + 6]/ [-x2 +3x +4]] > 0 khi x ∈ [ 2; -1] ∪ [1; 3] ∪ [ 4 ; +∞]
x – [[x2 – x + 6]/ [-x2 +3x +4]] < 0 khi x ∈ [ −∞; -2] ∪ [-1; 1] ∪ [ 3 ; 4].
Bài 2: Vận dụng kiến thức đã học để tìm m. Sao cho phương trình có nghiệm
a] [x2 + 2x]2 – 4m[x2 + 2x] + 3m + 1 = 0
b] x4 + mx3 + 2mx2 +mx +1 =0
Bài 3: Tìm m sao cho f[x] = m[x2 – 2]x2 -2[m+3]x – m +3 > 0 với ∀ x ∈ [ −∞; 1].
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình f[x] = m[x2 -9] + x[x-5] = 0 luôn có nghiệm.
Bài 5: So sánh 5 với nghiệm của phương trình 2x2 – 12x + 9 =0
Bài 6: So sánh -8 với nghiệm của phương trình 9x2 + 3x – [m+2] = 0
Tổng kết
Hy vọng những chia sẻ trên của Toppy.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về tam thức bậc hai, từ đó vận dụng vào các bài toán có thể xét dấu của tam thức bậc 2. Cảm ơn các em đã quan tâm, theo dõi bài viết của Toppy.vn. Đừng quên truy cập website để cập nhập những thông tin, các bài toán bổ ích nữa nhé.