Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1 + i)z 2 i
|
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT ĐỀ BÀI: Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(|z| = 1\) và \(|5z \overline z 8 6i| = 12\)? A.\(0\). B. \(2\). C. \(4\). D. \(1\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của \(z\). Ta có + \(|z| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\). +\(|5z \overline z 8 6i| = 12\)\( \Leftrightarrow |5x + 5y.i x + y.i 8 6i| = 12\)\( \Leftrightarrow |4x 8 + 6y.i 6i| = 12\)\( \Leftrightarrow |2x 4 + 3y.i 3i| = 6\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x 4} \right)}^2} + {{\left( {3y 3} \right)}^2}} = 6\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {x 2} \right)^2} + 9{\left( {y 1} \right)^2} = 36\) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x 2} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {y 1} \right)}^2}}}{4} = 1\). Do đó, ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\\frac{{{{\left( {x 2} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {y 1} \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + 2\\y = Y + 1\end{array} \right.\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{(X + 2)^2} + {(Y + 1)^2} = 1\\\frac{{{X^2}}}{9} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\). Hình vẽ biểu diễn cặp \(\left( {X;Y} \right)\) như sau: Dựa vào hình vẽ giao điểm giữa đường tròn \({(X + 2)^2} + {(Y + 1)^2} = 1\) và đường elip \(\frac{{{X^2}}}{9} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\) cắt nhau tại \(B\left( {{X_B};{Y_B}} \right)\), \(C\left( {{X_C};{Y_C}} \right)\). Với \(B\left( {{X_B};{Y_B}} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = {X_B} + 2\\{y_B} = {Y_B} + 1\end{array} \right.\) nên \(z = {X_B} + 2 + ({Y_B} + 1).i\). Với \(C\left( {{X_C};{Y_C}} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = {X_C} + 2\\{y_C} = {Y_C} + 1\end{array} \right.\) nên \(z = {X_C} + 2 + ({Y_C} + 1).i\). Vậy có \(2\) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. |
